三率 甲丙 六八八一九○
四率 甲乙 四○四五一一
甲癸为横切十等边平面之一
其半为甲乙丁即总形之心
亦横切平面之心
算甲丁
法为全数与十八度之余割若甲乙与甲丁也
一率 全数 一○○○○○
二率 七十二度割线 三二三六○七
三率 甲乙 四○四五一一
四率 甲丁 一三○九○二五
算丙丁中髙线
法以甲丁为 甲丙为句 求得股为丙丁
算得丙丁一百一十一【三五二六】为中髙线亦即十二等面形内浑圆之半径
算五等邉面幂
法以甲丙乘甲辛五十得三千四百四十○九半又五乘之得一万七千二百○四七五为五等边【边各一百】之平幂亦即十二等面分形之底积
算总积
用简法以底积一七二○四七五四因之得六八九九○以乘中髙得七百六十八万二千二百一十五八七四○为十二等面之积
计开十二等面
一率 七六八二二一五例容
二率 一○○○○○○例边上立积
三率 一○○○○○○设容
四率 ○一三○一七○求得设边上立积立方法开之得其根五十
与比例规解合与测量全义差四千一百七十四为二百分之一
算辛丁【庚丁戊丁并用】 又即为外切浑圆半径
法以甲丁股幂【一七一三五】甲辛句幂【○二五○○】并为幂【一九六三五】求得数一百四十○为辛丁即外切圆半径计开
十二等面之数
设边一百 其容积七百六十八万二二一五
内容浑圆径一百二十二 外切浑圆径二百八十防法十二等面边求外切内容之立方及外切之立圆置十二等面边为理分中末之小分求其大分为内容立方边内容立方边自乘而三之开方得外切立圆全径
又置十二等面边为理分中末之小分求其全线为外切立方边
一率 理分中末之小分【三十八一九六六○一】 理分中末之大分二率 理分中末之大分【六十一八○三三九八】 理分中末之全分三率 十二等面之边
四率 内容小立方边 即大横线
又
一率 理分中末之小分
二率 理分中末之全分
三率 十二等面之边
四率 外切立方边
以十二等面边减外切立方边余为内容立方边以内容立方边加十二等面边即外切立方边
又防法但以十二等面边加大横线【即小立方边】 即外切立方边
立方内容十二等面算法 用理分中末线
此五等边面为十二等面之
一
巳为平面心 中为体心
寅卯为戌亥大横线之半【三十】
【○九○一六九九】卯中寅中为外切立方半径【五十】 戌亥为面之大横线【六十一八○三三九八】为理分中末之大分亦即内容小立方之根
巳寅巳卯俱平面容圆半径
巳中为内容立圆半径即分体中髙
丑中为外切立圆半径【亥中戌中并同】
设立方根一百为径 半径五十为寅中卯中 理分中未大分之半为寅卯【三十○九○一六九九】 又半之为寅子【一十五四五○八四九五】为理分中末大分四之一
一率 全数一○○○○○
二率 五十四度之割线 一七○一三○
三率 寅子【一十五四五○八四九五】
四率 寅巳【即卯巳】二六二八六五
求得卯巳为平面中垂线
一率 全数一○○○○○
二率 三十六度之切线 ○七二六五四
三率 卯巳二十六二八六五
四率 卯丑【即半边】一十九○九八二
倍卯丑得丑亥边三十八【一九六四】即十二等面边乃理分中末大分之大分也以此知大横线与五等边为理分中末之全分与其大分之比例也
卯巳句幂【○六九○九八】 卯中幂【二五○○○○】相减为股幂一八○九○二 开方得巳中【四十二五三二五】为内容浑圆半径
卯丑句幂【○三六四七四一二四三】 卯中股幂【二五○○】 相并为幂【二八六四七四一二四三】 开方得丑中【五十三五二三二】为外切浑圆半径
