列，这个概念的使用就不会发生问题。对于这些序列我们总可以确定相应的相对频率序列是否是收敛的。相对频率极限值概念只是在没有数学规则只有经验规则（与例如钱卜序列有关的）的序列的情况下才会引起麻烦；因为在这些情况下，极限值概念是未定义的（参阅第51节）。
建立序列的数学规则的一个例子如下：“序列α的第n个元素应该是0，当且仅当n可被4除”。它定义的无穷二择一是
（α）11101110……
其相对频率的极限值αf’（1）＝3／4；αf’（0）＝1／4。借助数学规则用这种方法定义的序列我简称为“数学序列”。
与之相对照，建立经验序列的规则是例如“序列α的第n个元素将是0，当且仅当硬币c的第n次掷猜出现反面时”。但是经验规则不一定总是定义随机性质的序列。例如，我应该把下列规则称为经验规则：“序列的第n个元素将是1，当且仅当第n秒（从某个零时算起）时，发现摆p摆到这标记的左方时”。
这个例子表明有时——例如根据与摆有关的一些假说和测量——可用数学规则代替经验规则。用这种方法我们会找到一个数学序列，它以按我们的目的也许使我们满意，也许不能使我们满意的精确度接近于我们的经验序列。有可能（我们的例子可用来建立这种可能）获得一个其各种频率接近于那些经验序列的频率，在我们目前的情况下具有特殊的意义。
我把序列分为数学序列和经验序列时，我利用的是“内包”上的差别，不是“外延”上的差别。因为如果用“外延”方法，即用一个接一个地列举其元素的方法使我们得一个序列－－因此我们就只能知道它的一个有穷的片段，一个有穷的节段，不管它有多长——，那么就不可能根据这个节段的性质确定其一部分的序列是学序列还是经验序列。仅当给定一个建构规则——即“内包”规则—一时，我们就能判定一个序列是否是数学的还是经验数的。由于我们希望借极限值（相对频率）概念之助处理我们的无穷序列，我们必须把我们的研究限于数学序列，实际上就是限于相应的相对频率序列是收敛的那些数学序列。这种限制等于引入收敛公理。（与这公理有关的问题到第63－66节再讨论，因为与“大数定律”一起讨论它们比较方便。）
因此我们将只谈数学序列。然而我们将只谈那些数学序列：我们期望或推测它们就频率而言接近于具有似机遇或随机性质的经验序列，因为它们是我们的主要兴趣所在。但是期望或推测一个数学序列，就频率而言它接近于经验序列，不过是提出一个假说——一个关于经验序列频率的假说。
我们对经验随机序列的频率的估计是假说这一事实，对我们用以计算这些频率的方法没有任何影响。显然，在有穷类方面，它对我们如何获得我们的计算由此开始的频率，丝毫没有关系。这些频率可借实际计算获得，或根据一条数学规则，或根据某种假说获得。或者我们简直可以虚构一些频率。在计算频率时我们接受某些频率作为给定的，并从中推导出其他频率。
无穷序列中的概率估计同样如此。因此关于我们频率估计的来源问题不是一个频率计算问题；然而这并不是说把这个问题从我们关于概率论问题的讨论中排除出去。
在无穷经验序列的情况中，我们能区分出我们假说性频率估计的两种主要“来源”——就是说两种方法，我们用这两种方法就可估计出频率。一是基于“均等-机遇假说”（equalchancehypothesis），（或等概率假说equi－probabilityhypothesis）的估计，另一是基于统计结果的外推（extrapolationofstatisticalfndings）。
我用“均筹-机遇假说”，是指这样一种假说，它断言各种主要性质的概率是均等的：它是断言均等分布的假说。均等-机遇假说常常基于对称性的考虑。最典型的例子是掷骰子时均等频率的推测，其根据是立方体六面的对称性和几何等值。
至于基于统计学外推的频率假说，死亡率的估计提供一个很好的例子。在这里关于死亡率的统计资料是用经验查明的，并且根据过去的趋势将继续足十分接近稳定的，或者它们不会有很大变化——至少在最近时期内——的假说从已知事例，即从已用经验加以分类和计算的偶发事件外推到未知事例。
具有归纳主义倾向的人容易忽视这些估计的假说性质，他们会把假说性估计，即基于统计外推的频率预测同它们的经验“来源”之——过去的偶发事件和偶发事件序列的分类与实际计算混为一谈。往往提出这样的主张；我们从已加以分类和计算的过去的偶发事件（如死亡统计）中“推导出”概率估计——即频率预测。但是从逻辑观点看，这个主张并没有得到证明。我们根本没有作什么逻辑推导。我们已经做的是提出一个不可证实的假说，这个假说在逻辑上是永远得不到证明的，这个假说就是推测频率仍将稳定不变，因此允许外推。甚至均等-机遇假说也被一些相信归纳逻辑的人认为是“经验上可推导的”，或“经验上可说明的”，他们认为这些
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