尺上取数也当其半腰缀一铜条横贯之势曲而长如割圆象限之弧与枢相应得数后用螺钉固之
凡算例假如有言取某数为底线者并以规之两鋭于平分线上量而得之其用底线为得数者并以规取两尺上线相等之距于平分线上量而命之故规之两鋭可当横尺数度衍以横尺比量反不如用规之便利而得数且真也
第一平分线
此线为诸线之根取数贵多尺大可作一千然过宻又恐其不清也故以二百为率
分法 如设一直线欲作百分先平分之为二又平分之为四又于每一分内各五分之则已成二十分矣于是用更分法取元分四改为五分【如甲乙丙有丙戊丁三防是元分之四也今复匀作五分加己庚辛壬四防】则元分与次分之较【如壬丙及巳戊】皆元分五之一亦即设线百分之一分凖此为度而周布之即百分以成
解曰元分为设线百分为二十分之一即每一分内函五分也今壬丙己戊既皆五分之一则甲壬己乙皆五分之四亦即百分之四也又丙辛庚戊皆三而辛丁丁庚皆二也任用一度参差作防互相攷订即成百分匀度矣【每数至十至百皆作字记之】 或取元分六复五分之亦同何则元分一内函五分则元分四共函二十分故可以五分之若元分六即共函三十分故亦可五分之其理一也
用法一 凡设一直线任欲作几分假如四分即以规量设线为度而数两尺之各一百以为乃张尺以就度令设线度为两之底置尺【置尺者置不复动故亦可云定尺下仿此】数两尺之各二十五以为敛规取二十五两防间之底以为度即所求分数【即四分中一分也以此为度而分其线即成四分】 若求极微分如一百之一如上以一百为设线为底置尺次以九十九为取底比设线其较为百之一 若欲设线内取零数如七之三即以七十为设线为底置尺次以三十为敛规取底即设线七之三
谨按尺筭上两等边三角形分之即两句股也两句聫为一线而在下直谓之底宜也若两尺上数原系斜改而称腰于义无取今直正其名曰
用法二 凡有线求几倍之以十为设线为底置尺如求七倍以七十为取底即元线之七倍若求十四倍则倍得线或先取十倍更取四倍并之
用法三 有两直线欲定其比例以大线为尺末之数【尺百即百千即千】置尺敛规取小线度于尺上进退就其两等数如大线为一百小线为三十七即两线之比例若一百与三十七可约者约之【约法以两大数约为两小数其比例不异如一百与三十约为十与三】
用法四 有两数求相乗假如以七乗十三先以十防为取十三防为底置尺次检七十之等取其底得九十一为所求乗数【若以十为七为底置尺而检一百三十防之底得数亦同】
【论曰乗法与倍法相通故以七乗十三是以十三之数七倍之是七个十三也以十三乗七是以七数十三倍之是十三个七也故得数并同】
用法五 有两数求相除假如有数九十一七人分之即以本线七十为取九十一为底置尺次检十防之取底必得十三为所求
又法以九十一为用规取七十为底置尺敛规取一十为底进退求其等亦得十三如所求
【论曰筭家最重法实今当以七人为法所分九十一数为实乃前法以法数七为实数九十一为底又法反之而所得并同何也曰异乗同除以先有之两率为比例筭今有之两率虽曰三率实四率也徴之于尺则大与大底小与小底两两相比明明四率较若列睂故先有之两率当则今所求者在底是以之比例例底也若先有之率当底则今所求者在是以底之例例也但四率中原缺一率比而得之固不必先审法实殊为简易矣】
【然则乗除一法乎曰凡四率中所缺之一率求而得之谓之得数乗则先缺者必大数也故得亦大数除则先缺者必小数也故得亦小数所不同者此耳是故乗除皆有四率得尺筭而其理愈明亦诸家所未发也】
假如有银九十六两四人分之法以人数取四十分为底置银数九十六两为定尺敛规取一十分为底进退求其等得二十四两为每人得数
又法取银数九十六两为底置一百分为定尺敛规于二十五分等取其底亦得二十四两为每人数
