而总数可推年时也欲反引安球令之转同前惟立象圏宜先径过増力元复识转球时赤道过子午圏弧因以定其中相去之年假如北极髙四十度设大梁十度在苐一舍初界太隂离黄道娵訾二十度距北二度为照元火星近东地平躔大梁六度距南三度为増力元必先依各经纬度带二曜于球上然后令象圏过太隂处所交赤道防约为三百五十二度【用本圏与用子午圏同】次定住象圏移火星与本圏正对约得赤道交圏防为二十八度以所得前后度相减余中弧为三十六度即正引之限求反引法亦同但引限在地平下必先起南极依北极出地度令黄道苐一舍初界之度正居西地平余法同前【见前苐二卷】
求引二元应止黄道何度
因照元渐离初得之象圏乃更有黄道相应故任至某年亦可求其相应度法先安球依本象令象圏与照元合随查赤道交子午圏度因之顺或逆取本度与年数所止限移至子午圏必此时交象圏黄道度即其年所引照元止限也如北极髙四十度设寿星十六度东出太阳躔枵六度为照元依去四十二年之数复求躔度因安寿星十六度于本地平安象圏于鹑火六度【与枵对度因后在地平下故】得子午圏交赤道一百一十度以加四十二度依之应一百五十二度交子午圏得象圏交鹑尾一十六度即娵訾一十六度【正对宫度是】为照元去四十二年所至限若照元自居四角不必用象圈依所取年数转球复居本角黄道度即照元所止度设寿星十六度为照元而出地平者亦即此度则得地平交赤道二百零一度令球右转以赤道四十三度至地平则所并居之大火十九度即为照元任取之年后止限又设増力元亦居地平等角即以同居赤道度减年数之度所止限复移至地平等角亦即得黄道交地平等角为其当年所至之限或増力元不正居角仍用象圏与之交并识其所过赤道度减总年数余度限移至本象圏复得并交黄道度为増力元当年之限也
依浑仪解圆线三角形
圆线三角形者何乃过球心大圏相交三弧之形而各弧不及圏之半周所成也盖形内每两弧共抱一角在间者谓之腰弧而与角相对之弧即底弧或又谓直角三角形内以所抱直角弧为底弧及垂弧即与勾股不异而以所正对直角者为弧论角其大小以对弧之大小为则盖用规器以本角为心以九十度为界则两腰间之弧【腰先引长】必量其角得本弧为一象限即对角为直角过象限为钝角不及象限乃为鋭角凡弧或角不及满象限之度名之为余又凡两腰引长至合一防则得抱角之对三角形以底弧为公底以对角为等角而余弧余角皆前三角形所不及满一百八十度之余弧余角者也因止一直角三角形得余皆钝角者则与直角正对之形内腰间角必直余反皆锐也如止一直角三角形得余一钝一鋭者则与鋭角正对之形内惟前形直角相连之角为直角余皆锐角也如图乙戊丙形内设戊为直角乙丙皆钝角即其对形乙甲丙内得甲为直角乙丙皆锐角也又丁丙戊形内设丙为锐角戊直角丁钝角即其对形为丁巳戊而戊角独直丁巳皆锐角论斜角形如三角总为鋭角必对形独存一鋭角余皆钝角也设乙甲丙形内甲为鋭角即得对形乙戊丙内
戊亦为锐角乙丙皆钝角如三角总为钝角乃对形反存一钝角余皆锐角也设乙戊丙形内戊为钝角即乙甲丙内甲亦钝角今解三角形法多论不及一象限之弧即鋭角之底是也因以斜钝角形先变为鋭角形以直角形有一或二钝角者亦先改为对形则就中推求之法与解原形不异即余弧余角之理所繇出也今用浑天仪解之亦仿此但先解直角形尽之于三比法有以先得一鋭角并与各弧者又余鋭角复并与各弧者又以其底同各腰或并得二腰者各列法如左
任取一弧一鋭角求余弧及余角
设甲乙丙三角形内甲为直角其底乙丙余弧即腰则乙与丙皆鋭角也先设得乙丙直角之底弧及乙角欲求余尽解本三角形法架内北起子午圏令赤道前髙依本角之度然后或东或西自赤道交地平处与本地平查底多寡之度以为限移过极圏至此限上即三角形仪上定矣如乙角为二
