线
以此知八等面之中髙线为方斜之
比例
第五分形
因横剖及两直剖分总形为八皆
三角锥形也
皆以等边平三角形面为锥形之
底而以横直剖线相交处之点为
其锐顶即合形之中心也
其自顶心至角之楞皆等皆边线
之方斜比例也【底线为方则此线为其斜之半】而
此楞线又即为八等面形之外切
圆之半径
设己戊边一百其幂一万则心戊
楞之幂五千【倍戊庚半边之幂为半斜幂也】戊心之幂五千内减戊庚幂二千
五百则其余二千五百为心庚之
幂故心庚必与戊庚等
从心顶对己庚楞直剖至庚分形为两则其中剖处成三角平面
己庚者乙己戊等边三角平面之
中垂线也其幂为边四之三设边
一百之幂一万则己庚之幂七千
五百
庚辛者平面三角容圆之半径也得己庚三之一其幂则九之一也己庚之幂七千五百则庚辛之幂八百三十三【三三】辛防即各三角平面之中心
以庚辛幂八百三十三【三三】减心庚幂二千五百得心辛幂一千六百六十六开方为心辛即分形之中髙也求得分形中髙四十○【八二四七】
依平面三等边法设边一百其中长线八十六【六○二五】其幂积得四千三百三十○【一二五○】 取平幂三之一得一千四百四十三【三七五○】以乘中髙得分形积五万八千九百二十五【三五一三】 再以八因之得总积四十七万一千四百○二【八一○四】与总算合
设八等面之边一百其幂一○○○○即横剖中腰之正方 半之为每角辏心之线之幂得○五○○○此线即分形自底角辏顶心之楞【如心戊心己心乙】又为八等面形外切浑圆之半径 又半之为分形每面自顶至边斜垂线之幂【即心庚】得○二五○○此线即设边之半其幂为设边四之一
设半边之幂取其三之二为分形中髙线之幂【即心辛】得○一六六六不尽又为八等面形内容浑圆之半径防法取八等面设边之幂六而一为八分体中髙之幂开方得中髙
假如设边一百其幂一万则分体中髙之幂一千六百六十六不尽 求其根得四十○【八二四八】 以中髙乘三角平面幂三除之得分体八因之得全积
又捷法八等面设边之幂取三之二为体内容浑圆之径幂开方得内容浑圆径折半为八分体中髙
假如设边一百其幂一万则内容浑圆之径幂六千六百六十六不尽 求其根得八十一【六四九六】 折半为分体中髙
或竟以内容浑圆全径乘设面三角平幂四因三除之得全积
又捷法 此方斜之比例
八等面设边之幂倍之为体外切圆径幂开方得径以乘设边之幂【即腰广平方】得数三归见积
假如设边一百其幂一万其斜如之幂倍方幂得二万求其根得一百四十一【四二一三】 以乘腰广一万得一百四十一万四千二百一十三 三除之得总积四十七万一千四百○四
一系 八等面体之边上幂与其外切浑圆之径上幂
其比例为一与二【方斜比例】
一系 八等面体之边上幂与其内容浑圆之径上幂
其比例为三与二
一系 八等面体外切浑圆之径上幂与其内容浑圆之径上幂 其比例为三与一
准此而知八等面内容浑圆浑圆内又容八等面其浑圆外切之八等面边或径上幂与内容之八等面边或径上幂其比例亦必为三与一也
计开
八等面形诸数
设边一百 其积四十七万一四○四【与厯书所差甚微】其体外切浑圆之径一百四十一【内外两浑圆之径幂为三与一其根约为四与七而强】体内容浑圆之八十一
八等面外切立方径一百四十一【方斜比例也与外切浑圆同】八等面内容立方径四十七
内外切大小立方之径之比例为三与一
内外两立方之积之比例为二十七与一
若浑圆内容立方立方内容八等面体八等面体内又容浑圆则大小两浑圆之径亦若三与一其积亦若二十七与一
一率四七一四○四例容
二率一○○○○○○ 例边之立方
三率一○○○○○○ 设积
四率二一二一三二二 设边之立积
