而得干坎辰巳之长方体积其午未辰巳之髙阔相乘之面积未减而坎未之长即为勾和矣勾和既为二勾一勾较之共数折半则得一勾半勾较之共数故将所得之干坎辰巳长方体积折半为艮震辰巳长方体积其巳辰髙未辰阔仍皆为勾与巽未等其震未长为勾与半勾较之共数震巽为半勾较即长比髙阔所多之数故以勾较折半用带一纵较数开立方法算之得髙与阔为勾也
设如勾股积六尺勾和八尺求勾股各防何法以勾股积六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以勾和八尺除之得十八尺折半得九尺为扁方体积乃以勾和八尺折半得四尺为扁方体之髙与长阔之和用带两纵相同和数开立方法算之得长与阔三尺为勾于勾和八尺内减勾三尺余五尺为以勾三尺除倍积十二尺得四尺为股也此法有勾股积勾和必得股自乘积以勾和除之始得勾较半之为半勾较今作为带纵立方体算者即如以勾为带纵立方之长与阔半勾较为带纵立方之髙一勾半勾较之共数为带纵立方之髙与长阔之和用带两纵相同和数立方法开之得长与阔即勾也如甲乙丙勾股积倍之成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积自乘得戊己庚辛正方面积即如勾自乘股自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积试将此长方面积变为长方体积其底为勾自乘之数其髙为股自乘之数其勾自乘之底边即勾而股自乘之髙又为勾较与勾和相乘之数是暗中已得股自乘之一数矣其长方体即如寅卯辰巳长方体形然又试作一申甲乙酉自乘之正方内申戊乙丙为勾自乘之正方则戌甲乙酉丙乙磬折形与股自乘之正方等引而长之成戌甲丙亥之长方其戌甲阔即勾较甲乙丙长即勾和今以股自乘之数用勾和除之则得勾较即如寅卯辰巳之长方体积用勾和除之而得干卯辰坎扁方体积其卯午辰未之长阔相乘之面积未减而干卯之髙即为勾较矣折半则得艮卯辰震扁方体积其卯午长午辰阔仍皆为勾而艮卯之髙为半勾较其艮卯与卯午即髙与长阔之和为一勾半勾较之共数而勾和乃二勾一勾较之共数故以勾和折半得一勾半勾较用带两纵相同和数开立方法算之得长与阔为勾也
设如勾股积六尺股较一尺求勾股各防何法以勾股积六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以股较一尺除之仍得一百四十四尺折半得七十二尺为长方体积乃以股较一尺折半得五寸为长方体之长比髙阔所多之较用带一纵较数开立方法算之得髙与阔四尺为股加股较一尺得五尺为以股四尺除倍积十二尺得三尺为勾也此法有勾股积有股较必得勾自乘积以股较除之始得股和而股和为二股一股较之共数将股和半之为一股半股较之共数今作为带纵立方体算者即如以股为带纵立方之髙与阔股与半股较之共数为带纵立方之长半股较为带纵之较用带纵较数立方法开之得髙与阔即股也如甲乙丙勾股积倍之则成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积自乘得戊己庚辛正方面积即如股自乘勾自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积试将此长方面积变为长方体积其底为股自乘之数其长为勾自乘之数其股自乘之底边即股而勾自乘之长又为股较与股和相乘之数是暗中已得勾自乘之一数矣其长方体即如寅卯辰巳之长方体形然又试作一申乙甲酉自乘之正方内申戌丙甲为股自乘之正方则戌乙甲酉甲丙磬折形与勾自乘之正方等引而长之成戌乙丙亥之长方其戌乙阔即股较乙甲丙长即股和今以勾自乘之数用股较除之得股和即如寅卯辰巳之长方体积用股较除之仍得寅卯辰巳之长方体积其午未辰巳髙阔相乘之面积与卯未之长俱未减而卯未之长即命为股和矣股和既为二股一股较之共数折半则得一股半股较之共数故将所得之寅卯辰已长方体积折半为干坎辰已长方体积其未辰阔已辰髙仍皆为股与艮未等其坎未长为股与半股较之共数坎艮为半股较即长比髙阔所多之数故以股较折半用带一纵较数开立方法算之得髙与阔为股也
