立方
带纵立方者两两等边长方体积也高与阔相等惟长不同者为带一纵立方长与阔相等而皆比高多者则为带两纵相同之立方至于长与阔与髙皆不等者则为带两纵不同之立方开之之法大防与立方同祗有带纵之异耳其带一纵之法如以髙与阔相等惟长不同为问者则以初商为髙与阔以之自乘又以初商加纵数为长以之再乘得初商积至次商以后亦有三方亷三长亷一小隅但其一方亷附于初商积之方面者即初商数其二方亷附于初商积之长面者则带纵也其二长亷附于初商积之方边者即初商数其一长亷附于初商积之长边者则带纵也其带两纵相同之法如以长与阔相等皆比髙多为问者则以初商加纵数为长与阔以之自乘又以初商为髙以之再乘得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则带两纵其二方亷附于初商积之旁面者则各带一纵也其一长亷附于初商积之髙邉者即初商数其二长亷附于初商积之长阔两边者则各带一纵也其两纵不同之法如以阔比髙多长比阔又多为问者则以初商为髙又以初商加阔纵为阔与髙相乘又加长纵为长以之再乘得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则两纵其二方亷附于初商积之旁面者则一阔纵一长纵也其一长亷附于初商积之髙边者即初商数其二长亷附于初商积之长阔两边者则各一纵也惟小隅则无论一纵两纵皆各以所商之数自乘再乘成一小正方其每边之数即三方亷之厚亦即三长亷之阔与厚焉凡有几层亷隅皆依次商之例递析推之法虽不一要皆本于正方而后加纵故凡商出之数皆为小边方体共十二边若一纵或两纵相同者则八边相等四边相等若两纵不同者则每四边各相等是故得其一边加入纵多即得各边也
设如一纵立方积一百一十二尺其髙与阔相等长比髙阔多三尺问髙阔长各几何
法列积如开立方法商之其积一百一十二尺止可商四尺乃以四尺书于原积二尺之上而以所商四尺为髙与阔【因髙与阔等故四尺即方之髙与阔也】加纵多三尺得七尺为长即以髙与阔四尺自乗得一十六尺又以长七尺再乗得一百一十二尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙与阔俱四尺加纵多三尺得七尺即立方之长也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积一百一十二尺其甲乙为髙甲已为阔己戊为长甲乙甲已俱四尺己戊为七尺己戊比己庚多三尺即所之纵甲乙壬辛庚己正方形即初商之正方积庚辛壬丙丁戊扁方形即带纵所多之扁方积也葢因此法髙与阔俱止一位其积止一位之积故初商所得即髙与阔之边加入纵多即为长边也凡有带一纵无次商者依此法开之
设如一纵立方积二千四百四十八尺其髙与阔相等长比髙阔多五尺问髙阔长各几何
法列积如开立方法商之其二千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积二千尺之上而以所商十尺为初商之髙与阔加纵多五尺得十五尺为初商之长即以初商之髙与阔十尺自乗得一百尺又以初商之长十五尺再乗得一千五百尺书于原积之下相减余九百四十八尺为次商亷隅之共积乃以初商之髙与阔十尺自乗得一百尺【此一方亷初商数也】又以初商之髙与阔十尺与初商之长十五尺相乗得一百五十尺倍之得三百尺【加倍为纵两方亷即初商加纵多也】两数相并得四百尺为次商三方亷面积以除次商亷隅之共积九百四十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上而以初商之髙与阔十尺倍之得二十尺【此两长亷初商数也】与初商之长十五尺相并【此纵一长亷也】得三十五尺以次商之二尺乘之得七十尺为次商三长亷面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方亷三长亷一小隅面积共得四百七十四尺为亷隅共法以次商之二尺乘之得九百四十八尺书于余积之下相减恰尽是知立方之髙与阔俱一十二尺加纵多五尺得一十七尺即立方之长也如图甲乙丙丁长方体形容积二千四百四十八尺其甲乙髙甲戊阔皆十二尺甲己长十七尺甲已比庚已所多甲庚五尺即纵多之数其从一角所分辛乙癸壬长方体形壬癸与辛乙皆十尺即初商数壬辛十五尺即初商加纵多之数辛乙癸壬长方积一千五百尺即初商自乗又以初商加纵多再乘之数所余子形丑形寅形为三方廉其中寅形为一正方廉每边十尺即初商数子形丑形为二长方廉每阔十尺长十五尺其长比阔多五尺即纵多之数其厚皆二尺即次商数卯形辰形巳形为三长廉其辰形巳形皆长十尺即初商数夘形比辰形巳形皆长五尺即纵多之数其阔与厚皆二尺亦即次商数其巳形一小正方体为隅其长阔与高皆二尺亦即次商数合子丑寅三方廉夘辰巳三长廉巳一小方隅共成一磬折体形附于初商长方体之三面而成甲乙丙丁之总长方体积也三商以后皆仿此递析开之
又法以初商积二千尺商十尺书于原积二千尺之上而以所商十尺为初商之高与阔加纵多五尺得十五尺为初商之长即以初商之高与阔十尺自乘得一百尺又以初商之长十五尺再乘得一千五百尺书于原积之下相减余九百四十八尺为次商积乃以初商之髙与阔十尺自乘得一百尺又以初商之髙与阔十尺与初商之长十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺两数相并得四百尺为次商三方亷面积以除次商积九百四十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上合初商次商共一十二尺为初商次商之髙与阔加纵多五尺得十七尺为初商次商之长乃以初商次商之髙与阔十二尺自乘得一百四十四尺又以初商次
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