法列实 作防【自末位单数作防起逆上隔十二位防之】
求初商 用最上一防截原实一五四四七为初商实查表得十二乗积【八一九二】其方根二即以二定为初商【其积数与实对减余七二五五再俟续商】
求初商 用第二防上余实七二五五三三七七七三九一一九四六一为次商实
亷隅共积 并得七二五五二三七七七三九一一九四六一依法求得次商一【书于初商二十之下再将亷隅共积七兆二千五百五十二万三千七百七十七亿三千九百一十一万九千四百有六十一以减余实恰尽】
凡开得十二乗方根二十一
还原 置方根二十一自乗十二次复得原积或以方根【二十一】自乗得【四四一】再乗得【九二六一】三乗得【一九四四八一】为三乗方积即以三乗方积自乗得【三七八二二八五九三六一】再自乗得【七三五五八二七五一一三八六六四一】为十一乗方积又置为实而以方根【二十一】乗之得十二乗原积又法 以方根自乗再乗得【九二六一】为立方积就以立方积自乗三次得【七三五五八二七五一一三八六六四一】为十一乗方积如前再以方根乗之亦得原积
又法 以根【二十一】自乗之平方【四四一】为法自乗四次得九乗方积【一六六七九八八○九七八二○一】再以根【二十一】再乗之立方【九二六一】乗之得十二乗原积并同
论诸乗方简法
凡开平方二次即三乗方也是为方之方开平方立方各一次五乗方也可名为立方之平方亦可名为平方之立方
开平方三次七乗方也或三乗方平方各开一次亦同可名为平方之三乗亦可名为三乗方之平方
开立方二次八乗方也可名为立方之立方
开四乗方平方各一次九乗方也可名为四乗方之平方
开平方二次立方一次十一乗方也或三乗方立方各一次亦同可名为三乗方之立方亦可名为立方之三乗方
按惟四乗方六乗方十乗方不能借用他法同文算指谓四乗方开二次为六乗方又谓四乗方开三次为十乗方非也且四乗方平方各一次已为九乗方矣安得有开四乗方二次而反为六乗开四乗方三次而止为十乗乎必不然矣
演诸乗方逓増通法
平方积自乗为三乗方 立方积自乗为五乗方 三乗方积自乗为七乗方 四乗方积自乗为九乗方五乗方积自乗为十一乗方 六乗方积自乗为十三乗方 七乗方积自乗为十五乗方 八乗方积自乗为十七乗方 九乗方积自乗为十九乗方 十乗方积自乗为二十一乗方 十一乗方积自乗为二十三乗方 十二乗方积自乗为二十五乗方 十三乗方积自乗为二十七乗方 十四乗方积自乗为二十九乗方 十五乗方积自乗为三十一乗方【以上并超两位】平方积再自乗为五乗方 立方积再乗为八乗方三乗方积再乗为十一乗方 四乗方积再乗为十四乗方 五乗方积再乗为十七乗方 六乗方积再乗为二十乗方 七乗方积再乗为二十三乗方 八乗方积再乗为二十六乗方 九乗方积再乗为二十九乗 十乗方积再乗为三十二乗方【以上并超三位】
平方积自乗三次为七乗方 立方积自乗三次为十一乗方 三乗方积自乗三次为十五乗方 四乗方积自乗三次为十九乗方 五乗方积自乗三次为二十三乗方 六乗方积自乗三次为二十七乗方 七乗方积自乗三次为三十一乗方【以上并超四位】
平方积四乗为九乗方 立方积四乗为十四乗方三乗方积四乗为十九乗方 四乗方积四乗为二十四乗方 五乗方积四乗为二十九乗方【以上并超五位】平方积五乗为十一乗方 立方积五乗为十七乗方三乗方积五乗为二十三乗方 四乗方积五乗为
五十九乗方【以上并超六位】
平方积六乗为十三乗方 立方积六乗为二十乗方三乗方积六乗为二十七乗方 四乗方积六乗为
三十四乗方【以上并超七位】
平方积七乗为十五乗方 立方积七乗为二十三乗方 三乗方积七乗为三十一乗方【以上并超八位】
平方积八乗为十七乗方 立方积八乗为二十六乗方 三乗方积八乗为三十五乗方【以上并超九位】