设如勾股积六尺股和九尺求勾股各几何法以勾股积六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以股和九尺除之得十六尺折半得八尺为扁方体积乃以股和九尺折半得四尺五寸为扁方体之髙与长阔之和用带两纵相同和数开立方法算之得长与阔四尺为股于股和九尺内减股四尺余五尺为以股四尺除倍积十二尺得三尺为勾也此法有勾股积股和必得勾自乘积以股和除之始得股较半之为半股较今作为带纵立方体算者即如以股为带纵立方之长与阔半股较为带纵立方之髙一股半股较之共数为带纵立方之髙与长阔之和用带两纵相同和数立方法开之得长与阔即股也如甲乙丙勾股积倍之成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积自乘得戊己庚辛正方面积即如股自乘勾自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积试将此长方面积变为长方体积其底为股自乘之数其髙为勾自乘之数其股自乘之底边即股而勾自乘之髙又为股和与股较相乘之数是暗中已得勾自乘之一数矣其长方体即如寅卯辰巳长方体形然又试作一申乙甲酉自乘之正方内申戌丙甲为股自乘之正方则戌乙甲酉甲丙磬折形与勾自乘之正方等引而长之成戌乙丙亥之长方其戌乙阔即股较乙甲丙长即股和今以勾自乘之数用股和除之则得股较即如寅夘辰巳之长方体积用股和除之而得干夘辰坎扁方体积其夘午辰未长阔相乘之面积未减而干夘之高即为股较矣折半则得艮夘辰震扁方体积其夘午长午辰阔仍皆为股而艮夘之高为半股较其艮夘与夘午即高与长阔之和为一股半股较之共数而股和乃二股一股较之共数故以股和折半得一股半股较用带两纵相同和数开立方法算之得长与阔为股也
御制数理精蕴下编卷二十四
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷二十五
体部三
各体形总论
直线体
各体形总论
体之为形成于面面之相合为厚角故凡体形皆自厚角所合而生面之所合不能成厚角则体亦不能成形惟浑圆则无角然求积之法亦合众尖体而成浑圆是虽无角而实赖于角也方体有正方斜方尖方方环阳马堑堵之异圆体则有浑圆长圆尖圆之殊至于各等面体惟成于三角四角五角之面而兼尽乎方圆之理函于圆者其角切于球之外面函圆
者【为】球之外面切于各面之中心而各体又有互相容之妙因其各面皆等故其中心至每边之线皆同就其各形而分视之则成各等边面形因其各形而细剖之则成各同底尖体形然求积总以勾股为准则葢体成于面面生于线理固然也有积求边则必
以方圆为比例是以边线等者体积不等如【七】圆球径与各等面体之一边俱设为一○○○则正方体
积为一○○○○○○○○【六】○圆球体积为五二三五九八七七五四面体积为一一七八五一一二九八面体积为四七一四○四五二一十二面体积六三一一八九○三二十面体积为二一八一六九四九六九此各形之体积皆以方积比例者也或以圆球体积设为一○○○○○○○○○则圆球径
得一二四○小余七○○九八如圆 【十】球径与各等面体之一边俱设为一二四○小余七○○九八则【面】圆球体积为一○○○○○○○○○正方体积为一九○九八五九三一七四面体积为二二五○七九○七七八面体积为九○○三一六三一七十二面体积为一四六三五四七九○五一二十面体
积为四一六六七三○四六三此各形之体积 【体】皆以球积比例者也葢因各形之边线相等体积不同
故皆定为体与体之比例也体积等者边线不 【之】等如圆球体积与各等面体积俱设为一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○则
正方体之每边为一○○○○○○ 【每】○○而圆球径为一二四○七○○九八四面体之每边为二○三九六四八九○八面体之每边为一二八四八九八二九十二面体之每边为五○七二二二○七二边为七七一○二五三四此各形之边线皆以方边
比例者也或以圆【算】球径设为一○○○○○○○○则圆球体积为五二三五九八七七五五九八二
九八八七三○七一九二三如 【之】圆球体积与各等面体积俱设为五二三五九八七七五五九八二九
