如上下两面所切十二等
面之边横则前后两面所切
之边必纵而左右两面所切
之边又横若引其边为周线
则六处相交皆成十字
立方内容二十等面边亦同
凡各体相容皆以内之尖切
外之面惟立方内容四等面
则以角而切角立方内容十
二等面二十等面则以边而
切面
厯算全书卷五十七
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
厯算全书卷五十八
宣城梅文鼎撰
防何补编卷四
方灯
凡灯形内可容立方立方在灯体内必以其尖角各切于八三角面之心
如图
灯体者立方去其八角也平
分立方面之边为防而联为
斜线则各正方面内成斜线
正方依此斜线斜剖而去其
角则成灯体矣此体有正方
面六三角面八而边线等故
亦为有法之体
凡灯体内可容八等面八等面在灯体内又以其尖角各切于六方面之心
凡灯体内可容立圆此立圆内仍可容八等面此八等面在立圆内可以各角切立圆之防同防于灯体之六方面而成一防
凡灯体容立圆其内仍可容诸体然惟八等面在立圆内仍能切灯体余不能也按圆灯在立圆内亦能切灯体与八等面同
凡诸体相容皆有一定比例以其外可知其内
灯体之边设一百其幂一万○倍之二万开方得一百四十一【四二一三】为灯之高及其腰广【边如方面高广如斜故倍幂求之】以高一百四十一【四二一三】乘方斜之面幂二万得二百八十二万八千四百二十六为方斜之立方积
立方积五因六除得二百三十五万七千○二十一为灯积
灯积为立方六之五
以灯积减立积余四十七万一千四百○五为内容八等面积此八等面在立积内亦在灯积内皆同腰广同高 其积之比例为立积六之一为灯积五之一此相容比例
八等面与灯积不惟同高广亦且同边故五之一亦即为八等面与灯积同边之比例也
灯形内容立方其边为灯体高广三之二 设灯体边一百其高广一百四十一【四二一三】则内容立方边九十四【二八○八】立方积八十三万八千○五十一
灯高广自乘之幂二万如左图甲乙方去其左右各六之一余三之二如丙丁矩又去其两端六之一余三之
二如戊正方丙丁矩一万三千
三百三十三【三三】戊正方八千
八百八十八【八八】为内容正方
之一面幂其根九十四【二八○八】以根乘面得八十三万八千
○五十一
凡等边平三角之心依边剖
之皆近大边三之一灯内容
立方之八角皆切于平三角
之心灯改立方则所去者皆
四围斜面三之一于前形爲六之一四围皆六之一合之爲三之一而所存必三之二矣
凡立方体各自其边之中半斜剖之得三角锥八此八者合之卽同八等面体
依前算八等面体其边如方其中高如方之斜若以斜径爲立方则中含八等面体而其体积之比例爲六与一
何以言之如己心辛爲八等
面之中高庚心戊爲八等面
之腰广己庚己戊戊辛辛庚
则八等面之边也若以庚心
戊腰广自乗爲甲乙丙丁平面又以己辛心中高乗之爲甲乙丙丁立方【立方一面之形与平面等】则八等面之角俱正切于立方各面之正中而爲立方内容八等面体矣夫己心辛庚心戊皆八等面【己庚等面】爲方之斜也故曰以其斜径爲立方则中含八等面体也
又用前图甲乙丙丁爲立方之上下平面从己庚庚辛辛戊戊己四线剖至底则所存爲立方之半而其所剖
三角柱体四合之亦爲立方之
半也
此方柱也其高之度如其方之斜
立方之四隅各去一立三角
柱则成此体 其积爲立方
之半爲八等面之三倍其中
仍容一八等面体
八等面体在方柱体内
柱形从对角斜线【如己辛戊庚】剖
至底又从对边十字线【如丑尾卯
箕】剖至底又从腰线【角申亢】横
截则剖为三角柱一十六【即皆
如心辛申未丑之体】
三角柱眠视之则堑堵也
