积九万尺】隅乙【方九十尺积八千一百尺】
三商【已庚】二亷【各长五百九十尺濶九尺共积一万○六
百二十尺】隅丙【方九尺积八十一尺】七形合成正方共积【三十五万八千八百○一○】
商○位式
假如方积八十二万六千二百八十一尺问方若干答曰九百○九尺
列位
作防定位【并同前条】
初商【防在次位合两位八二为初商实表入表得八一小于八二其方根九即为初商在五以上对初防上两位书之亦以表数八一对实八二书于左线之左以减初商实余○一改书之以待次商】
次商【倍初商九百作一千八百对原实位书之为亷法以第三防上余实○一六二为次商实以亷法约之法大实小不能商一数是商得○位也纪○于初商之下即于实首位销去一○余俟三商】
三商【因次商是○增○于廉法之下共一八○为亷法以第三防上余实一六二八一为三商实用亷法约实得九尺为三商书于次商○之下即以九为隅法书于亷法之下共亷隅法一八○九以乘三商九得亷积一万六千二百隅积八十一减三商实恰尽】凡开得方根九百○九尺
计开
初商方九百尺 积八十一万尺
续商亷【各濶九尺长九百尺】共积【一万六千二百尺】 隅方九尺积【八十一尺】通共八十二万六千二百八十一尺
假如方积二十五亿○七百○○万四千九百尺问方若干答曰五万○七十尺
列位【原积尾位是百补作两○列之】作定位【有五防当商五次 初商是万】
初商【以实首两位二五为初商实入表得五为初商书于防上两位次以自乘数对实列之相减尽】次商【倍初商五万尺得一十○万为亷法对原实位书之以第二防上余实○○○七为次商实实有三○无可商是次商○也书○于初商五之下亦于实首销去一○以待三商】
三商【因次商○增○于亷法下得一○○为亷法 以第三防上余实○○七○○为三商实实仍有两○位是三商亦○也又书○于次商○之下于实首复销去一○以待四商】
四商【因三商亦○又增○于亷法之下得一○○○为亷法以第四防上○七○○四九为四商实用亷法约之得七十尺书于三商○之下即以七为隅法增于亷法下共亷隅法一○○○七以乘四商七得亷积七百万隅积四千九百以对减四商实恰尽】
五商【五防宜有五商而四商已减实尽无可商作○于四商】
凡开得方根五万○○七十○尺
命分式
假如方积五百七十六万四千八百尺问方根若干答曰二千四百尺【又四千八百○一分尺之四千八百】
列位【实尽于百位如前法补作两圏列之】作防定位【有四防宜商四次初商是千】
初商【以实首○五为初商实入表得二为初商以自乘数○四减实○五改书余一以待次商】次商【倍初商二千得四千为亷法 以第二防上余实一七六为次商实用廉法约之得四为次商即以为隅法书廉法下共亷隅法四四以乘次商四得亷积一百六十万隅积一十六万共减积一百七十六万次商实减尽】
三商【倍次商隅法四作八增入次商法共四八为三商亷法以第三防上余实○○四八为三商实有两○无可商作○于三商位消去实首一○以待四商】
四商【三商○亦增○于亷法下共四八○为亷法以第四防上余实○四八○○为四商实仅与亷法相同是无隅积也不能商一数作○于四商位其不尽之数以法命之法以亷法四千八百○加隅一共四千八百○一为命分之母以不尽之数四千八百为分子命为四千八百○一分尺之四千八百即一尺弱也】
共开得平方二千四百尺又四千八百○一之四千八百
此虽未开至单尺之位而余实甚少不能成一单尺故即以法命之若余实是四千八百○一尺则商得平方二千四百○一尺矣今止四千八百尺是少一尺故不能成一单尺也
开方分秒【凡开方欲知分秒法于余实下毎増两○位则多开一位为分秒之数 平方之积尺有百寸寸有百分皆以百为母故增两○】
假如有平方积二十四尺平方开之得方四尺不尽八尺问分秒若干 答曰方四尺零八寸九分八厘九毫有竒
如常列位作防防在次位即以
