长方积开带纵平方得长乃首率与中率之和其内有两中率一末率折半得一中率半末率即甲戊自圜心至边之垂线既得甲戊垂线乃以甲乙半径为甲戊垂线为股求得乙戊勾倍之得乙丙即圜内容五边形之一边也或以乙丁中率为戊丁半末率为勾求得乙戊股倍之亦即圜内容五边形之一边也乙丙弧既为七十二度则乙丙边一十一万七千五百五十七【次以圜内容小余○五】为七十二度之通折半得乙戊五万八千七百七十八【○四五八四小余五二】即乙丁弧三十六度之正也
设如圜径二十万求内容十五边形之一边几何法以半径十万为圜内容五边形之半五万八千七百七十八【五二二九二小余五二】为勾求得股八万零九百零一【五二二九二小
余六九】内 【九四三七五】减半径之半五万余三万【小余六九九四三七五】零九百零一为股三边形之一边一十七万三千二百零五【小余○八○七五六八】内减圜内容五边形之一边一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】余五万五千六百四十八【小余○三○二九八四】折半得二万七千八百二十四【小余○一五一四九二】为勾求得四万一千五百八十二【小余三三八一六三五】即圜内容十五边形之每一边也如甲圜内容十五边形每边之弧得圜周十五分之一皆二十四度试从圜界乙作圜内容三边形又作圜内容五边形将三边形之每一边弧分五段五边形之每一边弧分三即得十五边形之每一边弧如戊庚与己丁二段皆为十五边形之弧故以甲丁半径为丁丙五边之半为勾求得甲丙股内减甲辛自圜心至三角底边之垂线为半径之半余辛丙与癸丁或壬庚等复于三边形之戊己边内减五边形之庚丁边即如戊己线内减壬癸余戊壬与癸己二折半得癸己或戊壬今任以癸丁或壬庚为股癸己或戊壬为勾求得己丁或戊庚即圜内容十五边形之每一边也己丁弧既为二十四度则己丁边四万一千五百八十二【小余三三八一六三五】为二十四度之通折半得己子二万零七百九十一【小余一六九○八一七】即己丑弧十二度之正也
新增按分作相连比例四率法
设如以十万为一率作相连比例四率使一率与四率相加与二率三倍等问二率三率四率各几何法以一率十万自乘再乘得一千兆【成一立方积】为实又以一率十万自乘三因之得三百亿【成三平面积】为法以除原实一千兆得三万乃以三万自乘再乘得二十七兆益于原实一千兆内得一千零二十七兆为共实按除法以所得三万与法三百亿相因得九百兆与共实相减余一百二十七兆为第二位实以法之三百亿除之得四千乃以首位所得三万合次位所得四千共三万四千自乘再乘得三十九兆三千零四十亿仍益于原实一千兆内得一千零三十九兆三千零四十亿为共实按除法减首位所得三万与法三百亿相因之九百兆又减次位所得四千与法三百亿相因之一百二十兆余一十九兆三千零四十亿为第三位实以法之三百亿除之得六百所余太多因益积故取畧大之数为七百合前两位所得三万四千共三万四千七百自乘再乘得四十一兆七千八百一十九亿二千三百万仍益于原实一千兆内得一千零四十一兆七千八百一十九亿二千三百万为共实按除法减首位所得三万与法三百亿相因之九百兆又减次位所得四千与法三百亿相因之一百二十兆又减三位所得七百与法三百亿相因之二十一兆余七千八百一十九亿二千三百万为第四位实以法之三百亿除之得二十合前三位所得三万四千七百共三万四千七百二十自乘再乘得四十一兆八千五百四十二亿一千零四万八千仍益于原实一千兆内得一千零四十一兆八千五百四十二亿一千零四万八千为共实按除法减首位所得三万与法三百亿相因之九百兆又减次位所得四千与法三百亿相因之一百二十兆又减三位所得七百与法三百亿相因之二十一兆又减四位所得二十与法三百亿相因之六千亿余二千五百四十二亿一千零四万八千为末位实以法之三百亿除之得八所余亦太多因益积仍取畧大之数为九合前四位所得三万四千七百二十共三万四千七百二十九自乘再乘得四十一兆八千八百六十七亿六千六百四十万零二千四百八十九仍益于原实一千兆内得一千零四十一兆八千八百六十七亿六千六百四十万二千四百八十九为共实按除法以五次所得之数与法相因之数递减之仍余一百六十七亿六千六百四十万二千四百八十九不尽是共除得三万四千七百二十九为相连比例之二率也以二率之三万四千七百二十九自乘得一十二亿零六百一十万三千四百四十一以一率之十万除之得一万二千零六十一为三率以二率之三万四千七百二十九三倍之得十万四千一百八十七内减去一率之十万余四千一百八十七为四率如以三率之一万二千零六十一自乘以二率之三万四千七百二十九除之亦得四千一百八十七为四率也此为益实归除之法葢因此法止有一率之数作相连比例四率使一率与四率之共数与二率三倍等而连比例四率之理一率自乘用四率再乘与二率自乘再乘之数等今立法以一率自乘再乘为原实较之三倍二率与一率自乘之面积相乘之数却少一二率自乘再乘之数故以累除所得之数屡次自乘再乘益入原实然后按法除之始足二率三倍之数也如图甲乙为一率庚子子辰辰乙皆为二率庚甲为四率庚乙为一率四率之共数又为二率之三倍甲乙丙丁戊己为一率自乘再
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