开立方得根一百二十八为公积一百万之八等面根【与比例规解合】
防何补编卷二
二十等面形自腰切之成十等边平面
先求甲丁 乃十等边平面
从心对角之线 亦即二十
分形各三角立体一面之中
垂斜线
法为甲乙【即切形十等边之半在原设二十等面形边为四之一】与甲丁若十八度之正与全数也【十等边各三十六度其半十八度】
设边一百 所切十等边平面之边五十 其半甲乙二十五
一率 十八度正 ○三○九○
二率 全数一○○○○
三率 甲乙 二五
四率 甲丁 八○【九○六一】
用等边三角求容圆法
设边一百 其内容圆半径二十八【八六七五】为心甲
以心甲为句二十八【八六七五】其幂八百三十三【三三二五】以甲丁为八十○【九○六一】其幂六千五百四十五【七九七○】
句幂减幂余五千七百一十二【四六四五】为心丁股幂开方得心丁七十五【五八○八】 此即各面切形自各面之心至切体尖之髙也 其切体之尖即原设二十等面总形之体心为丁点
用后法得乙己丙平面幂积四千三百三十○【一二五○】又依三等边角形设边一百【丙己】 其半五十【丙甲】 求到乙甲中长八十六【六○二五】用其三之一即心甲二十八【八六七五】以与丙甲五十相乘得一千四百四十三【三七五○】为各等面平积三之一【三因之得平面幂】
又以丁心七十五【五八○八】乘之得一十○万九千○九十一【四三七二】为二十等面形分切每面至心之积又以二十乘之得全积
依上法求到二十等面全积
设边一百 其积二百一十八万一千八百二十八【查比例规解差不多惟测量全义差逺】
按此法以本形分为二十各成三角立锥形而各以分形之髙乘底取三之一以为分形积然后以等面二十为法乘而并之得总积可谓的确不易矣然与厯书中比例规解及测量全义俱不合何耶
计开
二十等面形
设边一百 其每面中长线八十六【六○二五】
其每面幂积四千三百三十○【一二五○】
其每面容平圆之心作线至形心之丁七十五【五八○八】即心丁 心丁即内容浑圆之半径
其分形各以每面之幂积为底心丁为髙各得三角立锥积一十万九千○九十一【四三七二】
其立锥积凡二十合之得总积二百一十八万一千八百二十八
用上法求形内容浑圆
其心丁七十五【五八○八】即内容浑圆半径【以心丁线与各平面作垂线而丁防即体心故】倍之得一百五十一【一六一六】为内容浑圆全径置小浑圆径一百五十一零自乘得二万二千八百○一以十一乘十四除得一万七千九百一十五为圆幂置内容浑圆之平圆幂一七九一五以圆径一百五十一取三之二得一百强以乘平圆幂得一百八十○万二千二百四十九为二十等面内容浑圆之积
置内容圆径一百五十一自乘得【二万二千八百○一】再乘【三百四十四万二千九百五十一】以立员捷法【○五二三五九八七七】乘之得浑圆积一百八十○万二千七百二十五
先用宻率【十四除十一乘】得浑圆一百八十万二千二百四十九以较立圆捷法所得少尾数四百七十六约为一万
八千之五弱不足为差也
依立圆法以圆率三一四一五九二乘立圆法六而一得五十二万三五九八为径一百之浑圆积
依法求得立方边五十七【七三五○】立方积一十九万二四五○四等面积六万四千一百五十○并合前算小浑积一○○七六六 若用捷法以浑圆率五二三五九八乘立方积得数后去末六位亦得一十○万○七六六
内容浑圆尚且如此之大况二十等面之形又大于内圆乎然则厯书之率其非确数明矣
二十等面
一率二一八一八二八例容
二率一○○○○○○例根一百之体积三率一○○○○○○设容
四率○四五八三三二所求根立积
如法算得二十等面之容一百万其根七十七