堑堵从一尖【即心尖】斜剖至对
底【未申】则鼈臑也鼈臑居堑堵
三之一
堑堵立则为三角柱鼈臑立
则为三角锥
八等面体从尖心剖至对角
亦剖至对边而皆至底【子】又
从腰【角申亢】横剖之则成三角
锥十六
夫方柱为堑堵十六而八等
面为鼈臑亦十六则堑堵鼈
臑之比例即方柱八等面之
比例矣鼈臑为堑堵三之一
则八等面亦方柱三之一矣方柱者立方之半也八等面既为方柱三之一不得不为立方六之一矣
立方内容灯体
甲庚立方体六面各平分其
边【如壬丑癸卯及子未酉午辰诸防】而斜剖
其八角【如从丑癸剖至子从从癸卯剖至酉从酉
剖至午未则立方去其八角】成灯体
灯体立方六之五
何以知之立方所去之八角
合之即成八等面八等面既
为立方六之一则所存灯体
不得不为立方六之五矣
凡立方内容灯体皆以灯之边线为立方之半斜立方内之灯体又容八等面则以内八等面之边线为立方之半斜与立方竟容八等面无异推此灯内容八等面其边线必等其中径亦等
剖立方之角成此
以剖处为底则三边等以立
方之角丁为顶成三角扁锥
扁锥立起则成偏顶锥为八
等面分体
凡八等面容灯体皆以灯体
之边线得八等面之半八等
面内之灯体又容立方则亦
方斜比例与八等面竟容立
方无异也
甲丙丁丙丁乙甲丁戊戊丁
乙皆八等面之一己子卯等
小三角在甲丁丙等大三角
面内即灯体之八斜面正切
于八等面者也其中央心防
即内容立方角所切
等径之比例
立方径一 其边一其积一一○○○○○○内容灯径一其边○七 其积六之五○八三三三○○内容八等面径一 其边○七 其积六之一○一六六六○○凡立方内容灯体灯内又容立圆圆内又容八等面其切于立方之面之中央凡六处皆同一防若立圆内容灯体灯内又容立方方内又容八等面其相切俱隔逺不能同在一防
凡灯体皆可依楞横剖如方灯横剖成六等边面故其外切立圆之半径与边等 如圆灯横剖成十等边面故其外切立圆之半径与其边若理分中末之全分与其大分
凡诸体改为灯皆半其边作斜线剖之
凡灯体可补为诸体皆依其同类之面之边引之而防于不同类之面之中央成不同类之锥体乃虚锥也虚者盈之即成原体所以化异类为同体也
如方灯依四等边引之补其八隅成八尖即成立方若依三等边引之补其六隅成六尖即成八等面如圆灯依五等边引之补其二十隅成二十尖即成十二等面若依三等边引之补其十二隅成十二尖即成二十等面
増异类之面成锥则改为同类之面而异类之面隐此化异为同之道也
凡灯体之尖皆以两线交加而成故棱之数皆倍于尖【方灯十二尖二十四棱圆灯三十尖六十棱】
凡灯体之棱【即边】皆可以联为等边平面圏 如方灯二十四棱联之则成四圏每圏皆六等边如六十度分圆线 圆灯六十楞联之则成六圏每圏皆十等边如三十六度分圆线 此外惟八等边联之成三圏每圏四楞成四等面而十二棱成六尖有三棱八觚之正法其余四等面十二等面二十等面皆不能以边正相联为圏
灯体亦有二
其一为立方及八等面所变其体有正方之面六三角之面八有边棱二十四而皆同长棱尖凡十有二其一为十二等面二十等面所变其体有五等边之面十二有三角等边之面二十有边楞六十而皆同长棱尖凡三十
立方及八等面所变是刓方就圆终方势谓之方灯十二等面及二十等面所变是削圆就方终带圆体谓之圆灯方灯为立方及八等面所变其状并同而比例同
甲乙立方体丙丁戊己庚辛
壬癸子皆其边折半处各于
折半防联为斜线【如丙戊丙己等】依
此灯体斜线剖而去其角则
成灯形矣
