共为一等立方之三平亷同积为一等三长亷同积为一等共为二等此亷之等也亷率中兼此二义】
求亷泛积 以各亷定率乗初商应有各数各依本乗方减小一等用之亷多者又递减挨次乗之至根数止是为泛积【有初商数即各带有自乗幂积二乗立积乃至三乗以上各积是为应有各数也今求泛积当依本乗方减小一等用之如平方只用根数立方用初商幂积乃至十二乗方用初商十一乗此为减小一等也至第二亷则立方用初商根三乗方用初商再乗乃至十二乗方用初商十乗此为亷多者二亷以上又逓减挨次乗之也逓减至初商根则为末后一亷矣故曰至根数止】
求防商数以泛积约余实得之
求亷定积 以各亷泛积乗次商数亷多者逓増一等挨次乗之至本乗方减小一等止是为定积【凡第一亷泛积皆乗次商根而得定积有第二亷则以次商自乗积乗之有三亷则以次商立方积乗之是为逓増一等也然增不得至本乗方但增至本乗方减小一等数即为末后一亷矣】
求隅积 以次商数查初商表各依本乗方取之【以次商对横行根数以本乗方对直行纵横相遇得之】列于亷积之后一行是为隅积【小隅体势并同初商大方如平方则隅即小平方立方则隅即小立方三乗方之隅亦为小三乗方四乗以上并同故可借初商表用之】
求亷隅共积 以所得各亷定积及隅积用并法并之即得
求次商定数 以所得亷隅共积纪左线之左【又在表数之左以末位对第二防纪之为次商应减之数】与次商实【右行第二防所截】对位相减【以左减右】减不尽者又为余实以待三商遂纪次商数于初商之下为次商定数 如亷隅共积大于次商实不及减则改次商至及减而止乃为次商定数
三商以后并同上法
不论三商四商乃至多商其亷定率不变但求泛积时三商则并初商次商两位商数合而用之四商则并前三次商数皆取其应有各数以乗定率而得泛积亦如上法之用初商 其求定积则三商即用三商之数四商即用四商之数以乗泛积而得定积亦如上法之用次商 余法并同次商
审○位之法 凡亷泛积大于余实或仅相等而无隅不能商一数是次商为○位也即纪○位于先商之次而并下一防余实为续商余实
次商单一之法 凡泛积与实仅同而有隅一是商得一数也即以泛积为定积不必更乗次商【惟单一则然若商得一十一百一千仍须如法乗之】
开平方【即一乗方】
设平方积三千三百四十四万三千○八十九问方根若干
答曰五千七百八十三
列实法【先作两直线次以方积三三四四三○八九列
右线之右】 作【法于实末位单数作一防起逆上每
隔一位防之有四防宜商四次初商是千】初商法曰
【用最上一防截原实两位三三为初商实查表有小于实三三】
【者是二五其方根五即以五为初商对实首上一位书于左线之右却以表数二五对实三三书左线之左与原实对减先于实次位减五实系三不足减作防借上一数为十三减去五余八改书八于实三之右次于实首减二原实是三因借下去一只得二减尽乃作线抹去三三存八以待次商亦于左作线抹去减数二五】
求次商 用第二防上余实八四四为次商实
隅次商自乗 四九○○○○
亷隅共积 并得七四九○○○○次商法曰【置亷率立成内定率二乗初商五千得一万为泛积乃约实作七百定为次商即以泛积乗之得定积七百万再用次商自乗为隅其积四十九万并定积成七百四十九万即亷隅共积也俱如式列之于是将次商七续书初商五之下又将共积七四九对实八四四书左线之左以减实余九五乃作线抹去八四四亦于左作线抹去七四九】
求三商 用第三防上余实九五三○为三商实
隅 三商自乗六四○○
亷隅共亷 并 得九一八四○○三商法曰【复置定率二以乗初商次商合数五千七百得一万一千四百为泛积乃约实作八十为三商即以泛积乗之得定积九十一万二千三商亦自乗为隅得积六千四百以并定积成九十一万八千四百为亷隅共积俱如式列之再将三商八十挨书次商七百之下而以其亷隅积九一八四对实九五三○书于左线之左去减实余三四六即改书之以待四商作线抹去九五三○左亦作线抺去九一八四】
求四商 用第四防上余实三四六八九为四商实
隅四商自乗 九
亷隅共积 并 得三四六八九四商法曰【用定率二乗初商次商三商合数五千七百八十得一万一千五百六十为泛积乃约实可商三定为四商即以泛积乗之得定积三万四千六百八十四商三自乘得九为隅积并定积成三万四千六百八十九是为亷隅共积各如式列讫再将四商三挨书于三商八十之下而以其亷隅积三四六八九对第四防实书于左线之左就以减四商实恰尽乃作线抹去之左减数亦抺去】初商五千 有四防故初商是千位
次商七百
三商八十
四商单三
凡开得平方根五七千百八十三
还原法 置方根五千七百八十三自乗得积三千三百四十四万三千○八十九合原积
开立方【即再乗方】
设立方积一千○○七万七千六百九十六尺问每面方若干
答曰二百一十六尺
依法列实 作防【自末位单数作一防起逆
上每隔两位防之有三防宜商三次】
求初商【用最上一防截原实两位一○为初商实查初
商表有小于一○者是○八其方根二即以二定为初商对实】
【首上一位书左线之右而以其积数○八对实一○书左线之左对减初商实余二改书之以待次商】初商二百尺【有三防初商是百】
求次商 用第二防上余实二○七七为次商实
依法求得次商一十尺【书于初商二百之下而以其亷隅共积一百二十六万一千减防商实余八一六改书之以待三商】
求三商 用第三防上余实八一六六九六为三商实
隅 三 商 再 乗二一六
