器定准坠线以定表空取一地平以游表看山顶得两表相距四十度于是向后就斜坡直量一百丈复安仪器定准坠线以定表空取一地平以游表看山顶得两表相距三十五度又以游表看前仪器中心得两表相距十三度乃以前仪器所得四十度内减后仪器所得三十五度余五度为对所知之角其正八千七百一十六为一率以前仪器所得四十度内减后仪器看前仪器中心所得十三度余二十七度为对所求之外角其正四万五千三百九十九为二率退量一百丈为所知之边为三率求得四率五百二十丈八尺七寸为山顶至后仪器之斜距次以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正即半径十万为一率后仪器所得三十五度为对所求之角其正五万七千三百五十八为二率山顶至后仪器之斜距五百二十丈八尺七寸为所知之边为三率求得四率二百九十八丈七尺六寸即所测之山之高也如图甲乙为山之高丙丁为山坡斜距一百丈甲丙戊角为前仪器所得四十度甲丁乙角为后仪器所得三十五度丙丁乙角为后仪器看前仪器中心所得十三度若将戊丙线引长至己则甲己戊角与甲丁乙角为二平行线之内外角其度必等故于甲丙戊角四十度内减甲丁乙角三十五度余五度为丁甲丙角【此即前题退步两测之理】又试将丁丙线引长至庚则庚丙戊角与丙丁乙角亦为二平行线之内外角其度亦等故于甲丙戊角四十度内减与庚丙戊角相等之丙丁乙角十三度余甲丙庚角二十七度为甲丙丁钝角之外角故先用甲丙丁钝角三角形求甲丁边为后仪器至山顶之斜距次用甲乙丁直角三角形求甲乙边为山之高也
设如东西二树欲知其相距之逺测处距西树五十丈距东树七十丈问二树相距几何
法以仪器定表看东树游表看西树得两表相距五十度乃以距西树五十丈与距东树七十丈相加得一百二十丈为一率又以五十丈与七十丈相减余二十丈为二率两表相距五十度与一百八十度相减余一百三十度为外角折半得六十五度为半外角其正切二十一万四千四百五十一为三率求得四率三万五千七百四十二为半较角之正切检表得十九度四十分与半外角六十五度相减余四十五度二十分为小角与半外角六十五度相加得八十四度四十分为大角既得二角则以小角四十五度二十分为对所知之角其正七万一千一百二十一为一率两表相距五十度为对所求之角其正七万六千六百零四为二率距西树之逺为所知之边其数五十丈为三率求得四率五十三丈八尺五寸即东西二树相距之逺也如图甲为西树乙为东树丙为仪器中心甲丙为距西树五十丈乙丙为距东树七十丈丙角为两表视线相距五十度今以丙角为心甲丙小边为半径作一甲丁戊圜截乙丙大边于戊将乙丙引长至圜界丁则丙戊丙丁俱为半径与甲丙等自丁至乙即两边之和自戊至乙即两边之较试自甲至戊作甲戊线则成丙甲戊三角形其丙甲戊与丙戊甲二角并之与甲丙丁外角度等今折半用其正切即如用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲丁线即丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角大于丙甲戊角之较亦即乙角小于丙戊甲角之较故自圜界戊至甲乙边作己戊线与甲丁平行即戊甲乙角之正切且乙甲丁与乙己戊为同式形故两边之和乙丁与丁戊甲半外角切线甲丁之比即同于两边之较乙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也
又法以半径十万为一率两表相距五十度之正七万六千六百零四为二率距西树之逺五十丈为三率求得四率三十八丈三尺为西树至看东树视线上之垂线又以半径十万为一率两表相距五十度之余六万四千二百七十九为二率距西树之逺五十丈为三率求得四率三十二丈一尺四寸为西树至看东树视线上垂线所分之小段分边线将此数与距东树之逺七十丈相减余三十七丈八尺六寸亦为西树至看东树视线上垂线所分之大段分边线爰以此线为勾所得垂线为股求得五十三丈八尺五寸即东西二树相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为西树乙为东树丙为仪器中心甲丙为距西树五十丈乙丙为距东树七十丈试自甲角至乙丙视线上作甲丁垂线遂分甲乙丙三角形为甲丁乙甲丁丙两直角三角形先求得甲丁垂线为股次求得丁丙小段分边线与乙丙相减余乙丁大段分边线为勾求得甲乙即二树相距之逺也