平方积九乗为十九乗方 立方积九乗为二十九乗方【以上并超十位】
【平方至十二乗方已有初商表其十三乗以后不及详列推以根之为二为三者演之至三十二乗以见其意】
根二【至三十二乗则有十位】根三【至三十二乗则有十六位】
【十三乗】 一六三八四四七八二九六九
【十四乗】 三二七六八一四三四八九○七
【十五乗】 六五五三六四三○四六七二一
【十六乗】一三一○七二 一二九一四○一六三
【十七乗】二六二一四四 三八七四二○四八九
【十八乗】 五二四二八八 一一六二二六一四六七
【十九乗】一○四八五七六 三四八六七八四四○一
【二十乗】二○九七一五二一○四六○三五三二○三
【二十一乗】 四一九四三○四三一三八一○五九六○九
【二十二乗】 八三八八六○八九四一四三一七八八二七【二十三乗】一六七七七二一六 二八二四二九五三六四八一【二十四乗】三三五五四四三二 八四七二八八六○九四四三【二十五乗】六七一○八八六四二五四一八六五八二八三二九
【二十六乗】一三四二一七七二八七六二五五九七四八四九八七【二十七乗】二六八四三五四五六 二二八七六七九二四五四九六一【二十八乗】五三六八七○九一二 六八六三○三七七三六四八八三【二十九乗】 一○七三七四一八二四二○五八九一一三二○九四六四九【三十乗】二一四七四八三六四八六一七六七三三九六二八三九四七【三十一乗】 四二九四九六七二九六 一八五三○二○一八八八五一八四一【三十二乗】 八五八九九三四五九二 五五五九○六○五六六五五五五二三
附开多乗方求次商防法
列实作防截实求初商如常法既得初商减一等自乗为亷积【加五乗方则用四乗】又以本乗方数加一为亷数【如五乗方则用六】亷数乗亷积得数为法以除余实为次商遂合初商次商数依本乗方数乗之【如五乗方亦自乗五次】得积合原数定所得为方根【如原积数少不及减则改次商及减而止】
假如三乗方积五百七十六万四千八百○一问方根若干
答曰四十九
如法于初商表取三乗方积二五六
减原实定初商为四十余实【三二○四八○
一】为次商实 法置初商四○自乗
再乗得【六四○○○】为亷积【本方三乗故亷积用再乗为减一等】又以四为亷数【三乗方故用四为亷数为加一数】亷数乗亷积得【二五六○○○】为法以除次商实得九为次商【得数可进一十因欲存第二亷以下亷隅积数不得满除只商作九数待酌】遂合初商次商共四十九依法自乗得【二四○一】又以【二四○一】自乗得【五七六四八○一】以较原实相同减尽即定四十九为三乗方根
厯算全书卷五十九
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
厯算全书卷六十
宣城梅文鼎撰
壍堵测量二
总论
堑堵测量者句股法也以西术言之则立三角法也古九章以立方斜剖成堑堵其两端皆句股再剖之则成锥体而四面皆句股矣任以锥体之一面平寘为底则其鋭上指环而视之皆成立面之句股而各有三角三边故谓之立三角也
立三角之法以测体积方圆斜侧靡所不通其测浑圆之弧度则有二理其一用视法如弧三角所诠用三角三弧之正切线移于平面【谓浑圆立剖之平面】即成三层句股相似之比例今谓之浑圆容立三角也其一不用视法而用实数如句股锥形等法用三弧三角之割线余各于其平面自成相似之句股以为比例【三弧直剖至浑圆之心即各成句股形之面】今谓之堑堵测量也【浑圆内容之立三角亦堑堵之分形而堑堵测量所测亦浑圆之度因书匪一时所为而意各有属其名遂别二而一一而二者也】
以上通论立三角及堑堵测量命名之意并其同异之处【因立三角有堑堵之名因浑圆内三层句股生堑堵之用故存此二者以为堑堵测量基本】
