也用三率法次戊丁为第一率次戊丙为二率先戊丁为三率求四率得先戊丙即两比例之数俱同类】得两戊丁俱一四七三九六戊丙
一六三○二戊乙二六七九八
又乙戊丙形有乙戊戊丙两边有乙戊丙角【乙丙弧之半】求乙丙得一七九六○乙丙线
者乙丙弧之
也乙丙弧
为八十一度
三十六分若设小轮全径为二十万分即乙丙为一二○六八四用变率法【见前】乙丙之先数得丙戊丙丁为某数【云某数者先乙丙为一率先戊丙为二率相偕为比例也】乙丙之次数得某数算得戊丙一一八六三七戊丁一○七二六八四既得戊丙求其弧得七十二度四十六分一十秒为戊壬丙有戊壬丙弧并入丙乙乙甲以减全周余九十五度一十六分五十○秒为甲戊弧其一四七七八六为甲戊线甲戊弧于全周为小分则圏之心必在甲戊外置庚心作己庚壬丁线定己为最髙壬为最庳
次依几何原本【三卷三十六题】甲丁戊丁两线内矩形与己丁壬丁两线内矩形等又己丁壬丁矩形及庚壬上方形并与庚丁上方形等则甲丁丁戊相乘加全数庚壬上方积以开方得庚丁为一一四八五五六次设庚丁全数为十万用变率法得庚己八七○六是为月天半径与小轮半径之比例
次从庚心作甲戊之垂线平分甲戊线于辛截甲戊弧于癸成庚辛丁直角形此形有辛丁【先得丁戊戊甲今庚辛线平分甲戊以辛
戊加戊丁得】一一四六五七七又有庚丁一
四八五五六求辛庚丁角得八十六度
三十八分半是在心之庚角所乘癸戊壬弧也以减半周余九十三度二十一分半为癸己弧先得甲戊弧为九十五度一十六分五十○秒甲癸半之为四十七度三十八分三十○秒以减癸己余四十五度四十三分为甲己是第一防食太隂未至最髙之度也以减甲乙余六十四度三十八分为己乙是第二防食太隂过最髙之度以己乙并乙丙得一百四十六度一十四分是第三防食太隂距最髙之度
依上算得辛丁庚角三度二十六分黄道子丑弧也为第一食两行之差【小轮心指黄道上之丑防本行从丑向子则月在子居前平行在丑居后】应于平行加丑子度分为视行又甲丁乙角七度四十二
分减去甲丁
丑角余己丁
乙角四度二
十一分于黄道弧为午丑是第二食两行之差【乙在最髙之后月视行未至丑】应于平行减午丑度分为视行又丙丁乙角先为一度二十一分以减午丁丑角余丙丁丑角二度四十九分于黄道弧为未丑是第三食两行之差【丙未至最髙冲】应于平行减未丑度分为视行
末第一食月视行离大火宫一十三度一十五分于黄道弧为子【太阳躔其冲大梁宫度分同】今得两行之差丑子三度二十二分减视行率得平行小轮心度丑为在大火宫九度五十三分第二食视行离降娄宫二十五度○六分于黄道为午两行差四度二十一分以加视行率得丑为在降娄宫二十九度三十分第三食视行离鹑尾宫一十四度一十二分于黄道为未两行差三度二十二分以加视行率得丑为在鹑尾宫一十七度○四分一系因上论可得小轮半径【庚壬】与月天半径【庚丁】之比例二系可得两行之极大差法从地心丁作丁夘线切小
轮于夘因几
何【三卷三十六题】丁
夘切线上方
形与己丁壬丁两线矩内形等今先有己丁壬丁两数以相乘开方得夘丁既夘丁庚形有三边以求夘丁庚角是为两行之极大差【此差古今测法同得数小异别有图表见后卷】五度一分上法用不同心圏得数无异
测本轮大小逺近及加减差后法第七
法同上用三防食【此近世歌白尼法今时通用】
第一食总期之六千二百二十四年为正徳六年辛未十月【西厯之月今九月】初七日子正后二十八刻【顺天府时刻下同】月全食太阳躔夀星宫二十二度二十五分平行为二十四度一十三分
第二食六千二百三十五年为嘉靖元年壬午九月初六日子正后三十一刻月全食太阳躔鹑尾宫二十二度一十二分平行为二十三度四十九分【今作八月】
第三食六千二百三十六年为嘉靖二年癸未八月二十六日子正后四十二刻一十分月食太阳躔鹑尾一十一度二十一分平行一十三度○二分【今作八月】
