二率甲乙边与半总之较七十尺与乙丙边与半总之较四十二尺相乗得二千九百四十尺为三率求得四率一千二百二十五尺开方得三十五尺为三角形自中心至三边之垂线先求丙角则用甲乙边与半总之较七十尺为一率三角形自中心至三边之垂线三十五尺为二率半径十万为三率求得四率五万为丙半角之正切捡表得二十六度三十四分倍之得五十三度零八分即丙角之度也如先求乙角则用甲丙边与半总之较八十尺为一率先求甲角则用乙丙边与半总之较四十二尺为一率俱用三角形自中心至三边之垂线三十五尺为二率半径十万为三率即各得各半角之正切焉此法葢一率二率以线与线为比三率四率以面与面为比也如甲乙丙三角形自中心丁至三边各作一垂线又自中心丁至三角各作一分角线即成六直角三角形俱两两相等【辛为三边之半总即三较之和丁己丙与丁庚丙等丁己乙与】又按甲戊度引乙丙线至【丁戊乙等丁戊甲与丁庚甲等】辛则乙【乙己与乙戊等即甲丙边与半总之较己丙与丙庚等即甲乙之面边与半总之较丙辛与甲戊甲庚等即乙丙边与半总】试自辛作直角将乙丁线引长作一乙辛壬直角形则壬辛与丁己平行乙辛壬形与乙己丁形遂为同式形其乙辛与乙己之比即同于壬辛与丁己之比然乙辛一率乙己二率之数虽有而壬辛之数却无又但知己丙与丙辛相乘之数即丁己与壬辛相乘之数故以己丙与丙辛相乘之数为三率【之较何以知己丙与丙辛相乘之数即丁己与壬辛相乘之数试作壬丙线壬癸线使丙癸与丙辛等癸角辛角皆为直角癸丙辛角与辛壬癸角相合共成一百八十度然庚丙己角为癸丙辛角之外角相合亦共成一百八十度是庚丙己角与辛壬癸角等庚丁己角与癸丙辛角等是以壬癸丙辛形与丙庚丁己形为同式形而丙辛壬勾股形与丁巳丙勾股形亦为同式形可互相比例矣以丁己作一率己丙作二率丙辛作三率即得四率壬辛是以己丙二率与丙辛三率相乘之数即与丁己一率壬辛四率相乘之数等故直以己丙丙辛相乘之数作三】其所得四率即丁己自乘之数是故乙辛与【率也】乙己之比同于丁己与壬辛相乘【即己丙与丙辛相乗之面】与丁己自乘之面之比也既得丁己自乘之面故开方而得丁己为三角形自中心至三边之垂线与丁戊与丁庚俱相等又即三角形容圜之半径也
制数理蕴下编卷十七
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷十八
面部八
测量【勾股测量三角测量】
测量
周髀曰偃矩以窥髙覆矩以测深卧矩以知逺盖以矩度或表杆相度窥测立者则取其直平者则取其方必使成直角以大小勾股为比例以在器之勾股比所测之勾股彼此相形而得之者也然勾股必为直角而三角形则惟变所适而无定形要以角度为准而用割圜八线以为比例凡求角求边皆以三角形之法为本总以对所知为一率对所求为二率所知为三率得四率即所求也或一测或屡测惟在随时而致用或用正或用余惟在比例之相当不特凡物之髙深广逺可得而推即七政之躔度天地之形体俱可得而测也
勾股测量【凡用矩度或立表杆必用垂线取其与地平成直角以为准则若地不平
须记取某处与人目所看相平为记】
设如有一旗杆欲测其髙但知距旗杆之逺为三丈问得髙几何
法用矩度【矩度之制必用正方每边定一百分或二百分横俱界线画成小方分自中心所出线俱平分每边一半对中心所出线两邉安定表取中心安游表看分数必以其自中心所出线为准见几何原本十二卷】定准坠线以定表看地平游表看旗杆顶得距地平分四十分【此矩度前边为百分自中心平分半边为五十分】乃以中心平分距分五十分为一率所得距分四十分为二率距旗杆之逺三丈为三率求得四率二丈四尺即矩度中心定表所对地平至旗杆顶之髙加矩度中心距地之髙四尺共得二丈八尺即所求旗杆之髙也如图甲乙为旗杆之髙丙乙为距旗杆之逺丁为矩度中心丁丙为矩度中心距地之高己庚为定表所对地平为戊辛壬为游表看旗杆顶甲其丁庚为矩度中心平分距分五十分壬庚为游表距地平分四十分其丁庚与壬庚之比同于丁戊与甲戊之比故丁庚五十分为一率壬庚四十分为二率丁戊距旗杆之逺三丈为三率得四率甲戊二丈四尺加同丁丙高之戊乙四尺即得甲乙二丈八尺为旗杆之高也
