求甲戊斜垂线
法曰乙丁为甲乙之方斜线则甲戊为半斜与乙戊戊丁等皆三十五【三五五三】其幂皆一千二百五十
求丙戊中长线
以戊丁幂三因之为丙戊幂平方开之得六十一【二三七二】为丙丁乙等边三角形中长线
求甲己中高线
法以戊丁幂【一千二百五十】取三之一为己戊幂【四百一十六六六六六】与甲戊幂【即丁戊幂】相减余【八百三十三三三三三】为甲己中高幂开方得甲己中高二十八【八六七五】
又以己戊幂开方得己戊二十○【四一二四】以己戊【二十○四一二四】乘戌丁【三十五三五五三】得【七百二十一六八六五】又三因之得【二千一百六十四○五七五】为乙丙丁三等边幂
又以中高甲己【二十八八六七五】乘之得数三除之得三角锥积二万○八百二十三【六六三五】又八乘之得一十六万六千五百八十七【三○】为所去八三角锥共积即立方一百万六之一与前所推合【本该一十六万六千六百六十六六六不尽因积算尾数有欠然不过万分之一耳】
圆灯为十二等面二十等面所变体势并同而比例亦别
公法皆于原边之半作斜线相联则各平面之中成小平面此小平面与原体之平面皆相似即为内容灯体之面 依此小平面之边平剖之去原体之锐角此所去之锐角皆成锥体锥体之底平割锥体则原体挫锐为平亦成平面于灯体原有若干锐亦成若干面而与先所成之小平面不同类然其边则同
如图
十二等面每面五边等今自
其各边之半联为斜线则成
小平面于内亦五等边为同
类
依此斜线剖之而去其角所
去者皆成三角锥锥体既去
即成三等面为异类
原有十二面故所存小平面
同类者亦有十二
原有二十尖故所剖锥体而
成异类之面者亦二十
求灯体边
法以十二等面边为理分中末之大分求其全分而半之即为内容灯体之边
一率 理分中末之大分六十一【八○三三九八】二率 理分中末全分之半 五十○
三率 十二等面之边 一百○○
四率 内容灯体之边 八十○【九○一七】
灯体边原为大横线之半十二等面边与其大横线若小分与大分则亦若大分与全分也而十二等面边与灯边亦必若大分与全分之半矣
总乘较为实戊丙底为法法
除实得丙辛以丙辛减戊丙
得戊辛折半为戊己
法当以所得戊己自乘为句
幂用减甲戊幂余为甲己幂
开方得一十七【八四一一】为中高
今改用捷法【省求丙辛】取戊丙幂
九之一为戊己幂【戊己为戊内三之一
故其幂为九之一】得五百四十五【四二
三七】
或径用戊丁幂三之一亦同
又捷法不求甲戊斜垂线但以戊丁幂三分加一以减甲丁【即甲丙或甲乙】幂为甲己幂开方即得甲己中高比前法省数倍之力
戊丁幂 一千六百三十六【二七一二】
三之一 五百四十五【四二三七】
并得二千一百八十七【六九四九】
甲丁【即甲丙幂】二千五百○○
相减余【甲乙幂】 三百一十八【三○五一】与前所得同解曰原以戊丁幂减甲丁幂得甲戊幂复以戊丁幂三之一减甲戊幂得甲己幂今以戊丁三分加一而减甲丁幂即径得甲己幂其理正同
前之捷法有求丙辛及较总相乘后用底除诸法可谓捷矣今法径不求甲戊斜垂线捷之捷矣凡三角锥底濶等者当以为式
订定三角锥法【圆灯所去】
用捷法以戊丁幂三分加一减甲丁幂为甲己幂
甲丁【甲乙甲丙】皆设五十
丙丁【丁乙乙丙】皆八十○【九○一七】其
半【戊丁戊乙】四十○【四五○八半】丙戊七十○【○六二九】为底之垂线
甲己一十七【八四一一】为中高
丙乙丁底幂二千八百三十四
【一○三八】
