内外两平员之幂其比例亦为四与一
若有多层皆以此比例逓加
浑员内容立方立方内又容浑员如此逓互相容则外员径上幂与内员径上幂为三倍之比例外立方与内立方之径幂亦然丙庚丁浑员内容丙甲丁乙立方丙戊及戊甲皆立方边【丙辛及甲辛并同丙乙及甲丁等亦同】丙戊甲辛为立方面【余六面并同】丙甲【为方面斜线】丙丁【为立方体内对角线】即浑员径【乙甲同其辛壬及己戊皆亦对角若作线亦同】丙乙及甲丁等又皆为立楞【戊壬及辛己同】解曰立方面上斜径之幂为方幂之倍【句股法也
斜为方为句又为股并句股实成实故倍方幂即成斜径之幂】又以斜径
为股立方之立楞为句求得立方体内両对
角之斜径为此实内有股实【即面上斜径之幂为
方幂者二】有句实【即立楞之幂立楞原即方邉故其幂即立方面幂】共得方
幂三而此丙对角斜径即浑员之径内小员径又在立方体内即以方径为径其径之幂即立方面也故曰三倍比例也立方内又容立员则内员径即立方之径
若求其径则外径大于内径若一十七有竒与一十内径之幂百开方得一十为径则外径之幂三百开方得一十七【又三十五之一十一】为径若有几层互容皆以此比例逓加卽得若求其体积则为五倍有竒之比例【若有多层亦以此比例逓加】假如内容立方积一千则外大立方积五千一百九十四有竒解曰立积一千则其径幂一百而外大立积之径幂三百又以径一十七【又三十五之一十一】乗之得五千一百九十四【又七之二】 此言大方积又在圗上浑员之外
积之比例
立方同径之立员其比例为六○○与三一四
立方同径之员柱其比例为四○○与三一四
员柱与同径之立员其比例为三与二
方圎周径相求
同积较径 为方变员员变方之用
凡方圎同积则员径大方径小其比例若一一二八三七九与一○○○○○○
解曰员径一一二八三七九则方径一○○○○○○也法曰有员径求其同积之方径当以一○○○○○○乗以一一二八三七九除
有方径求其同积之员径当以一一二八三七九乗以一○○○○○○除
凡方员同积则员径上平方与方径上平方其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五解曰员径自乗四○○○○○○○○则方径自乗三一四一五九二六五
法曰有员径求其同积之方径当以三一四一五九二六五乗之四○○○○○○○○除之得数平方开之得方径
有方径求其同积之员径当以四○○○○○○○○乗三一四一五九二六五除得数平方开之得员径凡方员同积则员径与方径若一○○○○○○与○八八六二二六
解曰员径一○○○○○○则方径八八六二二六也法曰有员径求同积之方径以八八六二二六乗员径一○○○○○○除之即得方径
有方径求同积之员径以一○○○○○○乗方径八八六二二六除之即得员径
约法
以一一二八二七九乗方径去末六位得同积之员径以○八八六二二六乗员径去末六位得同积之方径同积较周
凡方员同积则员周小方周大其比例若一○○○○○○与一一二八三七九亦若八八六二二六与一○○○○○○
解曰员周一○○○○○○则方周一一二八三七九也
方周一○○○○○○则员周八八六二二六也约法
以一一二八三七九乗员周去末六位得同积之方周以○八八六二二六乗方周去末六位得同积之员周凡方员同积则其径与径周与周为互相视之比例解曰方周与员周之比例若员径与方径也
论曰凡同积之周方大而员小同积之径则又方小而员大所以能互相为比例
约法
以方周乗方径为实员周除之得员径若以员径除实亦得员周
以员周乗员径为实方周除之得方径若以方径除实亦得方周 皆用异乗同除例如左
一 员周一○○○○○○一 方周一○○○○○○二 方周一一二八三七九二 员周○八八六二二六三 方径○二八二○九四【七五】 三 员径○二八二○九四【七五】四 员径○三一八三○九【八八】 四 方径○二五○○○○积七九五七七【四四八 ○○○○○○】积六二五○○○○○○○○
