数有三一五进一位列于前
得数之下并之得三三二五该米三石三斗二升五合
又如有米一斗卖钱一百二十五文今有米一十八
石三斗问该钱若干则以一
八三为实一二五为法先查
实数三筹齐列次视法尾五
查三筹第五横行内数是九
一五另列次视法次二查三
筹第二横行内数是三六六
进一位列于前得数之下次视法首一查三筹第一横行内数是一八三又进一位列于前得二数之下并之得二二八七五该钱二万二千八百七十五文如法数有○则径作一○以当其位再查法数如前如六八三为实三○○为法则作二○乃查三筹之第三横行内数从二○左进书之余放此
二除法
除法有实有法有啇先将法数依号查筹从左向右齐列次于诸筹从上至下查横行内连数之等于实数或畧少于实数者在第几行即是初啇数如在第一行即得数是一在第九行即得数是九也次以查得之数减其实数如已尽则止知有初啇未尽则知宜有再啇也有再啇者即再查横行内数之等于存实或畧少于存实者在第几行即是再啇数又以查得之数减其存数如前又未尽则更有三啇亦如上法三以上仿此若初得已除实数未尽乃实数次位无实则知当有○位即作一○以当次啇或三位俱无则知得有二○即又作一○以当三啇乃从后数查之若虽有余数而其数小于法数是为不尽法法之数用命分法
解曰除法者分率之法也有实有法先列实次以法数平分之故古九章法名为实如法而一或省曰而一也除法有二一归除一啇除啇除者古法归除则后来捷法珠算可任用之若书算筹算必独用啇除也用筹则先如法数列筹自左而右别列实数简筹之某格与实数相合者或畧少于实数者以减实即初啇数也若未尽即如前再啇三啇以上皆如之又未尽则以法命之
假如列实一百○八以三十六为法除之简三六两筹列之视其第三格六号筹下右半斜方有八中各斜方有一九共十进一位成百即一百○八除实尽也
又如有米九升五合价银一钱今有米三石三斗二
升五合问该银若干以三三
二五为实九五为法先以法
数二筹齐列次于各行横数
内求三三二有则径减实数
无则取其田 者二八五以
二八五减三三二余四七五为实而此二八五数乃在第三行即三为初啇数次视第五行有四七五正与余实相等减尽即五为次啇数是三五为得数也该银三两五钱
又如每钱三百七十四文买米一斗今有钱八万七千一百四十二文问该米若干以八七一四二为实三七四为法先以法数三筹齐列次视各行横数内求八七一无则取其畧少者七四八以七四八减八七一余一二三四二为实而此七四八乃在第二行
即二为初啇数次视各行中
无一二三四及畧少者惟第
三行有一一二二以一一二
二减一二三四余一一二二
为实即三为次啇数次视第
三行有一一二二正与余实
相等除尽即三为三啇数该
米二十三石三斗
若积数为八七二四八尚有一○六为余实再欲细分即用命分第一法以余数一○六为子法数三七四为母即命为三百七十四分之一百○六
或用命分第二法于余实一○六后加一○依上法再分之得二又加一○再分之得八又加一○再分之得三得数为二八三凡三位即命为一千之二百八十三
三开平方法
开平方有积数有啇数啇有方法有廉法隅法置积为实从末位下作一防向前隔一位作一防每一防当作一啇次视平方筹内自乘之数有与实首相等者即除之若无相等则取其相近之畧少者除之但实首以左第一防为主若防前无位则自乘止于零数如一四九是也若防前有一位则自乘应有十数如十六至八十一是也而此乘数在第几格则第几数即初啇数如所用数是九九为三之自乘在第三格即三为啇数也若有二防者即以初啇数倍之如一倍为二三倍为六也即查所倍之筹列于方筹之左如四倍为八即取第八筹九倍为十八即取第一第八两筹也次视诸筹横行内数之与存实相等者除之而此数在第几格则第几数即次啇数如在第五格即五为次啇数也不尽以法命之三防以上仿此