又用表杆测法于距旗杆三丈处立一表高四尺向前又立一表高八尺看二表端与旗杆顶齐量二表间相距得五尺乃以五尺为一率前表八尺内减后表四尺余四尺为二率距旗杆之逺三丈为三率求得四率二丈四尺加入后表高四尺得二丈八尺即旗杆之高也如图甲乙为旗杆之高乙丙为距旗杆之逺三丈丁丙为后表之髙四尺戊己为前表之高八尺丙己为二表之距五尺戊庚为二表之较四尺丁戊甲为人目视线试与乙丙平行作辛丁线遂成甲辛丁戊庚丁两勾股形为同式形故丁庚与戊庚之比同于丁辛与甲辛之比既得甲辛加与丁丙相等之辛乙即得甲乙为旗杆之高也
设如一树欲测其逺爰取一直角横量十五丈问得逺几何
法以矩度定表与游表定准直角以定表对树游表随直角立表杆二三处横量十五丈于此处复安矩度以定表对所立表杆取直看原处以游表看树得距矩度中心平分线距分三十分乃以所得距分三十分为一率矩度中心平分距分五十分为二率横量十五丈为三率求得四率二十五丈即离树之逺也如图甲为树甲乙为离树之逺乙为直角乙丙为横量十五丈丁戊为所立二表杆丙为矩度中心丙己为矩度中心平分距分五十分己庚为所得距分三十分丙己庚勾股形与甲乙丙勾股形为同式形故己庚与己丙之比即同于丙乙与甲乙之比也
又用表杆测法先立一表于乙取直角横量十五丈至丙次立一表于丙自丙对甲相直复立一表于丁次依丁丙度引至乙丙线上截乙丙于戊乃以丙戊折半于己遂得丁己丙勾股形与甲乙丙勾股形为同式形因量丙己得三丈为一率丁己得五丈为二率丙乙十五丈为三率求得四率二十五丈即甲乙之逺也
设如有山一座欲知其高用重矩之法测之问山之高得几何
法用矩度定准坠线以定表看地平游表看山顶得距地平分四十分又向后量九丈复安矩度定准坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看山顶得距地平分三十二分乃以前矩度距地平分四十分为一率中心平分距分五十分为二率后矩度距地平分三十二分为三率求得四率四十分为前矩度游表与后矩度游表同距地平分所得之中心距分乃以所得四十分与后矩度中心平分距分五十分相减余十分为一率后矩度距地平分三十二分为二率向后量九丈为三率求得四率二十八丈八尺即矩度中心定表所对地平至山顶之高加矩度中心距地之高四尺共得二十九丈二尺即所求之山之髙也如图甲乙为山之高丙为前矩度中心丙庚为定表所对地平为戊丙己为游表看山顶甲其己庚为游表距地平分四十分丙庚为中心平分距分五十分丙丁为向后量九丈丁为后矩度中心丁壬为定表所对地平亦为戊丁辛为游表看山顶甲其辛壬为游表距地平分三十二分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度游表距地平分辛壬度于前矩度作癸子线则丙子中心距分必小于丙庚故己庚与丙庚之比同于癸子与丙子之比而得丙子之分既得丙子则以丙子与丁壬相减余丁丑【与前矩度子庚等】即前后两矩度游表同距地平分所得中心距分之较乃自辛至丑作辛丑线遂成辛壬丑勾股形与癸子丙同度俱与甲戊丙勾股形为同式形而辛壬丁勾股形又与甲戊丁勾股形为同式形且丁丙与丁丑皆为两勾股形之各股之较故辛丑丁三角形与甲丙丁三角形亦为同式形是以丁丑与辛壬之比同于丁丙与甲戊之比而为相当比例四率也又法用矩度定准坠线以定表看地平游表看山顶向后量九丈复安矩度定准坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看山顶得距地平分三十二分其中心平分距分为五十分爰察前矩度距地平分三十二分处得距中心距分为四十分乃以所得四十分与后矩度中心平分距分五十分相减余十分为一率距地平分三十二分为二率向后量九丈为三率求得四率二十八丈八尺即矩度中心定表所对地平至山顶之高加矩度中心距地之高四尺共得二十九丈二尺即所求之山之高也如图甲乙为山之高丙为前矩度中心定表所对地平为戊游表看山顶甲丙丁为向后量九丈丁为后矩度中心其辛壬为游表距地平分三十二分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度距地平分三十二分辛壬度于前矩度三十二分处作己庚线其丙庚距中心距分得四十分乃以丙庚四十分截后矩度丁壬中心平分距分于癸则丁癸为减余十分其丁癸与辛壬之比即同于丁丙与甲戊之比也前法两矩度游表距地平分不同故用比例四率而得其距地平相等之中心距分以取其两中心距分之较此法因取其距地平相等之分故其两中心距分不同相减即得其两中心距分之较也