凡数之可算者皆可作图以明之故浑圆可变为平圆如古者葢天之图是也数之可算可图者皆可制器以象之故浑圆可剖为锥体堑堵测量之仪器是也凡测算之器至今日大备且益精益简古者浑仪经纬相结为仪三重至郭太史之简仪立运仪则一环而已足今则更省之为象限仪是益简益精之效也至于浑象无与于测而有资于算所以证理也西法之简平浑葢以平写浑亦可谓工巧之至独未有器以证八线夫用句股以算浑圆其法莫便于八线然八线之在平圆者可以图明在浑圆者难以笔显【鼎】葢尝深思其故而见浑圆中诸线犁然有合于古人堑堵之法乃以坚楮肖之为径寸之仪而三弧三角各线所成之句股了了分明省笔舌之烦以象相告于作圆布算不无小补而又非若浑象之难成因名之曰堑堵测量从其质也堑堵形析浑象之一体亦如象限仪割浑仪之一隅环而测之则象限即浑仪之全周也周徧析之则堑堵即浑象之全体也是故堑堵形可析为两可合为一其析者一为句股锥【亦曰立三角仪】则起二分讫二至一为句股方锥【亦曰方直仪】则起二至讫二分起二分者西率起二至者古率也是两者九十度中皆可为之【自分讫至九十度并可为句股锥自至讫分九十度并可为句股方锥】然至半象以上割切三线太长溢出于方堑堵之外故又有互用之法也其合者近分度用句股锥近至度用句股方锥以黄道四十七度赤道四十五度为限过此者互用其余如是则两锥形合之成方堑堵矣
方堑堵内又成圆堑堵二其一下为赤道圆象限而一为撱形之象限距度之割切二线所成也其一下为撱形象限而上为黄道之圆象限距度正黄道半径所成也【两圆堑堵之用已括于两锥形内】两圆堑堵内又以黄道正距度正成小方堑堵之象则郭太史圆容方直本法也于是又有圆容方直仪简法而立三角之仪遂有三式【一句股锥其形四鋭一方直仪其底长方一圆容方直简法仪其底为浑圆幂之分】
之三者或兼用割切或专用正而并不用角合浑圆内三层句股观之可以明立法之根
以上论堑堵测量仪器【句股锥形及句股方锥形二种为堑堵测量正用而圆容方直形专用正成小堑堵尤正用中之正用也此小堑堵在两重圆堑堵内故兼论之又此小堑堵足阐授时弧矢之秘因遂以郭法附焉】
问八线生于角用八线而不用角何也曰角与弧相应故用角即用弧也用弧即用角也明于斯理而后可以用角浑圆内三层句股是也明于斯理而后可以不用角堑堵三仪是也用角者西法也而用角即用弧则通于古法也不用角者古法也而用弧即用角则通于西法也于是而古法西法可以观其防通息其烦喙矣
以上论角即弧解之理
立三角法序
立三角者量体之法也西学以几何原本言度数而所译六卷之书止于测面其测体法则未之及葢难之也余尝以句股法释几何而稍为推广其用谓之几何补编亦曰立三角法本为体积而设然其中义类颇有与浑圆弧度之法相通者故摘録之以明堑堵测量之理
立三角法摘録
总论
一立三角为有法之形
立三角之面皆平三角也平三角不拘斜正皆为有法之形故立三角亦不拘斜正而皆为有法之形
一立三角为量体之宻率
凡量体者必析之析之成立三角形则可以知其容积可得而量矣若不可以立三角析者则为无法之形不可以量
一立三角即锥体
立三角任以一面平安如底则余三面皆斜立【亦有一面正立者】而鋭必在上即成三角立锥
一各种锥体皆立三角之合形
凡锥体必上尖下濶任取其一面观之皆斜立之平三角也凡锥形自其尖切至底则其中剖之立面亦平三角也锥体之底或四边五边以至多边若以对角线分其底又即皆成平三角也故四棱锥可分为两五棱锥可分为三六棱以上无不可分分之皆立三角形故知一切锥体皆立三角之合形也
底之边多至于三百六十又析之为分为秒以此为底皆可成锥体再析之至于无数即成平员底可作员锥要之皆小平三角面无数以成之者也
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