周三十加六得三十六与外周三十相乘得一千零八十十二除之得九十加中心一得九十一爲圆束之积也葢圆束以六包一其外周所包之数亦必以六递加爲超位平加之数如甲乙丙丁戊己圆束除却中心之一最内一层爲六第二层爲十二第三层爲十八第四层爲二十四第五层爲三十每层皆加六爲超位平加之数引而长之成庚辛壬癸梯形外周三十即梯形之底内周六即梯形之上阔如以首数六与末数三十相加得三十六用层数五乘之折半即得总数【见算法厚本二卷第三十二节】然其层数之五乃系外周三十用六归所得之数今以内周六与外周三十相加即与外周三十相乘是未用六归故将相乘所得之数必以六归又以二归【即析半】始得总数夫先用六归后用二归即与十二归除等【二与六相因得一十二合两次除爲一次除】故以十二归除得总数再加中心一即得圆束之积也又按第一法以外周三十六归之得一面三角尖堆之每一边是圆束之外周爲一面三角尖堆每边之六倍若以外周加六与外周相乘则必得一面三角尖堆积之七十二倍【葢以一面三角尖堆之毎一边加一与每一边之数相乘则得一面三角尖堆积之二倍今以每边之六倍加六与毎边之六倍相乘是边加六倍则积加三十六倍彼既爲一面三角尖堆积之二倍故此即爲七十二倍也】以一面三角尖堆积六倍之加中心一则得圆束积今将七十二倍积以十二除之亦得一面三角尖堆积之六倍故加中心一而得圆束之积也凡圆束皆有中心设此解与前法相通耳
设如圆束积九十一求外周几何
法以圆束积九十一减中心一余九十六归之得一十五倍之得三十【或即以九十三归之所得亦同葢六归二因与三归所得之数同也】爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔五又以六因之得三十即圆束之外周数也如图甲乙丙丁戊己圆束减去中心一以六归之则得甲庚辛一面三角尖堆形故用一面三角尖堆有积求边法求得甲庚一边以六因之而得外周也
又法以圆束积九十一减一余九十以十二乘之得一千零八十爲长方积以六爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔三十即圆束之外周数也此即圆束有外周求积之法而转用之前法以外周加六与外周相乘十二除之再加一而得积此法则将积数减一余用十二乘之以六爲长阔之较用带纵开方得阔而爲外周也
设如堑堵堆底五求积几何
法以底五自乘得二十五爲底面积又以位数五加一得六与底面积二十五相乘得一百五十折半得七十五即堑堵堆之积也如图甲乙丙丁戊堑堵堆即一面直角尖堆累积之体也两直角面相合成长方面形比原位数多一行而两堑堵体相合成长方体形比原位数亦必多一面故以位数加一与底面积相乘所以增其一面之数成长方体形爲堑堵堆之二倍折半而得堑堵堆之积也
设如三角尖堆每边五求积几何
法以每边五加一得六与每边五相乘得三十折半得十五爲底面积再以每边五加二得七与底面积十五相乘得一百零五三归之得三十五即三角尖堆之积也如图甲乙丙丁三角尖堆每面皆一面三角尖堆累积成等边三角体形其每边之数即位数也试按位作防排之第一层爲一第二层爲三第三层爲六第四层爲十第五层爲十五爲每次按位相加之数如以位数加二与末数相乘取其三分之一即得总数【见算法原本二卷第三十四节】今以每边加一与每边之数相乘折半即得底面积再以位数加二爲高与底面积相乘成平行面之三棱体是爲三角尖体之三倍故以三除之而得也然必以位数加二爲高者葢以三三角尖体相凑乃成上下相等之平行面体其高必比原有之位数多二层【两相角面相合比原位数多一行今三三角体相合故必比原位数多二面也】又以一平行面三棱体分爲三三角尖体其二面爲两体所同用今以位数加二爲高与底数相乘所以增其二面之分也
又法以每边五加一得六与每边五相乘得三十爲倍底积再以位数加二得七与倍底积三十相乘得二百一十六归之亦得三十五爲三角尖堆之积也此法与前法同葢以每边加一与每边之数相乘则得底面积之二倍前法以位数加二与底数相乘既爲三角尖堆积之三倍此法以位数加二与倍底积相乘即爲三角尖堆积之六倍矣故以六归之得积也
又法以每边五自乘再乘得一百二十五爲第一数再以每边五自乘得二十五爲第二数又以每边五加一得六与每边五相乘得三十倍之得六十爲第三数三数相加共得二百一十六归之得三十五即三角尖堆之积也此法与第二法同葢以每边自乘再乘爲第一数是未以每边加一相乘亦未以位数加二再乘也因未以每边加一相乘则其所成之正方形必比前所得之长少一层之数故又以每边自乘爲第二数也因未以位数加二再乘则其高必比前所得之高少二层之数故又以每边加一与每边相乘【即如前之倍底积】又倍之爲第三数也三数相加始爲三角尖堆积之六倍故以六归之而得积也
设如三角尖堆积一百二十求每边几何
法以三角尖堆积一百二十六因之得七百二十爲长方体积以一爲长与阔之较以二爲高与阔之较用带两纵不同较数开立方法算之得阔八即三角尖堆之每一边也此法即三角尖堆有边求积之法而转用之葢有边求积则以每边加一与每边相乘又以每边加二再乘得长方体积爲三角尖堆积之六倍是长比阔多一高比阔多二今以三角尖堆积六因之得长方体积故用带两纵不同较数开立方法算之得阔爲每
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