设如一墙欲知其逺用重矩之法测之问墙之逺得几何
法用矩度定凖坠线以定表看地平游表看墙顶得距地平分四十分又向后量一丈复安矩度定凖坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看墙顶得距地平分二十四分乃以前矩度距地平分四十分为一率中心平分距分五十分为二率后矩度距地平分二十四分为三率求得四率三十分为前矩度游表与后矩度游表同距地平分所得之中心距分乃以所得三十分与后矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率前矩度所得中心距分三十分为二率向后量一丈为三率求得四率一丈五尺即前矩度距墙之逺若求后矩度距墙之逺则以后矩度中心平分距分五十分为二率所得四率二丈五尺即后矩度距墙之逺也如图甲乙为墙之高丙为前矩度中心丙庚为定表所对地平为戊丙己为游表看墙顶甲其己庚为游表距地平分四十分丙庚为中心平分距分五十分丙丁为向后量一丈丁为后矩度中心丁壬为定表所对地平亦为戊丁辛为游表看墙顶甲其辛壬为游表距地平分二十四分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度游表距地平分辛壬度于前矩度作癸子线则丙子中心距分必小于丙庚故己庚与丙庚之比同于癸子与丙子之比而得丙子之分既得丙子则以丙子与丁壬相减余丁丑【与前矩度子庚等】即前后两矩度游表同距地平分所得中心距分之较乃自辛至丑作辛丑线遂成辛壬丑勾股形与癸子丙同度俱与甲戊丙勾股形为同式形而辛壬丁勾股形又与甲戊丁勾股形为同式形且丁丙与丁丑皆为两勾股形之各股之较故辛丑丁三角形与甲丙丁三角形亦为同式形是以丁丑与丑壬之比同于丁丙与丙戊之比又丁丑与丁壬之比亦同于丁丙与丁戊之比也
又法用矩度定凖坠线以定表看地平游表看墙顶向后量一丈复安矩度定凖坠线以定表对前矩度中心游表看墙顶得距地平分二十四分其中心平分距分为五十分爰察前矩度距地平分二十四分处得距中心距分为三十分乃以所得三十分与后矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率前矩度中心距分三十分为二率向后量一丈为三率求得四率一丈五尺即前矩度距墙之逺若求后矩度距墙之逺则以后矩度中心平分距分五十分为二率所得四率二丈五尺即后矩度距墙之逺也如图甲乙为墙之高丙为前矩度中心定表所对地平为戊游表看墙顶甲丙丁为向后量一丈丁为后矩度中心其辛壬为游表距地平分二十四分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度距地平分二十四分辛壬度于前矩度二十四分处作己庚线其丙庚距中心距分得三十分乃以丙庚三十分截后矩度丁壬中心平分距分于癸则丁癸为减余二十分其丁癸与癸壬之比同于丁丙与丙戊之比又丁癸与丁壬之比亦同于丁丙与丁戊之比也
设如一石欲知其逺不取直角于左右两处横量三十九丈测之问两处各距石几何
法先平安矩度于右以定表看左矩度之中心游表看石得距矩度中心距分三十七分五厘其游表之斜距分为六十二分五厘次平安矩度于左以定表看右矩度之中心游表看石得距矩度中心距分十一分二厘五豪其游表之斜距分为五十一分二厘五豪乃以所得两距分相并得四十八分七厘五豪为一率右矩度所得之游表斜距分六十二分五厘为二率横量三十九丈为三率求得四率五十丈为右矩度距石之逺若求左矩度距石之逺则仍以两距分相并为一率左矩度所得之游表斜距分五十一分二厘五豪为二率横量三十九丈为三率求得四率四十一丈为左矩度距石之逺也如图甲为石乙为右矩度中心其丁戊为距分三十七分五厘戊乙为游表斜距分六十二分五厘乙丙为横量三十九丈丙为左矩度中心其己庚为距分十一分二厘五豪己丙为游表斜距分五十一分二厘五豪试自甲角至乙丙线作甲辛垂线分为两勾股形则丁戊乙勾股形与甲辛乙勾股形为同式形已庚丙勾股形与甲辛丙勾股形为同式形而乙丙即为两勾之和故
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