又法以距西树之逺五十丈为一率距东树之逺七十丈为二率两表相距五十度之余割一十三万零五百四十一为三率求得四率一十八万二千七百五十七为西树至看东树视线上垂线所分两分角之两正切之和内减两表相距五十度之余切八万三千九百一十余九万八千八百四十七为对西树视线之对边角之余切检表得四十五度二十分即对西树视线之对边角乃以此角度为对所知之角其正七万一千一百二十一为一率两表相距五十度为对所求之角其正七万六千六百零四为二率距西树之逺为所知之边其数五十丈为三率求得四率五十三丈八尺五寸即东西二树相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为西树乙为东树丙为仪器中心甲丙为距西树五十丈乙丙为距东树七十丈丙角为两表视线相距五十度试自甲角至乙丙视线上作甲丁垂线遂分甲乙丙三角形为甲丁乙甲丁丙两直角三角形以甲角为心作一戊己庚半圜则甲丁垂线平分于己两边各成一象限又与乙丙平行作一辛壬线则辛己一段为乙甲丁分角之正切即乙角之余切己壬一段为丙甲丁分角之正切即丙角之余切而甲壬为丙甲丁分角之正割亦即丙角之余割甲辛壬与甲乙丙两三角形为同式形故甲丙边与乙丙边之比同于丙角余割甲壬【即丙甲丁分角之正割】与丙甲丁乙甲丁两分角之正切相合之辛壬之比为相当比例四率既得辛壬两分角之共切内减去丙甲丁分角之正切己壬【即丙角之余切】所余辛己为乙甲丁分角之正切即为乙角之余切检表即得乙角既得乙角则用两角一边比例求之而得甲乙边矣
设如南北二桥欲知其相距之逺测处距南桥九十丈距北桥一百二十丈问二桥相距几何
法以仪器定表看北桥游表看南桥得两表相距一百二十度乃以距南桥九十丈与距北桥一百二十丈相加得二百一十丈为一率又以九十丈与一百二十丈相减余三十丈为二率两表相距一百二十度与一百八十度相减余六十度为外角折半得三十度为半外角其正切五万七千七百三十五为三率求得四率八千二百四十八为半较角之正切检表得四度四十三分与半外角三十度相减余二十五度一十七分为小角与半外角三十度相加得三十四度四十三分为大角既得二角则以小角二十五度十七分为对所知之角其正四万二千七百零九为一率两表相距一百二十度为对所求之角其外角六十度之正八万六千六百零三为二率距南桥之逺为所知之边其数九十丈为三率求得四率一百八十二丈四尺九寸为南北二桥相距之逺也如图甲为南桥乙为北桥丙为仪器中心甲丙为距南桥九十丈乙丙为距北桥一百二十丈丙角为两表视线相距一百二十度今以丙角为心甲丙小边为半径作一甲丁戊圜截乙丙大边于戊将乙丙引长至圜界丁则乙丁为两边之和乙戊为两边之较试自甲至戊作甲戊线成甲丙戊三角形其丙甲戊与丙戊甲二角并之与甲丙丁外角度等今折半用其正切即如用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲丁线即丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角大于丙甲戊角之较亦即乙角小于丙戊甲角之较故自圜界戊至甲乙边作己戊线与甲丁平行即戊甲乙角之正切且乙甲丁与乙己戊为同式形故两边之和乙丁与丁戊甲半外角切线甲丁之比即同于两边之较乙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也又法以半径十万为一率两表相距一百二十度之外角六十度之正八万六千六百零三为二率距南桥之逺九十丈为三率求得四率七十七丈九尺四寸为南桥至看北桥视线引长虚边线上之垂线又以半径十万为一率两表相距一百二十度之外角六十度之余五万为二率距南桥之逺五十丈为三率求得四率四十五丈为南桥至看北桥视线引长所成直角之虚边线与距北桥一百二十丈相加得一百六十五丈为南桥至看北桥视线引长之总边线爰以此线为股所得南桥至虚边之垂线为勾求得一百八十二丈四尺八寸即南北二桥相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为南桥乙为北桥丙为仪器中心甲丙为距南桥九十丈乙丙为距北桥一百二十丈试将乙丙线引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁丙甲丁乙两直角三角形先求得甲丁垂线为勾次求得丙丁虚边线与乙丙相加得乙丁总边线为股求得甲乙即二桥相距之逺也