前两防食黄道上相距之中积视行度【减全周】为三百二十九度四十七分中积日为三千九百八十七日平时三刻一十分于时交周上中积平行度【减全周】为三百三十四度四十七分本轮自行【减全周】为二百五十○度三十六分因自行度是生平行视行之差五度以为加减率【中积之视行大平行小故月在小轮之右】
后两防食黄道上相距之中积视行度为三百四十九度○九分中积日为三百五十四日平时十二刻○九分于时交周上中积平行度为三百四十六度一十分本轮自行为三百一十六度四十三分因自行度是生两行之差二度五十九分以为加减率【中积之平行大视行小因差少月仍在小轮之右】
第一食月在甲从甲数前二防之自行中积二百五十度三十六分至乙即乙为小轮周上第二食月离所在而乙甲余弧必一百○九度二十四分甲丁乙角之弧为午子五度是人目所见黄道上两行之差
又从乙【第二防月离所在】过戊申数三百一十六度四十三分至丙即第三防月离所在而丙乙弧必五十三度三十七分丙丁乙角之弧为午未二度五十九分是黄道上两行之差
又乙丁甲角去减丙丁乙角余甲丁丙角为子未二度○一分为黄道上两行之差
次并甲乙乙丙弧得一百六十二度四十一分以减全周余一百九十七度一十九分为丙己甲弧是周之大半即周之心在其内次作丁庚丑线定己为最髙从甲从乙从丙作甲丁乙丁丙丁各线丙丁线割小轮圏于戊次作乙甲甲戊戊乙三线成甲乙戊形
乙戊丁形有戊丁乙角【二度五十九分】又有乙戊丁角【丙戊乙角乘丙乙弧二十六度三十八分半其余以满一百八十度为乙戊丁角一百五十三度二十一分半】即戊乙丁
角【第三为二】十三
度三十九分
三十○秒以
求各腰【倍角之数求其即对边之数】得乙戊边为一○四二戊丁为八○二四
次甲戊丁形有甲丁戊角【未子二度一分】有甲戊丁角【甲戊丙角乗甲己丙弧一百九十七度一十九分半之得八十八度三十九分半甲戊丙角也其余为甲戊丁角九十一度二十○分半】即有戊甲丁角有三角求其边若戊丁为八○二四则甲戊为七○二
次甲戊乙形有戊乙【一○四二】戊甲【七○二】两边有乙戊甲角【乗甲己乙弧二百五十○度三十六分半之为一百二十五度一十八分】求甲乙得一二二七
若小轮之半径庚壬为全数即因甲己乙弧之度推得甲乙又用变率法推乙戊戊甲戊丁各线与庚壬全数为同比例之数算得甲乙为一六三二三戊丁为一○六七五一戊乙为一三八五三有戊乙即得戊乙弧为八十七度四十一分以并乙丙弧得一百四十○度五十八分求其得一八八五○为丙戊以并戊丁得一二五六○二
次依几何原
本【三卷三十六题】丙
丁丁戊两线
内矩形与己丁丁壬两线内矩形等又己丁丁壬矩形及庚壬方并与庚丁方等则以丙丁丁戊矩形一三四○八一三九一○二庚壬方【庚壬全数为一万】一万万并为积开方得庚丁方之边为一一六二二六次设庚丁全数为十万变庚壬为八六○四是为月天半径与小轮半径之比例与前古法所得小异
次从庚心作丙戊之垂线平分丙戊线于辛截丙戊弧于癸成庚辛丁直角形此形有庚丁【一一六二二六】有辛丁【先得戊丁一○六七五一又有丙戊一八八五二半之为辛戊九四二六以并戊丁为一一六一七七】求庚丁辛角得一度三十九分为未丑又求辛庚丁角得八十八度二十一分为癸壬弧并丙癸【先得戊乙丙弧一百四十度五十八分其半为丙癸七十度二十九分】得一百五十八度五十○分其余【以满半周】为丙己二十一度一十分是第三食月距小轮最髙之自行度第二食月在乙乙己弧七十四度二十七分为其距最髙之自行第一食月在甲甲乙己一百八十三
度五十一分
为其距最髙
之自行
又己丁丙角为未丑一度三十九分月在平行之后则第三食平行内应减未丑丙丁乙角为午未二度五十九分月在平行之后则第二食平行内应减午未两角并得午丑四度三十八分为第一食应减之数而甲丁乙角先得五度因月在小轮下弧则为应减之数一加一减相准余壬丁甲角为丑子弧○度二十二分则第一食平行内应加丑子