二四两位合商得方四尺减其
自乘一十六尺余八尺用命分
法以商四尺倍作八尺又加隅
一得九为命分母不尽为分子
命为方四尺又九分尺之八
今欲知其寸【九分尺之八者是以尺作九分而今有其八言毎方四尺之外仍此畸零是其中有寸】法于余实下加两○化八尺为八百寸【毎尺纵横十寸故其积百寸】用为次商实以初商四尺倍之得八尺亦化八十寸【商数是毎邉之数故尺只十寸】对余实十寸位书之【即第一○位】为亷法用廉法约实可商九寸因恐无隅积只商八寸书于初商四尺之下亦即以次商八寸为隅法书于廉法八十寸之下共亷隅八十八寸以乘次商八寸得亷积六百四十寸隅积六十四寸共亷隅积七百○四寸自次商位书起至第二○位止以对减余实仍余九十六寸命为竒数
凡商得毎方四尺八寸有奇
再求其分
法于实下又加两○以余九十六寸化九千六百分【解见上】为三商实 商数四尺八寸亦化四百八十分倍之为九百六十分移对余实百分十分之位书之为亷法以亷法约实商得九分为三商书次商之下亦即以三商九分为隅法书于亷法九百六十分之下共亷隅九百六十九分以乘三商九分得亷积八千六百四十分隅积八十一分共积八千七百二十一分自三商位书起至第四○位止以对减余实仍余八百七十九分命为竒数
凡商得每方四尺八寸九分有竒
再求其厘
法于余实下又加两○以余八百七十九分化八万七千九百厘为四商实 次倍商数四尺八寸九分作九尺七寸八分化为九千七百八十厘移对余实依千百十之位书之为亷法 用亷法约实得八厘为四商书于三商之下即以四商八为隅法增于亷法末共亷隅法九千七百八十八厘以乘四商八厘得亷积七万八千二百四十厘隅积六十四厘自四商位书起至第六○位止以减余实仍余九千五百九十六厘
凡商得每方四尺八寸九分八厘有竒
再求其毫
如法于余实下又加两○化余实为九十五万九千六百毫为五商实 次倍商数四八九八作九尺七寸九分六厘化为九万七千九百六十毫为亷法移对余实万千百十之位书之用亷法约实得九毫为五商书四商下亦即以五商九为隅法增入亷法下共亷隅九万七千九百六十九毫以乘五商九毫得亷积八十八万一千六百四十毫隅积八十一毫对五商位书起至第八○位止以减余实仍余七万七千八百七十九毫
凡商得方四尺八寸九分八厘九毫又九万七千九百七十九之七万七千八百七十九即竒数也
右单数下已开四位【尺为单位析为寸分厘毫凡四位】其不尽者是不满一毫之数于单数为十万分之一【如欲再求忽微亦如上法】
开方纵【纵者长方形也以方为濶加纵数为长其法与方无异但须以商得数乘纵数为纵积并入方积以减原积不及减者改商之其次商亦倍初商加纵为亷法但倍方而不倍纵 三商以上并同】
假如有长田积六百二十四步濶不及长二步问长濶各若干答曰长二十六步濶二十四步
列位【以实列右线之右 以纵二步列右线之左对实步位列之】
如常作防定位
初商【以○六为初商实商得二十步自乘应减方积四百步又以商数乘纵二步得纵积四十步如法列之以减原实仍余一百八十四步】
次商【倍初商二十步作四十步加纵二步共四十二歩为亷法以约余实得商四步即以为隅法合亷隅纵共四十六用乘次商四得亷积一百六十步隅积十六步纵积八步共减积一百八十四步恰尽】命为濶二十四步加纵二步为长二十六步
合问
以图明之
甲为初商方形【长濶各二十步积四十步】已初商纵形【濶二步 长亦二十步积四十步】戊丙并次商廉【长各二十步 濶四步 积八十步】乙次商隅【方四步 积一十六步】丁次商纵亷【长四步 濶二步 积八步
以上五者合之为一长方形共长二十六步 濶二十四步
积六百二十四步合原数】
若纵数有比例可求者先以比例分其积平方开之得濶因以知长
假如有直田积四百五十步但云长多濶一倍问长濶若干
答曰濶十五步 长三十步
法平分其积得二百二十五步平方开之得濶十五步