一 员径一○○○○○○ 一 方径一○○○○○○二 方径○八八六二二六 二 员径一一二八三七九三 方周三五四四九○四 三 员周三五四四九○四四 员周三一四一五九二 四 方周四○○○○○○积七八五三九【八一六 ○○○○○○】积一○○○○○○○○○○○○
第四率并与一率乗得四倍积四除之得本积
论曰以上皆方员周径互相求乃同积之比例方员交变用之即比例规变面线之理
同径较积较周 即方内容员员外切方
凡方员同径则方积大员积小周亦如之其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五
方径一○○○○周四○○○○ 积一○○○○○○○○员径一○○○○周三一四一五竒积○七八五三九八一六方径二○○○○周四○○○○ 积四○○○○○○○○员径二○○○○周六二八三一竒积三一四一五九二六五凡径倍者周亦倍而其积为倍数之自乗亦谓之再加比例授时厯谓之平差
径二倍周亦二倍而其积则四倍径三倍周亦三倍而其积九倍乃至径十倍周亦十倍而积百倍径百倍周亦百倍而积万倍皆所加倍数之自乗数亦若平方谓之再加也
同周较积较径
凡方员同周则员积大方积小径亦如之其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五
方周一○○○○○○径○二五○○○○积六二五○○○○○○○○员周一○○○○○○径○三一八三○九八八积七九五七七四七○○○○方周四○○○○○○径一○○○○○○积一○○○○○○○○○○○○员周四○○○○○○径一二七三二三九五四积一二七三二三九五四○○○○论曰周四则径与积同数但其位皆陞皆视周数之位今用百万为周则积陞六位成万亿矣故虽同而实不同不惟不同而且悬絶定位之法所以当明也
问位既大陞而数不变何耶曰周径相乗得积之四倍于是四除其积即得所求平积此平幂之公法也兹方员之周既为四则以乗其径而复四除之即还本数矣惟周数之四或十或百或千万亿无定而除法之四定为单数故无改数而有进位也
又论曰周四倍之径与周一之径为四倍其积则十六倍所谓再加之比例
浑圎内容立方径一万寸求圎径 法以方斜一万四千一百四十二寸为股自乗得二亿为股实以方径一万寸为句自乗得一亿为勾实并勾股实为三亿为实开方得一万七千三百二十○半寸命为浑圎之径
又以浑圎径求围得五万四千四百十四寸弱 周径相乗得九亿四千二百四十七万六九九四寸为浑幂以四除浑幂得二亿三千五百六十一万九千二百四十八寸竒为大平圎幂即立方一万寸外切浑圎之腰围平幂也
圎柱积四万○千八百十○亿四三一八四九八四寸以浑圎径乗平圎幂得之
倍圎柱积以三除之得浑圎积二万七千二百○六九五四五六六五六寸
约法 立方径一千尺其积一十尺 外切之浑圎径一十七尺三二○五 浑圎积二千七百二十○尺六九五四 约为二千七百二十一尺弱
试再用径上立方求浑圎积法【即立方内求所容浑圎】以浑圎径自乗再乗得浑圎径上立方以圎率【三一四竒】乗之得数六除之得浑积并同
立方与员柱若四○○与三一四竒【同径之员柱也】
立方为六方角所成员柱为六员角所成其所容角体并六而方与员异故其比例如同径之周 此条为积之比例
员周上自乗之方与浑员面幂若三一四竒与一○○浑员面幂与员径上平方形亦若三一四竒与一○○皆员周与径之比例
浑员面幂与员径上平员若四与一
员柱面幂与员径上平员若六与一【六员角之底皆外向合成此数】平员并为一而员柱幂为其六倍浑员幂为其四倍浑员为员柱三之二即此可徴积之比例如其面也以上四条并面幂之比例浑员体与员角体若四与一浑员面既为平员之四倍从面至心皆成角体故体之比例亦四倍
