既得中长线丙乙以乘丁
乙半边即等边三角形积 若以丙乙幂丁乙幂相乘得数平方开之得三等边形之幂积
防法不求中长线但以丁乙幂三因之与丁乙幂相乘开方得根即三等边幂积 或用原边丁甲自乘得数乃四分之取四之一与四之三相乘得数开方得三等边积亦同
论曰边与边横直相乘得积若边之幂乘边之幂亦必得积之幂矣故开方得积
法曰以原边之幂三因四除之又以原边之半乘之两次为实平方为法开之得三等边形幂积
解曰原边幂四之三即中长幂也半边乘二次以幂乘也 又法以原边与半边幂相减相乘开方见积平三角等边形幂积自乘之幂与平方形幂积自乘之幂若三与十六【理同前条】
解曰甲戊庚丁为平方形丁
丙甲为等边三角形其边同
为甲丁题言丁甲线上所作
三等边形与所作正方形其积之比例若平积三与十六之平方根也【即一七竒与四○】
防法于分面线上取三点为等边三角形积其十六点即正方积 若以边问积则以边之方幂数于分面线之十六点为句置尺取三点之句即得三等边积其设数得数并于平分线取之【此用比例尺算】
又法作癸卯辰半员辰癸为径于径上匀分十七分而尽一端取其四分如丑癸【丑癸为辰癸十七分之四则丑子为辰子十六分之三】
折半于丁以丁为心丁癸为
半径作癸壬丑小半员又以
丁癸折半于子作卯子直线
【与辰癸径为十字埀线】割小员于壬则
壬子与卯子之比例即三等
边幂与正方幂积比例
用法有三等边形求积法以甲丁边上方形【即庚甲】积作卯子直线如句四倍之作横线如辰子为股次引横线取子癸为卯子四之一又取丁子如癸子次以丁癸为半径丁为心作半员截卯子于壬即得壬子为三等边积
防法不作辰子线但于子作半十字线如癸丁次于子点左右取癸取丁各为卯子四之一乃任以丁为心癸为界作割员分即割卯子于壬而为三等边形之积论曰此借用开平方法也平方求根有算法有量法此所用者量法也量法有二其一以两方之边当句当股而求其是为并方法也其一用半员取中比例此所用者中比例也【详比例规觧】
附三等边求容圆
法曰以原边之幂十二除之为实平方开之得容圆半径
解曰原边幂十二之一即半边三之一也
附三等边形求外切圆
法曰以原边之幂三除之为实平方开之得外切圆半径 一法倍容圆半径即外切圆半径
新増求六等边法
法曰六等边形者三等边之六倍也【以同边者言】 用前法得三等边积六因之即六等边积
依前法边上方幂与三等边形幂若四○与一七竒因显边上方幂与六等边形幂若四○与十○二竒【亦若一○○与二五五】
今有六等边形问积 法以六等边形之一边自乘得数再以二五五乘之降两位见积
解曰置四○与一○二各以四除之则为一○○与二五五之比例也
若问员内容六等边形者即用员半径上方幂为实以二五五为法乘之得数降二位见积亦同【降二位者一○○除也】依显平员积与其内容六等边形积之比例若三一
四与二五五
论曰六等边形之边与外切员形之半径同大故以半
径代边其比例等【半径上方与六等边
形亦若一与二五五】然则员全径上方
形与内容六等边形必若四
○○与二五五【全径上方原为半径上方】
【之四倍】而员面幂积与六等边形积亦必若三一四与二五五矣【员径上方与员幂原若四○○与三一四故也】
用尺算 用平分线 求同根之幂
平方幂 四○○八十○ 【皆倍而退位之数】平员幂 三一四约爲六十三弱【实六二八】
六等边幂二五五五十一
三等边幂一七○三十四
右皆方内容员员内又容六角之比例其六等边与员同径乃对角之径也于六等边之边则爲倍数三等边则只用边
若六等边形亦卽用边与平方平员之全径相比则如后法