又如有数一百二十三欲折取三分之一法以规取三十分为底置一百二十三等数为两定尺敛规取一十数为底进退求其等数为必得四十一命为三分之一如所求
用法六 凡所求数大尺所不能具则退位取之假如有数一百二十欲加五倍即退一位取一十二为底以尺之一十防为两定尺取两五十防之底【即五倍】得六十进一位命所得为六百【以一十二当一百二十是一而当十故进位命之也凡用尺筭湏得此通融之法】
又法以规取一十数为底于尺之一十二防为两【一十二以当一百二十是一当十也或二十四亦可为一当五】定尺展规取五十数【以当五倍】为底进退求其等数之必得六十进位成六百
假如有银十三两每两换钱一千二百文法退二位以规取十二分【当一千二百以尺上一数当一百】为底置一十防【即每两之位】为定尺然后寻一百三十防【即十三两之位】为展规取其底得一百五十六分进二位命之得共钱一十五千六百
又如有银四两每两换钱九百六十文法作两次乗先乗六十取六数为底置一十防为定尺展规取四十防之底得二十四次乗九百取九数为底置一十防为定尺展规取四十防之底得三十六进一位并之得三八四末増一○为进位得三千八百四十文
【二四三六】因每两是九百六十故末位増○
【三八四○千百十文】
假如有数一百二十欲折取三分之一法以规取六十【折半法也】为底置九十分为定尺然后寻两之三十分防【即三之一】取其底于本线比之必二十命所得为四十【加倍法也先折半故得数加倍】凡所用数在一十防以内近心难用则进位取之如前条所设宜用六数九数为底其防近心取数难清即进位作六十取数用之是进一位也但先进一位者得数后即退一位命其数此可于前假如中详之【用尺时有退位得数后进位命其数用尺时有进位得数后退位命其数其理相通故不另立假如】或先进二位者得数亦退二位或先加倍者得数折半并同一法
用法七凡四率法有中两率同数者谓
之连比例假如有大数【三十六】小
数【二十四】再求一小数与此两数
为连比例法以大数为【如辛甲】小数为底【如辛巳】定尺再以辛巳
底为【如甲丁】而取其底【如丁戊】其
数必【十六】则三十六与念四之比
例若念四与十六也【其比例为三分损一】若先有小数【十六】大数【二十四】而求连比例之大数则以小数为底【如丁戊】大数为【如丁甲】定尺再以丁甲为底【如辛巳】取其【如辛甲】其数必三十六则十六与念四若念四与三十六也【其比例为三分増一】他皆仿此【原书有断比例法今按断比例即古法之异乗同除西法谓之三率前各条中用尺取数皆异乗同除之法故不更立例】
用法八 凡句股形有句有股有共
三件先有两件而求其不知
之一件法以尺作正角取之
假如有句【八尺】股【十五尺】欲知其
法以规量取八十防为底
一端指尺上之六十四防一
端指又一尺之四十八防以
定尺则尺成正角乃于尺上
取八十防为句又于一尺上
取一百五十防为股张规以就所识句股之两防必一百七十退一位得十七尺如所求【取句股数时原进一位故所得数退一位命之説见前】
若先有【十七尺】股【十五尺】求其句则以规取一百七十防为句股之乃以规端指一百五十防以余一端又于一尺上寻所指之防必八十也如上退位得句八尺或先有【十七尺】句【八尺】求其股亦以规取【一百七十】而一端指【八十】寻又一端之所指必得【一百五十】命【一十五尺】为股如所求
凡杂三角形内无正角不可以句股
算法先作角假如先有一角及角
旁之两边求余一边法于平分线
【任用一笾如甲乙】取数为底分圆线【六十】度为
两定尺以规取所设角之底【为平分线上任用甲乙边等度之底】定尺则尺间角如所设【如乙角】乃于两尺上依所设取角旁两边之数于两尺各作识【如甲乙丙乙】遂用规取斜距之底【如甲丙】即得余一边如所求
又法 假如乙甲丙三角
形有甲角【五十三度○七分】甲乙
边【五十六尺】甲丙边【七十五尺】而求