比例规解作七十六尚差不多测量全义云二十等边设一百其容五二三八○九则大相悬絶矣乆知其误今乃得其确算己未年所定之率以两书酌而为之究竟不是今乃得之可见学问必欲求根也
二十等面分体之图
亥子戌为二十等面之一面
亦即各分体之底
亥子子戍戍亥皆其边即根
也半之为亥甲
甲乙丙为横边切处即横切成十等边形之一边丁为体心亦即切十等边平面之中心
甲乙丙丁即横切十等边平面之分形 心为二十等面每面之正中 心丁为体周各平面至体心之垂线亦即分体之中髙亦即体内容浑圆之半径 丁亥丁子丁戌皆分体之楞线乃自各分面角辏体心之棱也亦即为外切浑圆之半径 丁甲丁丙皆横切平面各角辏心之线亦即分体各斜面之中垂斜线也
求法以丁甲为股亥甲为句【即根之半】两幂相并开方得即丁亥也【丁子丁戌同】
求二十等面外切浑圆之半径
依句股法 以丁甲股八十○【九○六一】自乘幂六千五百四十五【七九七○】 亥甲句五十○自乘幂二千五百 相并为亥丁幂九千○四十五【七九七○】 平方开之得亥丁九十五【一○五二】为外切浑圆半径 亦即二十分形自其各角辏心之棱 倍之得一百九十○【二一○四】即外切浑圆全径
计开二十等面体诸数
设边一百 其容二百一十八万一千八百二十八其内容浑圆径一百五十一 其外切浑圆一百九十其每面中心至体心七十五半【即内容浑圆之半径】
其每面各角至体心九十五【即外切浑圆之半径】
计开二十等面体诸用数
设边一百 外切立方之半径八十○【九○一七】为体心至边之半径【即寅中卯中辰中等】
倍之为边至边一百六十一【八○三四】即外切立方全径外切浑圆之半径九十五【一○五六】为体心至各角尖之半径【即甲中戊中心中等】
倍之为角尖至角尖一百九十○【二一一二】即外切浑圆全径
内容浑圆及内容十二等面之半径七十五【五七六一】为体心至各面之半径【即己中庚中等】
倍之为内容浑圆全径一百五十一【一五二二】为面至面内容十二等面之边五十三【九三四四】
每面之幂四千三百三十○【一二五○】
二十等面之幂共八万六千六百○二半
分体积一十○万九千○八十四【六五】为二十等面体积二十之一
合之得全积二百一十八万一千六百九十三
内容小立方之边八十七【二六 以内容立圆径自乘七七 乏幂取三之一开方得之】
内容灯体边五十【即原边之半】
立方内容二十等边算法
亢卯寅房为立方全径一百
中寅中卯为半径五十
寅卯二点为二十等面边折
半之界
寅卯线为二十等面边之半
中为体之中心 寅中卯角为三十六度
中寅半径当理分中末之全数 寅卯即理分中末之大分
甲戊戊心心甲皆寅卯之倍数即
二十等面之边其数六十一【八○三三九八】
甲辰半边三十○【九○一六六九与寅卯同】
心辰垂线五十三【五二三三】 半垂线心箕二十六【七六一六】 甲辰幂九百五十四【九一五○】 三因甲辰幂为心辰幂二千八百六十四【七四五○不尽】
计开
立方径设一百 半径五十
理分中末线大分六十一【八○三三九八】即二十等面之边论曰以中寅半径五十求寅卯正得理分中末大分之半而甲戊边原倍于寅卯寅房全径亦倍于寅中是全数与大分皆倍也故径以全数当寅房全径以理分中末之大分当甲戊等二十等边之全边也
又立方边设一百【即寅房径】 半之五十【即中寅】
内容二十等面之边六十一【八○三三九八即甲戊等】
面之中垂线五十三【五二三三即心辰】
中垂线之半二十六【七六一六即心箕】
面之幂一千六百五十三【九五七八甲戊心面】
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