灯形之丁辛高丙丁濶皆与立方同径 其边得立方之半斜【假如立方边丁辛一百则灯体边丁壬七十有竒】其积得立方六之五【假如立方边一百其积百万则灯体边七十有竒其积八十三万三千三百三十三三三】此为立方内容灯体之比例也若灯与立方同边必反小于灯【假如灯体边亦一百则其积二百三十五万七千○二十一而立方一百之积只一百万是反小于灯也】解曰灯体边一百【如前图之丁壬】其外切立方必径一百四十一【四二一三如前图之丁辛】其自乘之幂二万以径乘幂得二百八十二万八四二六为立方积再五因六除得灯积二百三十五万七千○二十一
又法以灯边自乘倍之开方得根仍以根乘倍幂再五因六除
见积亦同
甲乙为八等面体 甲乙丙
丁戊皆其边棱所辏之尖
甲丙丁面三边皆等其三边
折半于辛于庚于己
甲丁戊面其边折半于辛于
壬于癸乙丙丁面其边折半
于寅于己于丑乙丁戊面其
边折半于丑于癸于子各以折半防联为斜线则各成小三等面如甲丙丁面内又成庚辛己三等边面其边皆半于原边如庚辛得丁丙之半余三边同
各自其小三角之面之边剖之而去其锥角则成灯形矣
如依辛巳己丑丑癸癸辛四边平剖之而去其丁角【以丁角为尖辛巳丑癸为底成扁方锥甲丙乙戊尖并同】则所剖处成辛巳丑癸平方面【去甲壬辛庚锥成卯壬辛庚面去丙庚己寅锥成庚酉寅己面并同一法余可类推】
八等面体有六角皆依法剖之成平方面六而剖之后各存原八等面中小三角等边面八与立方剖其八角者正同
灯形之高濶皆得八等面之半
如辛丑高得甲乙之半
己癸濶得丙戊之半
其边亦为八等面原边之半
其积得八等面八之五
何以知之曰同类之体积以
其边上立方积为比例故边
得二之一其积必八之一也
今所剖去之各尖俱以平
方为底而成方锥两方锥合
为一八等面体皆等面等边
与原体为同类而其边正得
原边二之一则其积为八之
一也 原体六尖各有所成之锥体皆相等合之成同类八等面之体凡三其积共为原积八之三以为剖去之数则所存灯体得八之五也
如上图甲乙二锥合为八等面体一丙戊二锥合为八等面体一 丁尖及所对之尖其二锥合为八等面体一 通共剖去同类之形三
假如八等面之边一百则其积四十七万一千四百○四其所容灯体边五十其积必二十九万四千六百二十七五 以八等面积五因八归之见积
或用捷法竟以十六归进位所得灯积亦同
右法乃八等面内容灯体比例也
若灯体之边与八等面同大则其积五倍大于八等面假如灯体边一百则其积二百三十五万七千○二十以八等面边一百之积四十七万一千四百○四加五倍得之 此法则灯体与八等面同为立方所容之比例亦即为灯内容八等面之比例
准此而知灯内容八等面八等面又容灯则内灯体为外灯体八之一
灯体内容八等面 五之一 【用畸零乘法化大分为小分以八等面母数八乘五之一】八等面内容灯体 八之五 【得八乘母数五得四十】
外灯体四十 八等面体八 内灯体五 合之为内体得外体四十之五约为八之一
又八等面容灯灯又容八等面内八等面亦为外八等面八之一 其体之比例既同则其所容之比例亦同也立方内容灯体灯内又容立方则内立方边得外立方边三之二内立方积得外立方积二十七之八
以三之二自乘再乘为三加之比例也
六 之 五 一百三十五
二十七之八 四十八
准此而知灯内容立方则内立方积得灯积一百三十五之四十八 若灯容立方立方又容灯则内灯积亦为外灯积二十七之八其为所容者之比例即能容者之比例故也求方灯所去锥体
三角锥棱皆五十即原边之
半【甲乙甲丙甲丁】 底之边皆七十
○【七一○七】即灯体之边【丙乙乙丁丁丙】其半三十五【三五五三乙戊戊丁】
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