丑亥巳卯相乘五因二除为面幂以乘巳中而四因之得十二等面积
简法
十二等面内容小立方【六十一八○三三九八】即理分中末之大分葢戌亥大横线倍大于寅卯故也 大横线即小立方之边
以大横线之幂三因之开方得亥中为外切浑圆半径【丑中同】
又立方根与所容十二等面边若全数与理分中末之小分
约法
立方根与其所容十二等面体内小立方之根若全数与理分中末之大分
凡立方外切浑圆则径上幂三倍于方幂
计开
立方设径一百
内容十二等面边三十八【一九六六○一】
内容小立方边六十一【八○三三九八】
外切浑圆径一百○七【○四六六二五】 即丑中亥中倍数外切浑圆半径【五十三五二三三】 即丑中亥中
内容浑圆半径四十二【五三二五】 即已中 为分体中髙内容浑圆全径八十三【○六五一】
内容二十等面边四十四【七二一一】
几何补编卷三
十二等面体分图 用理分中末线
辛戌亥五等边形为十二等面之一
寅卯防为边折半处中为体心
卯中为外切立方半径【设五十】
卯亢为外切立方全径【设一百】
寅卯线与卯中半径若理分中末之大分与其全数也在圆内为三十六度之分圆 辛癸辛戌等俱七十二度之分圆
乙巳为半径【己丑同】乙癸为三十六度之通
乙已半径与乙癸亦若理分中末一之全数与其大分也故乙已癸三角形与卯中寅相似
若取乙丙切线如乙癸之度则丙巳必同亥癸边【即七十二度通】折半于甲则甲乙为十八度正再于寅卯线取子壬如乙甲取壬癸如乙己半径引已子至癸中末乃自卯作线至中与壬癸平行因得寅中与卯中等则寅中卯即为横切之半面
一率 全数 一○○○○○
二率 三十六度割线 一二三六○七
三率 子寅 一十五【四五○八四九五】
四率 丑寅半边 一十九【○九八三】
倍丑寅得丑戌三十八【一九六六】与简法合
论曰凡十二等面从其半边之防【如寅如卯】聮为线以剖至体之心【中防】则所剖成寅中卯三角形平面必为全圆十之一即寅中卯角必三十六度而中寅或中卯两与寅卯底若理分中末之全分与其大分矣
又十二等面在立方形内必以卯中【或寅中】自心至边之线当立方之半径是立方半径与十二等面之寅卯线亦若理分中末之全与其大分也 若设立方半径一百则寅卯必六十一【八○三三九八】如理分中末之大分也今设立方全径一百其半径五十则寅卯亦必三十○【九○一六九九】如大分之半矣 寅卯二防既在【丑戌丑亥】两边之折半则戌亥大横线必倍大于寅卯而与理分中末大分之全相应为六十一【八○三三九八】 此皆设立方半径五十之数也而半径五十其全径必一百故知设径一百则十二等面之大横线必六十一【八○三三九八】而竟同理分中末大分之数也既得此大横线则诸线可以互知
试先求边 法为酉戌【半大横线】与丑戌等边若全数与三十
六度之余割线也
一率 全数 一○○○○○
二率 三十六度割线 一二三六○七
三率 酉戌半大横线 三十○【九○一六九九】
四率 丑戌全边 三十八【一九六六】
论曰五等边各自其角作线至心分形为五则各得七十二度角【如丑巳戌等其巳角皆七十二度】其半必三十六度【如寅已丑之巳角得戊已丑之半正三十六度】而丑戌酉与丑巳寅皆句股又同用丑角则戌角与巳角等为三十六度
十二等面求积
平面中垂线【卯己】二十六【二八六五】
边【即丑亥丑戌等】三十八一九【六六】 半边【即丑卯丑寅】一十九【○九八三】一面之平幂二千五百一十○【一三七○】
内容浑圆半径四十二【四三二五】 即分体五面立锥之中髙【已中】 中髙三之一一十四【一四四一】
