庚四十四【七二一一】即为内容二十等面边
此法甚确亦且甚防无可疑者偶于枕上又思得一法借灯体分形之三角锥以求十二等面内容二十等面分体之三角锥是以锥体相截而知其所截之
边即为内容二十等面之边
第一图
丑为三平面所聚之尖 丑
戌丑亥丑乙皆两平面同用
之棱 巳庚辛皆五等边平
面之心 己寅己卯等皆平面心至边垂线 已牛丑为平面心对角线 寅卯壬皆平面边折半之防 寅中卯中壬中为体心至边线即外切立方半径 中为心
第二图
聮寅卯卯壬壬寅三线为平
三角面横剖之又各依寅中
卯中壬中线剖至体心中则
成三角锥体二其一为丑寅
卯壬体是三角锥而稍扁者也其一为寅卯壬中体是三角锥而稍长者也其寅卯壬三角平面为扁形之底又为长形之面其寅卯等线与寅中卯中之比例皆若理分中末之大分与其全分也其扁形锥既剖而去则成圆灯所存长锥即灯形分体之一平面心之防为斗在丑尖下与牛防平故丑牛为则斗牛如勾而丑牛之距如股也
第三图
又于圆灯分体剖去辰甲丁
之一截则成甲丁辰中三角
锥乃十二等面内容二十等
面分体中之分体其辰甲丁面与巳庚辛脗合为一葢巳庚辛者内容二十等面之一面各于边折半为甲丁辰而聮之为线则成小三角于中故辰丁等线皆居巳庚线之半而甲中原为二十等面分体之斜垂线者今则为三角锥之楞
第四图
己牛丑即原平面从心至角
尖之线丑斗角中即原体自
尖至中心之线又为外切浑圆半径
依第二图截丑巳于牛而横剖之亦截丑中于斗成丑斗牛勾股形 又依第三图截斗中于角成丑角巳勾股形此两勾股相似而比例等
法为丑牛与丑斗若丑巳与丑角也
第五图
寅中卯三角形为圆灯分体
之立面截为甲丁中三角形
此两形相似而比例等 法为卯中与卯寅若甲中与甲丁也
又斗中为圆灯分体之中髙其平面为寅卯壬角中为截体之中髙其平面为丁甲辰此两体相似而线之比例等 法为斗中髙与寅卯濶若角中髙与甲丁濶先求丑斗髙
用截去扁三角锥以牛卯【即寅卯之半】自乗幂三分加一以减丑卯幂为丑斗幂开方得丑斗高
次求丑角髙
用巳丑对角线乗丑斗以丑牛除之得丑角髙 其丑牛线以牛卯幂减丑卯幂开方得丑牛 巳寅丑寅两幂并开方为己丑
末求巳庚线
用丑角减丑中得角中 又用丑斗减丑中得斗中以角中乘寅卯以斗中除之得甲丁倍甲丁得己庚为内容二十等面之边
理分中末线 以量代算
先以巳为心作图而匀分其
边为五作甲庚乙丙丁五等
边平面【即十二等面之一面】
乙丁为大横线设一百甲庚
等边必六十一【八○三三九八】为大横线理分中末之大分若乙丁大横线设六十一【八○三三九八】则甲庚等边必三十八【一九六六】亦为大横线理分中末之大分
设立方一百 内容十二等面边三十八【一九六六】为理分中末之小分亦即大分之大分
十二等面内又容小立方其边与十二等面之大横线等六十一【八○三三九八】为大立方边一百与十二等面边三十八【一九六六】之中率何也大立方一百乘十二等面边三十八【一九六六】开方得根即小立方及大横线六十一【八○三三九八】
若大横线自乗之幂以十二等面边除之即仍得外立方根而以外立方根除大横线幂必仍得十二等面之边矣
求理分中末线防法 用前图
作五等边平面 求其大横线【乙丁】 聮两角为线即得之
次以大横线之一端【如乙】为心其又一端【如丁】为界作丁戊圆分乃引五等边与圆分相遇【如引乙丙至戊与圆分遇于戊】则相遇处【如戊】至圆心【如乙】为全分【即乙戊亦即乙丁大横线】原边为大分【即乙丙】引出余边为小分【即丙戊】
又法
作平三角使两角【如戊如丁】俱倍大于一角【如乙】末乃破一倍
角平分之作线至一边【如平分丁
角为两作丁丙线至乙戊边】则其斜线即