八八七三○七一九二三 【本】则圆球径为一○○○○○○○○正方体之每边为八○五九九五九七四面体之每边为一六四三九四八八一八面体之每边为一○三五六二二八五十二面体之每边为四○八八一八九五二十面体之每边为六二一四
四三三二此各形之边【也】线皆以球径比例者也葢因各形之体积相等边线不同故皆定为线与线之比例也要之边求积者亦皆本于勾股而积求边者一皆归之正方此方所以为立法之原入
直线体
设如正方体每边二尺今将其积倍之问得方边几何
法以每边二尺自乘再乘得八尺倍之得一十六尺开立方得二尺五寸一分有余即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方体每边二尺其体积八尺倍之得一十六尺即如戊己庚辛正方体积每边得二尺五寸一分有余试于戊己庚辛正方体形内作甲乙丙丁正方体形则其外之戊己乙甲壬丁丙庚辛癸磬折体形即与甲乙丙丁正方体积相等也
设如正方体每边二尺今将其积八倍之问得方边几何
法以每边二尺倍之得四尺即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方体每边二尺其体积八尺八倍之得六十四尺即如戊己庚辛正方体积其每边得甲乙丙丁正方形每边之二倍是故不用八倍其积开立方止以毎边二尺倍之而即得也此法葢因两体积之比例比之两界之比例为连比例隔二位相加之比例【见几何原本十巻第四节】故戊己庚辛正方体积六十四尺与甲乙丙丁正方体积之八尺相比为八分之一而戊己庚辛正方边之四尺与甲乙丙丁正方边之二尺之比为二分之一夫六十四与三十二三十二与十六十六与八八与四四与二皆为二分之一之连比例而六十四与八之比其间隔三十二与十六之两位故为连比例隔二位相加之比例也
设如长方体长一尺二寸阔八寸高四寸今将其积倍之仍与原形为同式形问得长阔高各几何法以长一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸开立方得一尺五寸一分一厘有余即所求之长既得长乃以原长一尺二寸为一率原阔八寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率一尺零七厘有余即所求之阔也又以原长一尺二寸为一率原高四寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率五寸零三厘有余即所求之高也或以阔八寸自乘再乘倍之开立方亦得一尺零七厘有余为所求之阔以高四寸自乘再乘倍之开立方亦得五寸零三厘有余为所求之高也如图甲乙丙丁长方体甲乙高四寸丁戊阔八寸甲戊长一尺二寸将其积倍之即如己庚辛壬长方体此两长方体积之比例即同于其相当二界各作两正方体积之比例【见几何原本十巻第五节】故依甲乙丙丁长方体之甲戊长界作甲戊丑子正方体将其积倍之即如己庚辛壬长方体之己癸长界所作之己癸卯寅正方体故开立方得己癸为所求之长也既得己癸之长则以甲戊与丁戊之比即同于己癸与壬癸之比得壬癸为所求之阔又甲戊与甲乙之比同于己癸与己庚之比得己庚为所求之高也若以原阔自乘再乘倍之开立方亦得一尺零七厘有余为今所求之阔原高自乘再乘倍之开立方亦得五寸零三厘有余为今所求之高皆如以其相当二界各作正方体互相为比之理也
设如长方体长一尺二寸阔八寸高四寸今将其积八倍之仍与原形为同式形问得长阔高各几何法以长一尺二寸倍之得二尺四寸即所求之长又以原阔八寸倍之得一尺六寸即所求之阔又以原高四寸倍之得八寸即所求之高也如图甲乙丙丁长方体甲乙高四寸丁戊阔八寸甲戊长一尺二寸将其积八倍之即如巳庚辛壬长方体其每边得甲乙丙丁长方体毎边之二倍是故不用八倍其积开立方止以各边之数倍之而即得也此法盖因两长方体之比例既同于其相当二界各作正方体之比例而两正方体之比例比之二界之比例为连比例隔二位相加之比例故两长方体积之比例较之两体各界之比例亦为连比例隔二位相加之比例也
设如堑堵体形阔五尺长十二尺高七尺问积几何法以阔五尺与长十二尺相乘得六十尺又以
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