尺二十四寸七十分七十六厘有余即圜外切六等边形之面积也
设如圜径一尺二寸求外切七等边形之每一边及面积几何
法以圜径一尺二寸求得内容七等边形之每一边为五寸二分零六豪六丝有余又求得自圜心至每一边之中垂线为五寸四分零五豪八丝一忽有余乃以中垂线之数为一率每一边之数为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸七分七厘八豪八丝九忽有余为圜外切七等边形之每一边爰以每一边之五寸七分七厘八豪八丝九忽有余与半径六寸相乘得三十四寸六十七分三十三厘有余折半得一十七寸三十三分六十六厘有余七因之得一尺二十一寸三十五分六十二厘有余即圜外切七等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬七等边形先求得圜内容七等边形之毎一边为癸子又求得圜心至每一边之中垂线为丑寅以丑寅与癸子之比即同于丑乙与巳庚之比为相当比例四率也又自圜心至各角作分角线即分七等边形为七三角形其丑乙中垂线即圜之半径故以所得圜外切七等边形之每一边与半径相乘折半得丑己庚一三角形之面积七倍之而得圜外切七等边形之总面积也又法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有余折半得二十五度四十二分五十一秒有余乃以半径十万为一率二十五度四十二分五十一秒之正切四万八千一百五十七为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸八分八厘九毫四丝二忽有余倍之得五寸七分七厘八毫八丝四忽有余为圜外切七等边形之每一边既得七等边形之每一边乃以半径与每一边之数相乘折半七因之得一尺二十一寸三十五分五十六厘有余为圜外切七等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬七等边形每一边之弧皆五十一度二十五分四十二秒有余试将丙丁边折半于癸自圜心子作子癸半径线又作子丙分角线割圜界于甲则甲癸弧为二十五度四十二分五十一秒有余丙癸即二十五度四十二分五十一秒有余之正切丙丁即二十五度四十二分五十一秒有余之正切之倍是故半径十万与二十五度四十二分五十一秒有余之正切之比即如所设之半径六寸与丙癸之半边之比既得半边倍之即全边也
又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切七等边形之毎一边四八一五七四六二为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率五寸七分七厘八豪八丝九忽有余即圜外切七等边形之每一边也
又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切七等边形之面积八四二七五五五八为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺二十一寸三十五分六十八厘有余即圜外切七等边形之面积也
又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切七等边形之面积一○七三○二九七四为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺二十一寸三十五分六十八厘有余即圜外切七等边形之面积也
设如圜径一尺二寸求外切八等边形之毎一边及
面积几何
法以圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸开方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽有余内减圜径一尺二寸余四寸九分七厘零五丝六忽有余即圜外切八等边形之毎一边乃以每一边之四寸九分七厘零五丝六忽有余与半径六寸相乘得二十九寸八十二分三十三厘有余折半得一十四寸九十一分一十六厘有余八因之得一尺一十九寸二十九分二十八厘有余即圜外切八等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸八等边形试依甲乙圜径度作子丑寅夘正方形又作子寅对角斜线于子寅对角斜线内减与甲乙圜径相等之辰己余子辰巳寅两段即与圜外切八等边形之丙丁一边相等也何则丙子丁勾股形因子寅斜线平分为子辰丙子辰丁两勾股形与原形为同式形【子辰丙勾股形之辰角与丙子丁勾股形之子角同为直角又同用一丙角其余一角必等故为同式形】丙子既与子丁等子辰必与丙辰等而为丙丁之一半则子辰巳寅两段亦必与丙丁一边等故以圜径自乘倍之开方而得对角斜线于斜线内减圜径即圜外切八等边形之毎一边也又自圜心至各角作分角线即分八等边形为八三角形其午乙中垂线即圜之半径故以所得圜外切八等边形之每一边与半径相乘折半得午己庚一三角形之面积八倍之而得圜外切八等边形之总面积也
又法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分乃以半径十万为一率二十二度三十分之正切四万一千四百二十一为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸四分八厘五豪二丝六忽倍之得四寸九分七厘零五丝二忽为圜外切八等边形之毎一边既得八等边形之每一边乃以半径与每一边之数相乘折半八因之得一尺一十九寸二十九分二十四厘有余为圜外切八等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸八等边形每一边之弧皆四十五度试将丙丁边折半于子自圜心五作丑子半径线又作丑丙分角线割圜界于寅则寅子弧为二十二度三十分丙子即二十二度三十分之正切丙丁即二十二度三十分之正切之倍是故半径十万与二十二度三十分之正切之比即如所设之半径六寸与丙子
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