为理分中末之大分【即丁丙也】
解曰倍破角则与小角等【如破丁角为两皆与乙角等】而乙丙丁形之乙丁两角同大则【乙丙丁丙】两亦同大而乙丙既为大分丁丙亦为大分矣准此又破丙角可以递求于无穷诸体比例
凡诸体之比例有三
一曰同边之比例可以求积
一曰同积之比例可以求边
一曰相容之比例可以互知
内相容之比例亦有三
一曰立圆内容诸体之比例 所容体又容立圆一曰立方内容诸体之比例 所容体又容立方一曰诸体自相容之比例【即同径同髙之比例】或或两体互相容或数体递相容
等积之比例 比例规解所用今攷定
立方积 一○○○○○○ 其边一百
四等面积一○○○○○○ 其边二百○四八等面积一○○○○○○ 其边一百二十八十二等面积 一○○○○○○ 其边五十
二十等面积 一○○○○○○ 其边七十七方灯
圆灯
凡方灯依楞剖之纵横斜侧皆六等边平面凡圆灯依楞剖之纵横斜侧皆十等边平面故皆有法形体
等边之比例 测量全义所用今攷定
立方边一○○积一○○○○○○方灯体边 ○七○七一○六积○八三三三三三
边 一○○ 积二三五七○二一
八等面边 ○七○七一○六 积○一六六六六六
边 一○○ 积○四七一四○四
四等面边 一○○ 积○一一七八五一
十二等面边一○○ 积七六八二二一五
二十等面边一○○ 积二一八一八二二圆灯体边 ○三○九○一七 积○二九○九二九
边 一○○ 积○九八五九一六
等径之比例 皆立方所容
立方径一○○积一○○○○○○ 边【一○○】内容方灯径一○○积○八三三三三三 边【○七○七一○六】内容四等面径 一○○积○三三三三三三 边【一四一四二一三】内容八等面径 一○○积○一六六六六六 边【○七○七一○六】内容立圆径一○○积○五二三八○九
内容二十等面径一○○积○五一五二二六 边【○六一八○三四】内容十二等面径一○○积○四二五九五○ 边【○三八一九六六】内容圆灯径 一○○积○二九○九二九 边【○三○九○一七】右以立方为主而求诸体
内立方及灯体之径为自面至面
四等面十二等面二十等面之径皆自边至边【以边折半处作垂线至对边折半处形如工字四等面则上下边遥相午错如十字】
八等面之径为自尖至尖 然皆以其径之两端正切于立方方面之中心一立方面其相切亦必六求积约法
凡立方内容诸体皆与立方之六面同髙同濶 则灯形积为立方积六之五 四等面积为立方积三之一八等面积为立方积六之一 以上三者皆方斜比
例
灯形及八等面皆以方求斜法以边自乘倍之开方得外切立方径以径再自乘得立方积取六之五为灯六之一为八等面积
四等面则以方求其半斜法以边自乘半之开方得外切立方径以径再自乘为立方积取三之一为四等面积
立圆在立方内则其积为立方积二十一之十一谨按方圆比例祖率圆径一百一十三圆周三百五十五见郑世子律学新説较径七周二十二之率为宻又今推平圆居平方四百五十二分之三百五十五较十四分之十一为宻又推得立圆居立方六百七十八分之三百五十五较二十一分之十一为宻
准立方比例以求各体自相比 皆以同髙同阔同为立方所容者较其积
灯内容同髙之八等面 为八等面得灯积五之一又立圆内容同髙之八等面 为八等面得圆积六十六之二十一【即二十二之七】 二者皆同髙而又能相容用课分法母互乘子得之
准此而知立圆内容八等面其积之比例若围与径也
又立方内容十二等面其内又容八等面 又立方内容二十等面其内又容八等面 二者亦同髙而能相容
同髙之四等面积为灯积五之二【即十之四 以灯面四因退位得四等面积】同髙之八等面积为四等面积二之一
同髙之四等面积为立圆积十一之七