解曰开平方者即自乘还原也而法实相同无从置算故以积求形必用方廉隅三法啇除之如有积一百啇其根【根者一边之数四边皆同】十即尽实此独用方法无用廉隅矣若一百二十一初啇十除实百余二十一则倍初啇方根为廉法【任加于初啇实一角之旁两边故曰廉两廉故倍初啇根】次啇一以乘廉得二十以一为隅法实尽则百二十一之积开其根得十一也在筹则右行自一至九者即方根数也左二行即方根自乘之数自乘之数止于二位故隔一位作防查实下作几防知方根当几位也法先于左第一防上一位或二位为乘数平行求得其根适足则已不合则用其少者余实以待次啇也左防或一位或二位者防在实首则乘数为单数
防在实首之次位则乘数为十数也如上图先以第一防求初啇根为方法乙为方积也不尽为二防之实以初啇
根倍之为廉法甲丙之长边也次啇若干即以为隅法丁方之一边也并二廉一隅法以除实甲乙丙丁平方也不尽三啇之啇而不尽者以法命之其筹法先列本筹得初啇次啇则列廉法筹于本筹之左本筹之自乘数即隅积也其根隅法也次查所列筹何格中平行并数可当廉法之几倍及隅方积得其根以除实即得设实下有二防则左一防之根为十数右一防之根为单数故廉法筹为十数本筹数为单数也三防以上仿此
假如有积六百二十五别列为实从末位五向前隔
一位各作一防即知啇二位
也防在实首六为单数视方
筹内自乘之数无六其下九
过实用其上四实之近少数
也平行向右取二为方法【即方
根】另列之为初啇即以四百
减六【百】存二【百】以并次防之
实得二二五为余实次倍初啇根得四为廉法【廉有二故倍方根】取四号筹列方筹左于列筹内并数取其合余
实或近少于余实者至五格
适合即五为廉次率为隅法
为次啇而本方之根得二十
五
又如积四千四百八十九别
列为实从末位九向前作二
防知啇二位防在次位则实
首四为十数也视筹内自乘
无四四近少为三六平方取六为方法为初啇即以三六减四四存八以并次防之实得八八九为余实次倍初根得十二为廉法取一二号两筹列方筹左于列筹并数得八八九在第七格除实尽即七为廉次率为隅法为次啇而本方之根得六十七
又如有积三万二千○四十一列为实从末向前隔
一位作一防得三防知啇三
位防在实首三为单数视筹
自乘无三近少为一平行取
一为方法为初啇即以一减
三存二以并次防实得二二
○为余实次倍初根得廉法
二取二号筹列左筹方于列
筹并数得近少者一八九在
第七格即七为隅法为次啇
列初啇之右以一八九减余
实得三一以并三防之实得
三一四一为次余实次倍前
根十七得三四为次廉法取三四两筹列方筹左于列筹并数得三一四一在第九格适尽即九为三啇为隅法列次啇之右而本方之根得一百七十九又如有积六十五万一千二百四十九列为实从末
位九向前隔一位作一防得三
防知啇三位防在次位则实
首六为实数也视筹自乘无
六五近少为六四平行取八
为方法为初啇以六四减六
五存一以并次防实得一一
二为余实次倍初根得廉法
一六取一六两筹列方筹左
于列筹并数查无一一二亦
无近小数即知次啇为○也
则于八下加○以当次啇而
以一一二并三防之实得一
一二四九为次余实次倍前
根八得一六进一位得一六
○为次廉法取○筹列一六两筹之右于列筹并数得一一二四九在第七格适尽即七为三啇为隅法列前二啇之下而本方之根得八○七
其啇而不尽者以法命之则有二术其一如前第一
六十六万二千七百四十九
如前三啇得根八百一十四
余积一百五十三更啇一当
倍廉加隅得一千六百二十
八今不足则命为未尽者一
千六百二十八之一百五十三也