平方 四○○ 平方 一○○○○平员 三一四 平员七八五四六角一○二○ 六角 二五五○○三角 一七○ 三角四二五○论曰以平方平员之径六角三角之边并设二○则爲平方四○○之比例若设一○○则如下方平方一○○○○之比例也
量体细法
四等面体求积
法曰以原边之幂三除之得数以乘边幂得数副寘之又置边幂二十四除之得数以乘副平方开之即四等面积也
又法置半边幂三除之得数以乗半边幂得数副寘之又以六为法除半边幂得数为实平方开之即四等面积四分之一也【即三角扁锥】
算二十等面
二十等面之棱线甲丁设一百七十八【原设一百一十因欲使外切立方与十二等面同故改此数】 心乙一百四十四【即原切十等边之半径又为外切立方之半径】 外切立方径二百八十八
求中心为分体之高 法先
求乙中【乃各棱折半处至三角面中央一点之距】依防何补编半甲丁得八
十九为甲乙自乘【七千九百二十一】取三之一【得二千六百四十又三之一】为
乙中句幂又以心乙【一四四】自乘【二○七三六】为幂相减余【一万八千○九十五又三之二】为股幂开方得心中一百三十四半强为分体鋭尖之高倍之得二百七十九半弱为内容立员径
求甲心为分体斜棱 法以甲乙为句其幂【七九二一】以乙心为股其幂【二○七三六】并之【二八六五七】为幂开方得甲心一百六十九二为分体自角至鋭之斜棱 倍之三百三十八半弱为外切浑员之径
或取理分中末线之大分【如心乙】为股小分【如甲乙或丁乙】为句取其【甲心或丁心】为二十等面自角至心之楞线合
之成甲心丁形即二十等面分形之
斜立面也甲丁则原形之楞也
如【甲心丁】之面三皆以心角为宗以甲
心等合之【三面皆有此】则甲丁等底【三底
并同甲丁】以尖相遇而成三等边之面即
二十等面之一面也以此为底则成
三角尖锥矣 尖锥之立三角面皆等皆稍小于底解曰乙戊与甲乙等而甲心与戊心【即乙心】不等如与股【乙戊即十等边之一边乃二十等面横切之面之边】今欲求心中正立线中即
二十等面一面之中自此至
心成心中线则其正高也
法先求甲中为句取其幂以
减甲心幂即心中股幂开
方得心中
简法取乙甲【即原楞之半又即小分】自幂三之一以减乙心【即大分又即原楞均半处至形心即斜立面中线】之幂即心中幂
又解曰原以甲乙半楞【又即二十等面中剖所成之楞即十等边之一边故为小分】为句【在形内为小分乃乙戊也今形外之甲乙与甲乙同大故亦为小分】乙心【即二十等面中切成十等边自角至心之故为大分又即为二十尖锥各立面三角形之中长线】为股则甲心为【自各角至体心之线】而甲心幂内有乙心股甲乙句两幂今求心中之高则又以甲中为句自各角至各面心也而仍以甲心为幂内减甲中句幂则其余心中股幂也 依防何补编甲乙幂三分加一为甲中幂故但于乙心幂内减去甲乙幂三分之一即成心中股幂又解曰若以乙心为则中乙为句而心中为股依补编中乙幂为甲乙幂三分之一故直取去甲乙幂三之一为句幂以减心乙幂即得心中股幂开方得心中此法尤防
作法 以二十等面之楞【如甲丁】折半【如甲乙或丁乙亦即甲戊】为理分中末之小分求其大分【如乙心即二十等面各楞线当中一点至心之线亦即外切立方之半径】 再以大分为股【乙心】小分为句【甲乙亦即甲戊亦即戊乙】取其【甲心即二十等面自各角至心之线谓之角半径亦即切员半径】 再以原楞【甲丁】为底切员半径为两【甲心及丁心】成两等边之三角形即二十等面体自各角依各楞线切至体心而成立锥体之一面三面尽如是则成三角立锥矣 如是作立锥形二十聚之成二十等面体
立锥体之中高线【心中】以乘三体面之幂而三除之得各锥积二十乘锥积得立积 其中高线【心中】即内容立员之半径