此三者但以同髙同为立方所容而不能自相容若相容则不同髙
凡立方之灯形内又容立方则内小立方边与径得外立方三之二体积为二十七之八面幂为九之四凡灯容立方以其边为方而求其斜为外切之立方边取方斜三之二为内立方边
立方边一○○面幂一○○○○ 体积【一○○○○○○】
灯边○七○七一○六 面幂○五○○体积【○八三三三三三】小立方边○六六六六六六 面幂○四四四四四四 体积【○二九六二九六】凡方内容圆圆内又容方则内小方之幂得大方三之一防法以小方根倍之为等边三角形之边而求其中垂线即外切立圆之径亦即为外大方之边
如图三边既等则乙丙得甲丙之半若乙丙一其幂亦一而甲丙二其幂则四以乙丙句幂一减甲丙幂四所余
为甲乙股幂三
内方之幂一而外切浑圆之
幂三故其根亦如乙丙与甲
乙也 或以小立方之根为句倍根为求其股为外切浑圆径亦同【浑圆径即外方边】
若以量代算则三角形便
如以大方求小方者则以大方为中垂线而作等边三角形其半边即小方根也
或用大方为股而作句股形使其句为之半即得之防法句股形使甲角半于丙角则倍于句而句与股如小立方根与大方根
或以甲角作三十度而自乙作垂线引之与甲丙线遇于丙则乙丙即圆所容方之根
又按先有大方求小方者取大方根倍之为等边三角形之边而求其中垂线以三归之即得
凡立方内容方灯灯内又容立圆圆内又容圆灯灯内又容八等面凡四重在内其外切于立方也皆同防【切立方有六处所同者皆在其方面之最中一防若从此一防刺一针则五层悉透内惟方灯以面切面不可言防若言防则有十二皆切在立方边折半处】
凡立方内容方灯灯内又容十二等面体体内又容圆灯灯内又容八等面凡四重在内其切于立方也皆同处【凡六处皆在立方面内方灯体以面切面十二等面以边切余皆以尖切尖切者皆每面之最中防】凡立方内容方灯灯内又容二十等面体体内又容圆灯灯内又容八等面同上
凡立方方灯立圆十二等面二十等面圆灯内所容之八等面皆同大
凡立方内容四等面体体内又容八等面其切立方皆同处【四等面以边切为立方六面之斜八等面以尖切居立方各面中心即四等面边折半处】准此而知立方内所容之八等面与四等面所容之八等面亦同大且同髙各体中所容八等面皆同大因此可知
凡立圆内容十二等面体 又容立方其立方之角同十二等面之尖而切于立圆故立圆内所容之立方与十二等面内所容之立方同大
凡二十等面体内容立圆 内又容立方立方之角切立圆以切二十等面之面故立圆所容之立方与二十等面内所容之立方必同大
凡二十等面体内容立圆 内又容十二等面体体内又容立方此立方之角切十二等面之角以切立圆而切于二十等面之面皆同处
凡诸体能相容者其相容之中间皆可容立圆此立圆为外体之内切圆亦为内体之外切圆
惟八等面外切二十等面十二等面四等面及圆灯其中间难着立圆何也八等面之切圆灯以尖切尖而其切四等面十二等面二十等面则以尖切边故其中间不能容立圆
其他相切之中间能容立圆者皆以内之尖切外之面凡诸体在立方内即不能外切他体惟四等面在立方内能以其角同立方之角切他体故诸体所容四等面之边皆与其所容立方之面为斜线
凡诸体相容其在内之体为所容其在外之体为能容能容与所容两体之相切必皆有一定之处
凡相容两体之相切或以尖或以边【即体之棱】或以面浑圆在立方内为以面切面其相切处只一防皆在立方每面之中央【立方六面相切凡六防】
立方在浑圆内为以尖切面【立方之角有八故相切有八防】有一防不相切者即非正相容也
浑圆在诸种体内皆与在立方内同谓其皆以面切诸体之面而切处
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