法曰凡开方不尽实其命分法倍前啇数【二廉也】加一【立隅】为母【续啇之】余实为子依法命之然终不能尽如设积六十求开方初啇七余十一倍七加一得十五为母十一为子可命六十之根为七又一十五之一十一而缩试并初啇及分数自之得四十九又二二五之二四三一约之为一十一是二二五之一八一以并四十九得五十九又二二五之一八一不及元积若倍初啇不加一为母命为十四之十一试自之得六十○又一九六之一四一过元积而盈
其一欲得其小分则通为小数如前第二法更开之当于余积之右加两圏【是原积之一化为百也】如法开之得根数当命为一十分之几分也或加四圏【是原积之化为万也】
得根数命为一百分之几分
也或加六圏【一化为百万】得根命
数为一千分之几分或加十
圏【一化为百万万】 得根命为十万
分之几分也
如图原积六六二七四九已啇得八一四不尽者一五三欲得其细分加六圏【是一百五十三化为一万五千三百○十○万○千○百○十○也】更开得数为○九三因空位六则命为一千分之○百九十三也欲更细更加空位终不能尽何故六十者本无根之方也
四开立方法
开立方亦有积数有啇数啇有方法有平廉法长廉法隅法置积为实从末位向前隔二位作防每一防有一啇次视立方筹内再乘之数有与实首相等者即除之若无相等则取其近少者除之但实首以左第一防为主若防前无位则再乘止于零数如一如八是也若防前有一位则再乘应有十数如二七如六四是也若防前有二位则再乘应有百数如一二五至七二九是也而此乘数在第几格则第几数即初啇数如所用数是八八为二之再乘在第二格即二为初啇也若有二防者以初啇数自乘而三倍之如二之自乘得四四之三倍为一十二为平廉法以初啇数三倍之如二之三倍得六为长廉法次以平廉法数查筹列立方筹左又以长廉法数查筹列立方筹右次视左筹与方筹并之横行内数啇其少于余实者平行取数为约数即以此数为次啇如在五格即次啇五也次以次啇自乘之数与长廉法数相乘进一位书于约数之下以此二数并之除其余实即得立方根不尽者以法命之三防以上仿此
解曰立方形者六方面积为一实体也每面等每边每角各等立方积者一数自乘再乘之所积也线有长面有长有广体有长有广有高所谓一乘作面再乘作体是也开立方者亦以积求形之术其异于平方者平方为面面有四等线开之求得四线之一为方根也立方为体体有十二等线开之求得十二线
之一为方根也三乘方以上亦
皆十二线有等有不等而皆求
其最初第一面之一界线为方
根也今解立方廉隅法姑作分
合图论之若截木或镕蜡作八
体分合解之尤易晓矣 其一
作六方面形一事诸面线角皆
相等此名方法体即上图甲乙
丙丁立方体是也 其二作六
面扁方体三事其上下面各与
方法等旁四面之高少于方法之高【任意多寡开讫乃得】而四棱线皆等此名平廉法体即上图戊己庚辛是也其三作六面长方体三事其上下左右四面与平廉之旁面等两端之四界线皆与平廉之高等此名长廉法体即上图壬癸是也 其四作六面小立方体一事六面之广袤皆与长廉之两端等此名隅法体即上图子丑是也
右度数家以度理解数学【度者防线面体量法也数者一十百千等算法也】亦以数理解度学如鸟两翼交相待而为用也今依
此借数以明立方之体如初方
体之边各四则一面之积为一
六其容积六四平廉之两大面
亦一六其高设五相乘得容积
八○长廉之长亦四其两端之
高广各五则其容积一○○立隅之边各五则其容一二五此八体并之以三平廉合于初方之甲丙乙丙丙丁三面以三长廉补三平廉三阙以立隅补三长廉之阙即成一总立方也 又算法单数乘单数生单数【如四乘六为二四是为六者四积为二十四而其根四乃单数也】单数乘十数生十数【如四乘三十为一二是为三十者四积为一百二十而其根二乃十数也】十数乘十数生百数【如三十乘八十为二四是为八十者三十积为二千四
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