又法以距南桥之逺九十丈为一率距北桥之逺一百二十丈为二率两表相距一百二十度之外角六十度之余割一十一万五千四百七十为三率求得四率一十五万三千九百六十为南桥至看北桥视线引长虚边线上之垂线所成两分角之正切之较与两表相距一百二十度之外角六十度之余切五万七十七百三十五相加得二十一万一千六百九十五为对南桥视线之对边角之余切检表得二十五度十七分即对南桥视线之对边角乃以此角度为对所知之角其正四万二千七百零九为一率两表相距一百二十度为对所求之角其外角六十度之正八万六千六百零三为二率距南桥之逺为所知之边其数九十丈为三率求得四率一百八十二丈四尺九寸即南北二桥相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为南桥乙为北桥丙为仪器中心甲丙为距南桥九十丈乙丙为距北桥一百二十丈丙角为两表视线相距一百二十度试将乙丙边引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁丙甲丁乙两直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其余切戊己即
甲丁丙三【角】形之甲角之正切如度辛丙外角之余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲庚而甲乙丙三角形之乙角之余切壬癸即甲丁乙三角形之甲角之正切如子辛若甲丁乙三角形之乙角余切与甲丁丙三角形之丙角余切相减即两甲角相差之较如子庚甲辛庚三角形与甲丁丙三角形为同式形甲辛子三角形与甲丁乙三角形为同式形故甲子庚三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以甲丙边与乙丙边之比同于丙外角余割甲庚【即己丙】与两余切之较子庚之比为相当比例四率既得子庚两余切之较与丙外角之余切庚辛【即戊己】相加得子辛即乙角之余切捡表得乙角既得乙角则用两角一边比例求之而得甲乙边矣
设如隔河东西二树欲知其相距之逺爰对一树取一直角左右横量十三丈测之问二树相距几何法先对西树安仪器于右定游表于九十度以定表看西树随游表横量十三丈乃以游表看东树得西树视线距横量边线九十度东树视线距横量边线三十八度西树东树两视线相距为五十二度次于直角横量十三丈处安仪器于左以定表看右仪器中心游表看东树得东树视线距横量边线一百一十度复以游表看西树得西树视线距横量边线四十五度乃先求右仪器距西树之逺以左仪器看西树距横量边线之四十五度与九十度相减余四十五度为对所知之角其正七万零七百一十一为一率以左仪器看西树距横量边线之四十五度为对所求之角其正七万零七百一十一为二率左右横量十三丈为所知之边为三率求得四率十三丈为右仪器距西树之逺次求右仪器距东树之逺以右仪器看东树距横量边线三十八度与左仪器看东树距横量边线一百一十度相并得一百四十八度与一百八十度相减余三十二度为对所知之角其正五万二千九百九十二为一率以左仪器看东树距横量边线一百一十度为对所求之角其外角七十度之正九万三千九百六十九为二率左右横量十三丈为所知之边为三率求得四率二十三丈零五寸为右仪器距东树之逺末求东西二树相距之逺以右仪器距西树十三丈与右仪器距东树二十三丈零五寸相加得三十六丈零五寸为一率又以十三丈与二十三丈零五寸相减余十丈零五寸为二率以右仪器看西树东树两表相距五十二度与一百八十度相减余一百二十八度为外角折半得六十四度为半外角其正切二十万零五千零三十为三率求得四率五万七千一百五十八为半较角之正切捡表得二十九度四十五分与半外角六十四度相减余三十四度十五分为小角以半较角二十九度四十五分与半外角六十四度相加得九十三度四十五分为大角乃以小角三十四度十五分为对所知之角其正五万六千二百八十为一率看西树东树两表相距之五十二度为对所求之角其正七万八千八百零一为二率右仪器距西树之逺十三丈为所知之边为三率求得四率十八丈二尺为东西二树相距之逺也如图甲为西树乙为东树丙为右仪器中心丁为左仪器中心丙丁为两测之距十三丈甲丙丁角为直角九十度甲丙乙角为右仪器看东树西树两表相距之五十二度乙丙丁角为右仪器看东树视线距横量边线三十八度乙丁丙角为左仪器看东树视线距横量边线一百一十度甲丁丙角为左仪器看西树距横量边线四十五度先以甲丁丙角四十五度与九十度相
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