置濶十五步倍之得长三十步合问
假如有长田积二百五十二步但云长比濶多四分之三问长若干
答曰 濶一十二步长二十一步
法以多三分加分母四共七为法以分母四乘积为实法除实得一百四十四步开方得濶一十二步置濶一十二步七因四除之得二十一步为长【长比濶多九步于十二步为四分之三】
开立方法
平方者方田之属也但取面羃之积立方者方仓之属也必求其内容之积故平方曰面立方曰体有面而后有体有线而后有面故皆以线为根
假如长二尺者线数也线有长短而无广狭若以此线横展之长亦二尺濶亦二尺则其积四尺为面面者平方形也面有濶狭而无厚薄又以此面层累而厚之长濶皆二尺高亦二尺则其积八尺为体体者立方形也立方有虚有实如筑方台则实凿方池作方窖则虚然其立方之积数一也
法先立位【同平方】 作防【自单位起每隔二位防之以最上一防为初商实】 定位【视有若干防则商几位如有二防则商数有十有五防则商数有百并同平方】
初商法 以自乘再乘数约而商之【如一商一八商二二七商三之类】书商数于左线之右【凡商得一数者书于防上一位商得二三四五者书于防上两位商得六七八九者书于防上三位】即以自乘再乘数书于左线之左以对减初商实【初商减积至初防止】
次商法 以初商自乘而三之为平亷法【亦曰方法】 以初商三之为长亷法【亦曰亷法】皆对原实千百位书之 截第二防上余实为次商实【次商减积至次防止】以平亷法约实得次商【列初商下】即以次商为隅法列长亷次【亦按千百位列之】乃以次商乘平亷法为平亷积又以次商自乘以乘长亷及隅法为长亷小隅积俱挨书之以减余积不及减者改商
三商法 以余实另列之 合初商次商自乘而三之为平亷法 合初商次商三之为长亷法 截第三防上余实为三商实【三商减积至此防止】 亦即以三商为隅法【余并同前】
四商以上并同三商
命分法 合平亷长亷法再加隅一为命分母不尽之数为命分子【并同平方】
还原法 置商数自乘得数再以商数乘之即合原实【有不尽者以不尽之数加入之】
初商表【用法与平方表同】
假如立方积五千八百三十二尺问方若干
答曰方一十八尺
列实
作防定位【有两防初商是十】
初商【以五千为初商实约商一十自乘再乘得一千为应减积减原实余四千】
次商【以初商自乘而三之得三百为平亷法 又以初商三之得三十为长亷法 以平亷法约第二防上余实得八尺为次商即以为隅法并如法列之乃以次商乘平亷法得二千四百为平亷积又以次商自乘得六十四以乘长亷及隅法得长廉一千九百二十隅积五百一十二共减积四千八百三十二恰尽】
以图明之
甲为初商方形【长濶皆十尺积一千尺】乙为次商平亷凡三以辅于
方之三面【长濶皆十尺厚八尺积八百尺共积
二千四百尺】
丙为次商长亷亦三以辅三
平亷之隙【长十尺濶与厚皆八尺积六百四十
尺共积一千九百二十尺】
丁为次商隅如小立方以补三长亷之隙【长濶高皆八尺积五百一十二尺】
假如立方积二千二百五十九亿七千七百八十一万一千五百七十尺问方根若干答曰方六千零九十尺【又一亿一千一百二十八万二千五百七十一之一亿一千一百二十八万二千五百七十】
列实【实尾无单位补作○】作防定位【有四防初
商是】
千
初商【合实三位约之商六千对初防上三位列之以六千自乘再乘得减积二千一百六十亿其余积改书以待次商】
次商【日乘初商而三之得一亿○八百万为平亷法以初商三之得一万八千为长亷法各对原实位列之 以第二防上余实为次商实实首有两○无可商是次商○也作○于初商之下即于实首消去两○余俟三商】
三商【次商○即以次商法为三商法 以第三防上余实为三商实以平亷法约之商九
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