十三度半以前子午圏弧为则使赤道依之其左右交地平角即得对弧以定大小今甲为直角必于赤道交过极圏处求之则地平上得底若设乙丙底弧为六十度而移过极圏至本度【从乙角算起】因大腰在赤道弧约为五十八度小腰在过极圏弧为二十度有半自过极圏交地平查各圏满一象限即以其限安髙弧得二圏间之弧为丙锐角之对弧约七十八度又设以小腰及本角求余弧及余角即先定角等法同前而以所先得甲丙弧【如二十度半】与过极圏上为防移之至交地平必自得腰与底弧合前度即丙角亦在髙弧同矣或以大腰查求其余亦先定乙角而转仪以渐进赤道弧入地平令自其二圏相交之处独余五十八度至过极圏交赤道之角必余法余度亦合前也今试以三弧各与丙角为先得如底为六十度求余弧余角法移过极圏至地平距子午东或西三十度【六十度余是】定住球使髙弧距二圏相交之处各满一象限得间弧为七十八度即所设之形凖否则宜前或后起子午圏必令髙弧对丙角如其度为止即子午圏自地平以上得对乙角之弧而直角两腰皆明矣或设先得大腰与丙角必进或退赤道圏定其腰之大小【如五十八度】即安髙弧而起子午圏依前法求余弧及余角也或以小腰及丙角求余即先于过极圏查腰弧大小之度使之交地平以试髙弧得全形盖对角弧不及其度即球宜北起过极圏宜南下若对弧已过其度则球反宜南起随移过极圏东西得正然后余角余弧皆依前法凖得矣任取一腰一底或二腰求余弧及诸角先设得小腰与底弧皆依前度法令球转东或西以过极圏限底弧之度【如六十度】视本过极圏自赤道至交地平弧若正合其度【如二十度半】即三角形已定否则前后起仪求小腰务合于地平乃所对大腰亦复得五十八度而查乙角丙角必同前又设得大腰与底弧亦先定底弧度渐起球或下令之左右转以并对大腰度即小腰亦自合而求角必依前法也或复设得二腰求底与角即先定大腰令球下或起即得余腰与底而求角亦不异前也
解斜角三角形总为六题
其一曰以二腰及间角求底弧及余角如甲乙丙三角形内丙为钝角甲乙皆鋭角设先知甲角【即间角】则乙丙为底余弧皆腰也如甲角为三十度大腰六十度小腰止五十度法于子午圏查距极【南北不拘】六十度之弧移其限于天顶次用过极圏令
距子午圏左或右而以赤道三十度为限末安髙弧东西必依极圏所居方位令之交极圏距极限五十度即三角全形定矣大都子午圏为大腰极圏为小腰髙弧为底因而如前图得乙丙底为二十六度有半乙角以地平为对弧在子午圏及髙弧之间得五十九度有半所余丙钝角欲求其对弧未免再移球故先依髙弧于球面上界线后转极圏令交髙弧之防正居子午圏下而并其子午圏起之以当天顶乃复依先界之线安髙弧而以至地平为限则此限及子午圏之中弧即丙余角之对弧为一百八十度所减存得丙角一百零三度若用浑仪求之线宜界于黄道上或髙弧本位不与黄道遇即于未转极圏之先移髙弧于正对地平度所遇多寡度界线其上余法同前而所得弧即正丙钝角之对弧也其二曰以二弧及先所得一弧之对角求余弧余角如前图设先得甲乙弧六十度乙丙二十六度半及丙角一百零三度法起子午圏以二十六度半为距极之限令之居天顶则自极至顶得乙丙弧将秋分经圏西距子午圏十三度
【依赤道为则】或将春分经圏东距十三度则自二至经圏至子午圏其中得赤道弧为一百零三度乃丙角之对弧也又安髙弧使之以六十度【自顶下数】交过至经圏即以髙弧得甲乙以经圏得甲丙而甲乙丙形全矣今查甲丙必为五十度乙角则自髙弧至子午圏在地平上必五十九度半所余甲角因依髙弧于黄道上界线然后移经圏交髙弧之防以正居天顶而依界线复安髙弧得交地平至子午圏之中弧为三十度或不移球止安髙弧于地平正对之处用规器于前交经圏及髙弧一象限之界量二圏所距亦必得三十度为甲角之度也设反得甲丙五十度乙丙二十六度半及甲角三十度以求余弧余角法起子午圏令距极五十度之限在天顶次转仪使过极圏距子午圏之东或西依赤道上三十度为则即于髙弧自顶而下数至二十六度半以之交经圏即得余弧于本圏为六十度而髙弧在地平上其距子午圏一百零三度乃为丙角之对弧仍依髙弧在黄道上作线令前交之经圏六十度居顶用髙弧顺线下至地平必得五十九度半即形内乙角也其三曰以二角及先所得一角之对弧求余角余弧设甲乙丙形先得乙角为十度半丙角为一百五十四度半又得甲丙弧对乙角为二十三度半宜求甲角与甲乙及乙丙弧但既先得甲丙对乙角之弧亦应知甲乙对丙角之弧过象限否今使过象限法查经圏左右赤道上之十度半令之正居子午圏