立方面与径上平方若六与一【六面故也】
立方体与浑员体若六○○与三一四竒
浑员面与径上平方既若三一四竒与一○○而立方面与径上平方若六与一平方同为一○○而立方面为其六倍浑员面为其三倍一四竒故立方之面与浑员之面亦若六○○与三一四竒也而体之比例同面故亦为六○○与三一四竒
立员得员柱三之二
论曰凡员柱之面及底皆立员径
上平员也旁周似员筩亦如截竹
周围并以员径为髙即员径乗员
周幂也为径上平员之四倍与浑
员面幂同积【半径乗半周得平员则全径乗全周必平员之四倍】合面与底共得平员之六倍而浑员面幂原系平员之四倍是员柱幂六而浑员幂四也而体积之比例凖此可知亦必为三之二矣【三之二即六之四之半】
问体积之比例何以得如面幂曰试于员柱心作员角
体至面至底成员角体二皆以半
径为髙平员为底其余则外如截
竹而内则上下并成虚员角于是
纵剖其一邉而令员筩伸直以其
幂为底以半径为髙成长方锥【底濶
如全径直如员周髙如半径锥只一防】此体即同四
员角【或纵剖为四方锥亦同皆以周四分之一为底濶以全径
为底长以半径为髙其体并同员角何也以周四之一乗全径与半
径乗半周同故方底同员底而其髙又同则方角同员角】合面
底二员用共六员角矣而浑员体
原同四员角【浑员面为底半径为髙作员锥即同四员
角】是员柱浑员二体之比例亦三
与二也
员角体得员柱三之一 凡角体并同
凖前论员柱有六员角试从中腰平截为两则有三员角而员筩体原当四员角今截其半仍为二员角或面或底原系一员角合之成三员角以为一扁员柱然则员角非员柱三之一乎
若立方形各从方楞切至心则成六方角【皆以方面为底半径为髙】从半径平切之为扁立方则四周之四方角皆得一半成两方角而或底或面原有一方角亦是三方角合成一扁立方而方角体亦三之一矣
浑员体分为四则所分角体各所乗之浑幂皆与员径上平员幂等
甲戊丙丁浑员体 从丑乙辰乙癸乙子乙卯乙寅乙等各半径各自其浑幂透至乙心而以半径旋行而割切之则成上下两员角体一甲卯辰丑乙【以甲丑卯辰割浑员之面为底乙为其锐此割员曲径自丑而甲而辰居员周三之一】一丙癸寅子乙【以子丙寅癸浑员之割面为底乙为其锐此割员曲径亦
三之一如三百六十之一百二十】此上下两角体
相等皆居全浑体四之一中腰成
鼓形而上下两面并穵空各成虚
员角【其外则周遭皆凸面如丑戊子及辰丁癸之割员状此割
员曲径自辰而丁而癸居员周六之一为三百六十之六十】
此鼓形体倍大于上下两角体居浑员全体之半若从戊乙丁腰横截之为二则一如仰盂一如覆碗而其体亦浑员四之一也
如此四分浑体而其割员之面幂即各与员径上之平员幂等故曰浑员面幂与径上平员若四与一也问何以知中腰鼓体能倍大于上下两角体曰试于子丙乙癸角体从子寅癸横切之则成子未癸午小员面
为所切乙子寅癸小员角体之底
乃子寅小半径乗子未癸小半周
所成也然则以子寅小半径乗子
未癸小半周又以乙寅半半径为
髙乗之而取其三之一即小角体矣
试又于中腰鼓体从丑子及卯寅
及辰癸诸立线周遭直切之脱去
其外鼓凸形即成员柱体之外周
截竹形又从酉乙申横切之为两
【一仰盂一覆碗】则此覆碗体举一式为例
可直切断而伸之亦可成方角体
此体以乙寅半半径乗子未癸午
小员全周为底【其形长方】又以小半径
子寅【子寅即乙申】为髙而乗之取三之
一为长方角体此长方角体必倍
大于小员角体何也两法并以小
半径及半半径两次连乗取三之
一成角体而所乗者一为小员全
周一为小员半周故倍大无疑
也
又丙癸寅子亦可成角体与乙子
寅癸等覆碗体既倍大则兼此两
角体矣
凖此而论仰盂体必能兼
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