为两直角形并与两对角线相偕为直角形等
如上甲乙丙甲丁丙两三角形
在甲乙丁丙圏内甲丙同底其
顶乙丁相连成甲乙丁丙四边
形形内有甲丁乙丙两对角线
以此两线相偕为直角形次以
乙丁甲丙两相对边以甲乙丁丙两相对边各相偕为直角形题言后两形并与前一形等
其用为先得五线以求第六线【多罗某之法】
论球上三角形 二十条
凡球上三角形皆用大圏相交之角
大测所用三角形之各弧必小于大圏之半
球大圏分球为两平分离于两极各九十度
彼大圏过此大圏之极此两圏必相交为直角两大圏相
交为直角必彼大圏过此大圏之极如甲丙大圏其极乙丁有乙戊丁己大圏过两极其交处如戊如己各成四直角
球上角之处必从交引出为两弧各九十度而遇一象限之弧两遇处相去之度即此角之大
如甲乙丙球上三角形欲知甲角之大为防何度分不得用己庚弧为其尺度必从甲引出至乙至丙各为一象限之弧而戊
丁亦大圏之一象限弧也丁戊弧与甲乙甲丙相遇即乙丙弧之大为甲角之大
球上角之两边引出之至相遇即两弧俱成半圏而两对角必等
如甲乙丙三角形从两腰各引出之至丁则甲丙丁甲乙丁两弧皆成半圏而甲与丁两角等
球上三角形有相对彼三角形与同底而对角等即彼形之两腰为此形两腰之余腰【初腰不足一百八十度故后腰为半圏之余】其彼此之同方两角亦等两直角而彼角为此角之余角如上甲乙丙三角形与相对之乙丙丁同乙丙底而甲丁两角等即乙丁为甲乙之余弧丙丁为甲丙之余弧丁乙丙角为甲乙丙之
余角【为甲乙丙不足两直角故】乙丙丁角为甲丙乙之余角
球上直角三边形或有一直角或二直角或三俱直角球上三边形有一直角者或有两鋭角或有两钝角或一钝一鋭角
如上甲乙丙形甲为直角其乙丙为两鋭角乙丁丙形丁为直角其乙丙为两钝角若丁戊己形则其戊为鋭角其己为钝角甲戊己
形则其戊为钝角其己为鋭角
球上直角三边形有两鋭角则其对直角之直角三边形有两钝角
如前图甲乙丙之甲直角与乙丁丙之丁直角相对者是
球上直角三边形有两鋭角其三弧皆小于象限如前甲乙丙是
球上直角三边形有两钝角其两腰皆大于象限而第三弧必小于象限
如前乙丁丙是
球上直角三边形有一鋭一钝角其鋭角之相对三角形亦有一直角两鋭角
如上图丁乙丙三边形丙为直角丁为鋭角乙为钝角即丁鋭角之相对乙丙戊形其丙为直角【与乙丙丁并等两直角】其乙与戊为两鋭角
球上三边形有多直角其对直角之各弧皆为一象限如甲为直角乙丙弧对之为一象限余二同【此图为三直角题言多者以该二直角也】
球上三边形有二直角若第三为鋭角即对角之弧小于象限若钝角即对角之弧大于象限
如上丁戊己形丁戊皆直角己为鋭
角即对己之丁戊弧小于象限甲乙
丙形甲丙皆直角乙为钝角则对乙
之甲丙弧大于象限
球上斜三角形有三类或俱鋭角或俱钝角或杂鋭钝角球上斜三角形俱鋭角者其相对三角形有两钝角一鋭
角
如上甲乙丙形三皆鋭角即相对丁乙丙形其乙丙为两钝角丁为鋭角
球上三边形俱钝角者其相对三角形有两鋭角一钝角如上甲乙丙形三皆钝角即相对乙丙丁形其乙丙为鋭鋭角丁为钝角
球上三角形之三角并大于两直角
有二直角即大何况一直一钝以上
割圆篇第二
总论二十六条
三角形有六率三角三边是也测三角形者于六率中先得其三而测其余三也【测三角形者止测其线非测其容测或作推或作解下文通用】
测三角形必籍同比例法【亦曰三率法】同比例者四率同比例先有三而求第四也故三角形之六率其比例欲定其分数欲明
三角形六率之比例其中用弧者最为难定何者圆线与直线之比例从古至今未有其法故
三角形何以有弧曰球上三角形其三边皆弧也其三角皆弧角也即平面三角形其可以直线测者三边耳欲测其角非弧不得而弧为圆线无数可测故测弧者必求其与弧相当之直线
与弧相当之直线者割圆界而求其直线之分与弧分相当者是也
割圆之直线有四一曰一名通二曰半皆在圆界内三曰切线在圆界外四曰割线在圆界之内外
者直线在圏内从此防至彼防分圏为两分
凡皆对两弧一上一下
如上图甲乙为分甲丙乙丁圏为两分甲丁乙为大分甲丙乙为小分则甲乙上当甲丙乙小弧下当甲丁乙大弧
正弧者从弧作垂线至全径上
如上图从丁作甲乙之垂线若从丁直至戊则为通故丁丙为半
半又有二种有正有倒
正半是直线在半圏内从弧作垂线至径上分半圏为不等之两分一大弧一小弧此半当小弧亦当当大弧【当者为小弧之半亦为大弧之半】
如上图从己弧下至甲乙全径上作己庚垂线分甲丙乙半圏为不等两分乙己弧为小分己丙甲弧为大分则己庚为己乙
小弧之半又为己丙甲大弧之半
正半从一防作两半第一为前
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