随于地平上从北去南查一百五十四度半以之安髙弧因而起或下子午圏必视其所交经圏之防距北极出象限外乃并视经圏所交髙弧之防必距天顶二十三度半一得距度凖即本形定矣盖乙角在极中经圏及子午圏之间与正对赤道得其若干【十度半】丙角于地平【一百五十四度半】甲乙弧于经圏上约得一百零六度乙丙于子午圏上得八十四度半止余甲角必起髙弧与经圏所交之防至顶而求其角于地平依前法得其为二十七度其四曰以二角及角间之弧求余角余弧如前形内设甲角为三十度丙角一百零三度甲丙弧为五十度法自极中查子午圏上五十度令之居天顶为甲丙弧查地平去子午圏北一百零三度以安髙弧为丙角末以赤道上距经圏三十度之限移居子午圏乃得甲角而余弧自明矣因而髙弧上得乙丙为三十六度半经圏上得甲乙为六十度若求余角必起髙弧所交经圏之防至天顶依前法查之乃得其五曰以三弧求诸角设甲乙弧为六十度乙丙为五十度甲丙为二十六度半法使甲乙弧在子午圈出极中至天顶即以之安髙弧令以二十六度半【从顶算】交经圏距极五十度之限必得乙角于赤道圏
甲角于地平而丙角则起经圏五十度至顶依前法求也或使乙丙五十度在子午圏而以髙弧安经圏之六十度即乙角可在赤道上得丙角则反在地平甲角则起球求之法同前其六曰以三角求诸弧设甲角为五十九度半乙角为三十度丙角为一百零三度法转经圏于子午圏之东或西任取相距三十度或五十九度半或一百零三度皆以赤道弧为则必得相应之角在经圏过极之处安髙弧亦同法盖其交地平距北或三十度或五十九度半或一百零三度必皆在地平上算而相应之角则在天顶但安髙弧必先于地平取凖乃于天顶未定之时渐起或下仪试二弧逺近相交之处以对余角其法或识髙弧交经圏之防于顶而地平上试所求角正对之弧或用规器从髙弧与经圏相交之各防距一象限量其二弧所距【必先转髙弧于地平正对度】得合余角即初起之球必凖否即更移之总以试定三角后而其弧自明矣
依比例原法复解圆线三角形
圆线三角形中之比例总归四原因生四公论以尽解或直或斜三角形之理一论曰凢多直角三角形得锐角同近底线者以较其及埀线之正必皆互得比例设后图于仪上甲乙丙丁为地平戊为天顶从戊过甲
戊丙与庚戊巳皆以直角交
地平彼为子午圏此为髙弧
乙辛丁当赤道圏以直角交
子午于辛以斜角交地平于
乙于丁盖多三角形中取二
形即丁辛丙及丁壬巳乃二
形中有丁辛与丁壬为线辛丙与壬巳为埀线丁丙丁巳皆底线锐角在丁依常法以辛癸及壬寅两线之正与辛子及壬丑两埀线之正互相较先得三线其余线俱可得矣今用浑仪显之试以二线及大形中之垂线求小形中之垂线因而设丁辛得九十度为赤道一象限丁壬为赤道四十二度之弧辛丙则其地平髙得四十八度二十五分法移髙弧在壬下至地平得壬巳弧为三十度二分或安髙弧以三十余度交赤道圏即自限小形之可并得两线欲求大形中之垂线则辛丙必为子午圏上之弧自地平至赤道髙四十八度二十分或以二垂线及大形中之线求小形中之线各依前所定度则自壬髙弧交赤道处至本赤道交地平丁必得四十二度二论曰凢多直角三角形得锐角同近底线者以较其底线之正与弧之切线必皆互得比例如前图三角形同而大形底弧之正癸丙其切线即卯丙小形底弧之正己巳其切线为辰巳皆可反复相解或求垂线或底线必以算
乃得今于浑仪上查之设赤道
髙同前髙弧交处亦同前度必
所得垂线亦不异前若求丁巳
底线即自赤道交地平至髙弧
切地平之处得其弧为三十度五十余分因依常法凡弧之正与垂线之正得比例可互求而底线之正较垂线之正则否何也盖垂底两弧之正各圆线形内不能合成一直线三角形故【见前苐一图】用浑仪可免直线形止须以圏相交处即得各弧之长短大小焉三论曰凡圆线三角形其线之正必与对角之正得正比例如后图设甲乙丙为直角三角形直角在丙余皆鋭角各
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