立方内容二十等面体其根之比例若全分与大分立方内容十二等面体其根之比例若全分与小分二十等面体之分体并三楞锥以元体之面为底原体之楞【甲丁】折半【甲乙】为小分为句取其大分【心乙】为股句股求得自角至心为外切员之半径【心甲】
假如【甲丁】原楞一百一十半之得甲乙半楞五十五自乘【三千○二十五】为句幂其大分乙心【即外切立方半径】八十九自乘【七千
九百二十一】为股幂并二幂【一万○九
百四十六】平方开之得【一○四又六二
不尽约为一○四半强】为角至体心之
线【心甲】即外切立员之半径
算二十等面之楞于浑天度
得防何分
法以心甲为浑天半径甲乙
为正法为心甲与甲乙若
半径与甲心乙角之正查正表得度倍之为丁甲通所当之度
算十二等面
五等边面为十二等面之一 面有五边在体之面则为五楞锥其一楞设一百一十【甲丙】半之五十五【乙丙】以甲丙为小分求其大分得一百七十八丙戊也【即丙丁壬丁壬戊丁角为丙中甲角之半与平圆十等边之一面等】半之八十九已丙也【即乙辛以丙巳乙为两腰等形辛巳乙亦两腰等形故辛乙与巳丙等丙巳乙形与元形丙戊甲形相似巳角即戊角而乙丙为小分乙巳或辛乙为大分】为内作小五等边之一边【乙辛】亦即十二等面从腰围平切之十等边面也
又以乙辛为小分求得大分一百四十四心乙也【分图辛心乙形即前图辛心乙形乙辛为心壬之小分心乙为大分乙心线即五等面一边折半处至体心之距丙防即五等面边两楞相凑之角 乙丙辛虚线形即前图乙丙辛形】为甲丙半楞【乙丙】之全分何则前图之丙巳乙形乙丙为小分丙巳为大分试于辛乙心形内【分图】作庚辛乙形与丙巳乙形等【庚乙即乙丙五等面一边之半乙辛庚辛即丙巳乙巳为小五边形之一边】则乙庚为小分乙辛为大分【心庚同】今又以乙辛为小分求其大分壬癸而壬癸即心乙也【乙癸同】夫心乙乃庚乙【小分】辛乙【大分即心庚】之并则乙心为庚乙之全分矣其比例心乙与心庚若心庚与庚乙而乙心即外切立圆半径也
右法杨作枚补
今求心中线为五等边最中一防【中】至体心【心】之距亦即内容浑员半径
先求乙中线为五等边各楞折半处至最中之距 法为甲乙比乙中若半径与五十四度之切线
一 半径一○○○○○
二 乙甲中角【五十四度】切线一三七六三八
三 半楞甲乙五十五
四 中乙七十五【七○】
用句股法以心乙【一百四十四】为中乙【七十五七】为句句各自乘相减得心中股幂平方开之得中高线【心中为容员半径】求得容员半径一百二十二半弱【心中】
又求甲心线为各角至体心之距【即外切浑员半径】 用句股法以甲乙【五五】为句心乙【一四四】为股并句股幂求甲心
求得外切圆半径一百五十四强【甲心】
十二等面根一一○【甲丙】
外切立员半径一四四【心乙】全径二八八○
内容浑员半径一二二半【心中】全径二四五【弱】
外切浑员半径一五四【甲心】全径三○八【强】
十二等面之分体并五楞锥并以五等边面为底原体之楞甲丙设一百一十半之乙甲五十五为小分求其全分乙心一百四十四【即外切立方半径】乙甲【五十五】自乘【三千○二十五】为句幂心乙【一百四十四】自乘【二万○七百三十六】为股幂并之得【二万三千七百六十一】平方开之得【一百五十四强】为自角至心之线甲心即外切员半径
作法 以五等面之一边为
底楞【甲丙】以外切员半径【角至心之】
【线】为两之楞【甲心及丙心】而防于心五边悉同则为十二分体之一如是十二枚则成十二等面体
变体数
求浑圆积
设浑圆径一○○○自乘得一○○○○○○又十一【古法】乘之得一一○○○○○○为实十四除之得○七八五七一四为平圆面幂或用旧径七围念二之比例亦得圆面七八五七一四以
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