分积三万五千四百九十五【八四七三】 其形为五面立锥其体积为十二之一
全积四十二万五千九百五十○【一六七六】
外切立方根一百 其积一百万
外切浑圆径一百○七【○四六六】
内容立方根六十一【八○三三九八】
外切立方与体内容立方径之比例若理分中末之全分与其大分
又若外切立方之外又切十二等面体体外又切大立方则大立方之径与今所算外切立方径亦若理分中末之全分与其大分而外切之十二等面与其内十二等面径亦必若理分中末之全分与其大分也
孔林宗云外立方与内立方之径为理分中末线全分与大分之比例是矣若内立方之内又容立圆则小立圆之径与小立方之径同而外浑圆与外立方之径不似未可以前比例齐之
若十二等面外切大立方大立方之外又切大立圆大立圆外又切十二等面则大立圆与内容小立圆亦必若理分中末之全分与其大分而外切十二等面与十二等面亦必若理分中末之全分与其大分何则皆外切立方与内容立方之比例也
十二等面容二十等面图
第一图
割十二等面之三平面一尖
成此形癸丑丙丑戊丑俱五
等边平面皆十二等面之一
【已庚辛各为其中心一防】
丑为三平面棱所聚之尖 亥丑戌丑乙丑俱平面边各为两平面所同用之棱 中为体心 巳中辛中庚中皆内切浑圆半径亦内容二十等面自尖至体心半径 巳卯庚卯巳寅辛寅辛壬俱平面中垂线 寅卯壬皆平面边折半之防
第二图
内容二十等面体各自其边
剖至心成此分体为内容体
二十分之一 辛庚巳三角
尖即十二等面之中心原防
此防以外俱剖而得甲防与卯防同在卯中线而甲在卯之下丁在寅下辰在壬下俱同
第三图
自卯防起依卯己卯庚二线
剖至体心中成此平面形卯
即原边折半处卯中即原体
外切立方之半径中即体心
已庚即原两平面之中心防今联为【已庚】线即内容二十等面之一边
已中庚即内切二十等面分体之立面乃三角锥体之一面 甲中为内切二十等面分体之斜垂线 观第二图可明【第二图角防居剖内三角之中心正对原体之丑尖而在其下故角中为内容分体之正髙而甲中为斜垂线也】
今求已庚线【即内容二十等面之边】
法于卯中【外切立方半径】内求甲中以相减得卯甲为股用与卯已【原体之面上中垂线】两幂相减开方得句为已甲倍之得巳庚
卯已中三角形
卯中即外切立方半径设五十为底
卯已即原体之平面中垂线二十六【二八六五】
巳中即内容浑圆半径亦即
内容二十等面分体之斜棱四
十二【五三二五】
以卯巳巳中两相减为较
相并为总以总乘较为实卯中底五十为法除之得亢中二十二【三六○六】以减卯中余二十七【六三九四】为亢卯折半得一十三【八一九七】为卯甲
计开
立方根设一百其半五十【即卯中】亦为十二等面自体心至边
十二等面之平面中垂线【即卯巳】二十六【二八六五】
十二等面内容浑圆半径【即已中】四十二【五三二五】亦为内容二十等面自尖角至体心分体以为锥体之棱
卯巳已中之较一十六【二四六○】 总六十八【八一九○】
较总相乘一千一百一十八【○三三四】为实 卯中五十为法除之得中亢二十二【三六○六】 以中亢减卯中五十余二十七【六三九四】为亢卯折半得一十三【八一九七】为卯甲以卯甲减卯中余三十六【一八○三】为甲中即内容二十等面分体之斜垂线
卯巳自乘得六百九十○【九八○○】为幂
卯甲自乘得一百九十○【九八
四一】为股幂 相减余四百九
十九【九九五九】为勾幂 开方得
巳甲二十二【三六○五】 倍之得
巳庚
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