末第一食月视行经度离降娄宫二十二度二十五分减丑子弧二十五分【视行内应减平行内应加】得平行为在降娄宫二十二度○三分第二食月视行离娵訾宫二十二度一十二分加午丑弧四度三十八分得平行为在娵訾二十六度五十○分第三食日视行离娵訾宫一十一度二十一分加己丁丙角一度三十九分得平行为在娵訾宫一十三度皆食时之经度也
因上二论以推加减立成表如后卷
试旧推平行率各术疎宻第八
依前法用太隂加减差表定前后两防食之中积时可得太隂之平行率又用上论求两食之本轮自行度若此两率之距本轮最髙或最庳等则所定平行率为确合
如前本篇第六所用第二防食为总积之四千八百四十七年系汉顺帝阳嘉二年【多禄某所用】其各率见本章 又第七所用第二防食为总积之六千二百三十五年系正徳六年【歌白尼所用】其各率见本章其中积率为平年【三百六十五日】一千三百八十八年三百○二日一十四刻○四分其间交防满一万七千一百六十六周其自行本轮亦满全周则为确合今依上古法推【依巴谷在周显王时】减全周外余三百五十九度四十八分○七秒【转周不及交防一十一分五十三秒】依中古法推【多禄某在阳嘉年】减周外余三百五十九度三十七分四十九秒【转不及防二十二分一十一秒】依近世法推【歌白尼在正徳年】减周外余四分则知近世之法视古为宻葢测验推步一二千年积功力积智巧所定诸法渐次加精故也定太隂平行自行之厯元第九
厯元者于某地之某年月日时刻定某曜躔本天之某度分为推步之根本上遡既往下迄将来靡不准此或加或减以得随时所躔各度分也
今拟定崇祯元年戊辰天正冬至后子正初刻为厯元其地则
京师顺天府定为厯元之本所厯元则上下推步略同古法论地则自唐至元有测验北极出地之法是为地之纬度若其东西经度从古未有也今立法以本府为根其南北北极出地三十九度五十五分有竒九服皆随地测验东西则以本府为初度初分九服依此为准或加或减推算各地本时本曜之各所求度分别有本法本论【如后卷】
右北极出地度通为四十○度四十九分有竒中西二率悉与古法不合葢前人未悟地半径差气差于两至所测之髙应加应减故也说见日躔厯指
用厯元前一月食之嵗月日时及厯元之嵗月日时取其中积日求太隂之平行若干度分减朔防【一交防之全周】余度分为厯元之平行度分则朔应也又考月食时得自行若干度分亦算中积时之自行若干度分两数并得为【转应也新法算书卷二十八】
厯元之自行度分则
钦定四库全书
新法算书卷二十九明 徐光启等 撰月离厯指卷二
解第二均数第十
如上论因月有本轮自行度以致不平不顺定朔定望多寡不一今用其自行度分加减其平行视行以定均数则于定朔定望及交食之法始无遗漏乃厯家详测宻推以为未足尽月行之理故又立次轮一法以定均数与本轮第一均数并用之今解其义如左
古今测月行审有自行度与平行不合立为本轮法【或不同心】与自行加减以定朔望以正交食然其朔望之极大差不过五度此本轮之半径也是知定朔定望时太隂恒在本轮之周矣其在上下之差则不然古厯于上下日推太隂自行本轮之二限四限【左右两傍之尽处所谓留际也如此则为去最髙之极大差】又在黄道之九十度限【一名黄平象限如此则无东西视差】以定本日之经度若如本轮法则此差止应得为五度及用圆浑仪测候或以距太阳求月之视行经度或以恒星求其黄道上之视经度得数乃与先推殊不合论推算宜得五度论测度则得七度四十分从古至今累测皆如之又测前后若干日亦与推算不合每日逺近所差不等知月行止定朔定望日在小轮周余日去离逺近多寡各有本行度分因从其差数以立差法仍定本轮周上复有次小一轮循本轮右旋【与七政行同与自行异】半月一周因其行度作加减差以定第二均数列表【如后卷】
求次轮之比例第十一
既论有次小轮今论其大小以定加减率
如图丁为地心
庚为本轮心甲
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