亷隅共积 并得 八一六六九六依法求得三商六尺【续书次商一十之下而以亷隅共积八十一万六千六百九十六减三商实恰尽】
凡开得立方根二百一十六尺
还原 置方根【二百一十六尺】自之得【四万六千六百五十六尺】为平幂又置平幂以方根乗之得一千○○七万七千六百九十六合原数
开三乗方
设三乗方积一亿三千六百○四万八千八百九十六问方根若干
答曰一百○八
依法列实 作防【自末位单数作一防
起逆上每隔三位防之】
求初商 用最上一防截实
首位一为初商实
凡积一者其根亦一不必查表竟以一为初商【其积与实对减恰尽】
初商一百【有三防初商是百】
求次商 用第二防余实三六○四为次商实
隅次商三乗一○○○○
亷隅共积 并得 四六四一○○○○依法求得亷隅共积四千六百四十一万为次商一十之积大于次商实不及减是无次商也法于初商一百下书○
求三商 用第三防合上第二防余实三六○四八八九六共八位为三商实【三商减积至末位第三防故合八位为其实】凡求三商当合初商次商两数乗定率以求泛积今次商 故只用初商数
隅 三 商 自 乗 三 次 四○九六
亷隅共积 并得 三六○四八八九六依法求得三商八【续书次商○之下而以其亷隅共积三千六百○四万八千八百九十六与余实相减恰尽】
凡开得三乗方根一百○八
还原 置方根【一○八】自乗得【一一六六四】为平幂平幂又自乗得一亿三千六百○四万八千八百九十六合原积
或以方根一百○八自乗三次亦同
开方简法 置三乗方积【一三六○四八八九六】以平方法开之得【一一六六四】再置【一一六六四】以平方开之得方根一百○八合问
开四乗方
设四乗方积一十三亿五千○一十二万五千一百○七问方根若干
答曰六十七
依法列实 作【自末位单数作一防
起逆上每隔四位防之共两防宜商两次】
求初商 用最上一防截原
实一三五○一为初商实【查表有七】
【七七六小于实其根六即以六为初商而以其积七七七六对减初商实余五七二五改书之以待次商】初商六十【有两防初商是十】
求次商 用第二防上余实五七二五二五一○七为次商实
隅次 商 四乗 一八六○七
亷隅共积并 得 五七二五二五一○七依法求得次商七【书于初商六十之下而以亷隅共积五亿七千二百五十二万五千一百○七减次商实】 凡开得四乗方根六十七
还原 置方根【恰尽六】自乗四次得积一十三亿五千○一十二万五千一百○七合原数
开五乗方
设五乗方积一兆七千五百九十六万二千八百七十八亿○一百万问方根若干
答曰五百一十
列实【数以单位
为根今原积尾位是
百万故补六○列之】作防【自末单位】
【○上作一防起逆上每隔五位防之】 求初商【用最上一截原实五位一七五九六为初商实入表得五为初商对实首上一位录左线右即以其积数对实列左线左相减余一九七一改书之以待次商】 初商求到五百【有三防故初商是百】
求次商【用第二防上余实一九七一二八七八○一为次商实】
隅次 商五乗一○○○○○○亷隅共积并得一九七一二八七八○一○○○○○○依法求得次商一十【书初商五百之下再将亷隅共积一千九百七十一万二千七百七十八亿○一百万去减次商实恰尽】
原实三宜有三商而次商已减实尽无可商作○于次商下
凡开得五乗方根五百一十○
还原 置方根【五百一十○】自乗五次复得一兆七千五百九十六万二千八百七十八亿○一百万合原积
开六乗方
设六乗方积三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八问方根若干
答曰三十二
依法列实 作防【自末位单数作
防起逆上每隔六位防之共两防宜商两次】求初商 用最上截原
实三四三五为初商实【查表】
【得三为初商书左线右而以其积数二一八七书左线之左对减初商实余一二四八改书以待续续商】初商三十【有两防故初商是十】
求次商 用第二防上余实【一二四八九七三八三六八】为次商实
隅 次商六乗 一二八
亷隅共积并 得一二四八九七三八三六八依法求得次商二【书初商三十之下再以亷隅共积与次商实对减】
凡开得六乗方根三十二
还原 置方根【恰尽三】自乗六次得积【十二三四三五九七三八三】合原数
开七乗方
设七乗方积一千一百○○亿七千五百三十一万四千一百七十六问方根若干
答曰二十四
依法列实 作【自末位单
数作防起逆上每隔七位再作一防】求初商 用最上防截
原实一一○○为初商
实【查表得二为初商即以二书左线之右而以其积二五六书左线之左对减初商实余八四四改书之以待续商】
初商二十【有两防初商是十】
求次商 用第二防上余实【八四四七五三一四一七六】为次商实
亷隅共积并得八四四七五三一四一七六依法求得次商四【书初商二十之下再将亷隅共积八四四七五三一四一七六与次商实对减恰尽】
凡开得七乗方根二十四
还原 置方根【二十四】自乗七次复得【一一○○七五三一四一七六】合原数
或以根【二十四】自乗得【五百七十六】为平幂平幂又自乗得【三十三万一千七百七十六】为三乗方积三乗方积又自乗得【一一○○七五三一四一七六】亦合原数
开方简法 置设积【一一○○七五三一四一七六】以平方法开之得【三三一七七六】又置为实以三乗方法开之得
【打 印】 【来源：读书之家-dushuzhijia.com】