法以半边【戊丁】乘中长【丙戊】得底幂【丙乙丁】 以中高【甲己】乘底幂【丙乙丁】得三角柱积五万○五百六十三【五二九三】 三除之得锥积一万六千八百五十四【五○九七】 又以二十乘之为灯体所去之积三十三万七千○九十○【一九四○】十二等面边设一百前推其积为七百六十八万三千二百一十五今减去积三十三万七千○九十存灯积七百三十四万五千一百二十五 内容灯体边八十○【九○一七】
依测量全义凡同类之体皆以其边上立方为比例可以推知二十等面所变之灯体
二十等面边设一百则灯体之边五十
捷法求得一百七十三万三千九百四十八为设边五十之灯积
一 灯体边八十○【九○一七】之立方五十二万九千○百○八【五】二 灯体积七百三十四万五千一百二十五
三 灯体边五十之立方一十二万五千
四 灯体五十之积一百七十三万三千九百四十八圆灯
边设三十○【九○一七即理分中末之大分乙丁】外切立圆半径五十【即理分中末之全分丁中乙中】外切立圆全径一百【即外切立方】体积四十○万三千三百四十九
内有三角锥计二十共计一十二万
八千七百五十二
五棱锥计十二共积二十七万四千
五百九十六
丁中丙乙三角锥为圆灯分体之一 乙丁丙三等边面巳为平面心 中为体心 中巳为分体之中高戊丁为半边丁中自体心至角线为分体之棱 戊中为斜垂线
乙癸中辛五棱锥亦圆灯分体之一 乙丁癸壬辛五等边面庚为平面心 中庚为分体中高 其戊丁半边丁中分体棱戊中斜垂线与前三角锥皆同一线何以知两种锥形得同诸线乎曰乙戊丁边两种分体所同用而两种锥体皆以体心中为其顶尖故诸线不得不同观上图自明
先算三角锥【共二十】
半边一十五【四五○八五】戊丁幂二百三十八【七二八七】
平面容圆半径【即戊巳】○八【九一○五】其幂七十九【五七六二用捷法取戊丁幂以三除得之】
平面积【乙丙丁面】四百一十三【四八七九】
中高【即己中】四十六【七○七五本法以戊丁幂减丁中幂为戊中幂又以戊丁幂三之一当戊己幂减之为巳中幂今径以戊丁幂加三之一减丁中幂为己中是捷法也】
三角锥积六千四百三十七【六六二○】
二十锥共积一十二万八千七百五十三【三四】
次算五棱锥【共十二】
半边一十五【四五○八五戊丁】
半周七十七【二五四二五用半边五因得之】
平面容圆半径二十一【二六六三戊庚】
五等边平积一千六百四十二【九一二○】
中高四十一【七八五三庚中】
五棱锥积二万一千九百六十二【六六】
十二锥共积二十七万四千五百九十六
求戊庚半径
一率 三十六度切线 ○七二六五四
二率 全数 一○○○○○
三率 半边戊丁 一十五【四五八五】
四率 平面容圆半径【戊庚】二十一【二六六二】
戊丁句幂二百三十八【七二八七】丁中幂二千五百○○
戊中股幂二千二百六十一【二七一三】
戊庚句幂四百五十二【二五五五】戊中幂二千二百六十一【二七一三】庚中股幂一千八百○九【○一五八】
戊丁半边幂四因之为全边三十○【九○一七】之幂
一 灯体边五十之立方一十二万五千
二 灯体边五十之体积一百七十三万三千九百四
十八
三 灯体边三十○【九○一七】之立方二万九千五百○八
【四九八七】
四 灯体边三十○【九○一七】之体积四十○万九千三百二十九与细推者只差五千九百八十为八十分之一
柱积六万八千六百四十九
锥积二万二千八百八十三
十二锥共积二十七万四千五百九十六
孔林宗附记
方灯可名为二十四等边体 圆灯可名为六十等边体
四等面体又可变为十八等边体为六边之面四为三边之面四凡十二角
又可变为二十四等面体面皆三边凸边二十四凹边十二十字之交六凡八角如蒺藜形