乙丙边法以规取一百分
为分圆线上六十度之底敛规取五十三度强之底移于平分线上作百分之底定尺乃于尺上取五十六防【如甲乙】又一尺上取七十五防【如甲丙】乃以规取两防斜距之底于尺上较之即得六十一尺【如乙丙】命为所求邉【分圆线见后】
用法十 有小图欲改作大几倍之图用前倍法假如有小图濶一尺二寸今欲展作五倍即取十二为十防之底定尺展规取五十防之底必得六十命为六尺如所求
用法十一 平圆形周径相求法于平分线上作两识以一百八十八半弱上为周六十为径各书其号假如有径【七十一】求周法以规取七十一加于径防为底定尺展规取周防之底即得周二百二十三如所求【以周求径反此用之】
用法十二 求理分中末线法于线上定三防于九十
六定全分五十九又三之一
为大分三十六又三之二为
小分假如有一直线【一百四十四】欲分中末线即以设线加于
全分防为底取其大小分防之底即得【八十九强】为大分【五十五弱】为小分
【按平线上既作周径之号若又作此则太繁不如另作一线其上可寄五金线也 又按原书全分七十二大分四十二又三之一小分二十七又三之二大有讹错今改定】
以上十二用法姑举其概其实平分线之用不止于是善用者自知之耳
第二平方线【旧名分面线凡平方形有积有邉积谓之幂亦谓之面边线亦谓之根即开平方法也】
原为一百不平分今按若尺小欲其清则但为五十分亦可假如有积六千四百则以平分线之二十自乗得四百于积为十六倍之一若置二十分于一防为底求十六防之底则得方根八十或置于二防为底则求三十二防之底或置于三防为底则求四十八防之底皆同
分法有二 以算一以量
以算分
算法者自枢心【甲】任定一度命为十分【如甲乙】即平方积一百分之根今求加倍平方二百分之根为十四又念九之四即于甲乙线上加四分强【如丙】命甲丙为倍积之根求三倍则开平方三百分之根得十七又三十五之十一即又于甲乙线上加十分半弱【如丁】即甲丁为三倍积之根求四倍则平方四百之根二十即以甲乙倍之得甲戊为四倍积之根五六七以上并同【按用方根表甚简易】
以量分
以任取之甲乙度作正方形【如丙乙甲】乃于乙甲横边引长之以当积数丙乙直边引长之作垂线以当根数如求倍
积之根即于横
线上截丁乙为
甲乙之倍次平
分甲丁于戊戊为心甲为界作半圈截垂线于巳即己乙为二百分之边求三倍则乙丁三倍于甲乙四倍以上并同又防法 如前作句股形法定两尺间成正方角如甲乃任于尺上取甲乙命为一防而又于一尺取甲丙度与甲乙相等即皆为一百之根次取乙丙底加于甲乙
尺上为二百之根甲丁又自丁至丙作
斜以加于甲乙尺上为三百之根甲
戊又自戊至丙作以加于甲乙尺上
为四百之根甲已如此递加即得各方
之根其加法俱从尺心起【如求得丙乙即以丙加甲乙加丁成甲丁他皆仿此】
试法 甲乙为一正方形之边倍其度即四倍方积之边否即不合三倍得九倍方积之边四倍得十六五倍得二十五又取三倍之边倍之即十二倍之边【四其三也】再加一倍得二十七倍之边【九其三也】再加倍得四十八倍之边【十六其三也】再加倍得七十五倍之边【二十五其三也】若以五倍之边倍之得二十倍之边【四其五也】再加倍得四十五倍之边【九其五也】再加倍得八十倍之边【十六其五也 凡言倍其度者线上度也如正方四百分之边二十分甲乙正方一百分之边十分其大为一倍也言几倍方积者积数也如边二十者积四百即尺上所书】
用法一 有平方积求其边【即开平方】法先其设数与某数能相为比例得几倍如法求之假如有平方积一千二百
二十五尺欲求其根以约分法求得
二十五为设数四十九之一即以规
于平分线取五防为平方线上一防
之
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