六等面体又可变三十六等边体为八边之面六为三边之面八凡二十四角
八等面体亦可变三十六等边体为六边之面八为四边之面六凡二十四角
又可变四十八等边体为四边之面十八为三边之面八凡二十四角
大圆容小圆法 平浑
甲大圆内容乙戊丙三小圆
法以小圆径【如乙戊戊丙】为边作
等边三角形而求其心如丁
乃于丁戊【三角形自心至角线】加戊甲
【小图半径】为大圆半径【丁甲】
凡平圆内容三平圆四平圆五平圆六平圆皆以小圆自相扶立 若平圆内容七平圆以上皆中有稍大圆夹之
甲大浑圆内容丙戊乙己四
小浑圆法以小浑圆径【如乙戊戊
巳等】为边作四等面体而求其
体心如丁 次求体心至角
线【如丁戊丁己丁乙丁丙又为外切立圆半径】加小浑圆半径【即戊甲】为大圆半径【如丁甲】
凡浑圆内容四浑圆或容六浑圆或容八浑圆十二浑圆皆直以小浑圆自相扶 若浑圆内二十浑圆则中多余空必内有稍大浑圆夹之
甲大平圆内容乙戊丙己四
小平圆法以小圆径【如乙戊等】为
边作平方【如乙戊丙己方】而求其斜
【如丁乙即方心至小圆心线】加小圆半径
【如乙甲】为大圆半径【如丁甲】
若先有大圆【甲】而求所容小圆则以三率之比例求之一率 方斜并数 二四一四
二率 方根 一○○
三率 所设之浑圆半径 丁甲
四率 所容之小圆半径 乙甲
推此而知五等边形于其锐角为心半其边为界作小圆而以五等边之心至角如半边以为半径而作大圆则大圆容五小圆俱如上法
若六等边于其鋭作小圆仍可于其心作圆共七小圆何也六等面之边与半径等也其法只以小圆径【即六等边】
二分加一为大圆半径
甲大浑圆内容乙丙等六小
浑圆
法以小浑圆之径为边作八
等面虚体如乙己丙辛戊皆
小立圆之心联为线则成八
觚 乃求八等面心【丁】至角
之度【如丁乙等】加小圆半径【如甲乙】为大浑圆半径【如甲丁】
捷法以小浑圆径为方【即乙己丙
辛平方】求其斜【如丁乙】加小圆半
径【如甲乙】为大圆半径或以小浑圆径自乘而倍之开方得根加小圆半径为大圆半径亦同
或先得大圆而求小圆径则用比例
一率 方斜并 二四一四
二率 方根一○○
三率 所设大浑圆之径
四率 内容六小浑圆之径
甲浑圆内容乙丙戊已庚壬辛及癸丑子寅卯十二小圆
法以小立圆径【如乙丙等】作二十
等面虚体之棱【如乙丙等俱小圆之心联
为线则成二十等面之棱】次求体心【丁】至
角【即小圆心】之线【如乙丁】加小圆半
径【如甲乙】为大圆半径【如甲丁】按体心至角线即二十等面
外切圆半径
二十等面之例边一百【即小浑圆
例径】
外切浑圆例径二百八十八
【一三五五】
二十等面边一百者其外切浑圆径一百八十八奇又加小浑例径得此数
若先有大浑圆而求所容之十二小浑圆则以二率爲一率四率爲三率
一 外切浑圆之例径二百八十八【一三五五】
二 二十等面之例边一百【卽小浑圆例径】
三 设浑圆之全径一百
四 内容十二小浑圆之径三十八【六九 其比例如全四八 分与小分】甲庚大平圆内容七小圆
法以甲庚圆径取三之一【如丁
乙庚辛等】爲小圆径若容八圆以
上则其数变矣假如以七小圆
均布于大圆周之内而切于
边则中心一小圆必大于七
小圆而后能相切【以上仿此】
甲大浑圆内容八小立圆
法以小圆径作立方【如乙庚方】求
其立方心至角数【即外切浑圆半径如
乙丁】再加小圆半径【如甲乙】为大
浑圆半径【如甲丁】
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