与半径十万相减余三万零九百零一【小余三○○五六二四】即倍弧七十二度之余也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度倍之为甲丁弧七十二度乙己为三十六度之正【小余六九九四三七六】庚乙为三十【葢辛甲与乙己等则戊辛必与戊己等戊己即庚乙也】丁壬为七十二度之正试与乙己平行作辛癸线遂成戊乙己戊辛癸同式两勾股形其戊乙己勾股形之戊乙与乙己勾之比同于戊辛癸勾股形之戊辛与辛癸勾之比为相当比例四率而辛癸与子壬等为丁壬之半【葢辛甲为丁甲之半则辛癸亦为丁壬之半】故倍之得丁壬为甲丁七十二度之正也又如求余其甲辛戊甲癸辛为同式两勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊与甲辛勾之比同于甲癸辛勾股形之甲辛与甲癸勾之比为相连比例三率既得甲癸倍之得甲壬【葢甲丁为甲辛之倍则甲壬亦为甲癸之倍】与甲戊半径相减余壬戊与丁丑等即甲丁七十二度之余也
设如本弧四十五度之正七万零七百一十【小余六七八一一八六】余亦七万零七百一十【小余六七八一一八六】求半弧二十二度三十分之正几何
法以本弧之正七万零七百一十【八十九小余六七八一】为股本弧之余七万零七百一十【一八六小余六七八一】与半径十万相减余二万九千二百八十九【一八六小余三二一八】为勾求得七万六千五百三十六【八一四小余六八六四】折半得三万八千二百六十八【七三○小余三四三二】即半弧二十二度三十分之正也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧四十五度折半为丁乙弧二十二度三十分乙己为四十五度之正戊己与庚乙等为四十五度之余于戊甲半径内减去戊己余己甲为勾乙己为股求得乙甲为四十五度之通折半得乙辛即丁乙二十二度三十分之正也
又捷法以本弧四十五度之余七万零七百一十【三六五小余六七八一】与半【一八六】径十万相减余二万九千二百【小余三二一八几何】折半得一万四千六百四十四【八一四小余六六○九】与半径十万相乘开方得三万八千二百六十八【四○七小余三四三二】即半弧二十二度三十分之正也葢乙己为四十五度之正甲己为四十五度之正矢乙辛辛甲皆二十二度三十分之正如与乙己平行作一辛壬线平分甲己于壬成甲辛戊甲壬辛同式两勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊与甲辛勾之比同于甲壬辛勾股形之甲辛与甲壬勾之比为连比例三率故首率甲戊与末率甲壬相乘【三六五首率甲戊与末率甲壬相乘与中率甲辛自乘之】开方得甲辛为二十二度三十分之正也
新增有本弧之余求倍弧之余及半弧之余
设【积相等】如本弧三十六度之余八万零九【小余六九九四三七五】百零一求倍弧七十二度之余
法以本弧三十六度之余八万零九百零一【小余六九九四三七五】自乘以半径十万除之得六万五千四百五十【小余八四九七一八七】与半径十万相减余三万四千五百四十九【小余一五○二八一三】倍之得六万九千零九十八【小余三○○五六二六】仍与半径十万相减余三万零九百零一【小余六九九四三七四】即倍弧七十二度之余也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度倍之为甲丁弧七十二度丁己为三十六度之正戊己为三十六度之余丁庚为七十二度之正辛丁为七十二度之余与戊庚等试自己至壬作己壬垂线遂成甲己戊己壬戊同式两勾股形其甲己戊勾股形之戊甲与戊己股之比同于己壬戊勾股形之戊己与戊壬股之比为连比例三率故中率戊己自乘以首率戊甲除之得末率戊壬既得戊壬与戊甲半径相减余壬甲倍之得庚甲仍与戊甲半径相减余戊庚与辛丁等即甲丁弧七十二度之余也
设如本弧四十五度之余七万零七百一十【小余六七八一一八六】求半弧二十二度三十分之余几何法以本弧四十五度之余七万零七百一十【小余六七八一一八六】与半径十万相减余二万九千二百八十九【小余三二一八八一四】折半得一万四千六百四十四【小余六六○九四○七】与本弧四十五度之余七万零七百一十【小余六七八一一八六】相加得八万五千三百五十五【小余三三九○五九三】与半径十万相乘开方得九万二千三百八十七【小余九五三二五一一】即半弧二十二度三十分之余也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧四十五度折半为丁乙弧二十二度三十分乙己为四十五度之正戊己与庚乙等为四十五度之余乙辛为二十二度三十分之正戊辛为二十二度三十分之余戊己四十五度之余与戊甲半径相减余己甲折半得己壬再与戊己相加得戊壬试自辛至壬作辛壬垂线遂成甲辛戊辛壬戊同式两勾股形其甲辛戊勾股形之戊甲与戊辛股之比同于辛壬戊勾股形之戊辛与戊壬股之比为连比例三率故首率戊甲与末率戊壬相乘开方得戊辛为二十二度三十分之余也
新增有本弧之正求其三分之一弧之正
设如三十六度之正五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】求其三分之一十二度之正几何法用连比例四率有一率求二率使一率与四率相加与二率三倍等之法以三十六度之正五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】倍之得一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】为七十二度之通乃以半径十万自乘得一百亿用七十二度之通再乘得一千一百七十五兆五千七百零五亿零四百五十八万四千为实又以半径十万自乘三因之得三百亿为法按益实归除之法除实得四万一千五百八十二【小余三三八一六三四】为二十四度之通折半得二万零七百九十一【小余一六九○八一七】即十二度之正也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度甲丁为其正倍之得甲己即甲乙己七十二度弧之通试以七十二度取其三分之一二十四度为甲庚弧其通甲庚与甲戊庚戊两半径成一戊甲庚三角形又庚戊半径截甲己通于辛成一庚甲辛三角形又依庚辛度向辛甲边作庚壬线成一庚辛壬三角形此两三角形俱与戊甲庚三角形为同式形其相当各边俱成相连比例故戊甲为一率甲庚为二率庚辛为三率辛壬为四率也今甲己七十二度之通内有甲庚二率之三倍而少一辛壬四率【葢己癸癸壬辛甲三段皆与甲庚二率等而癸壬辛甲二段内却重辛壬一小段是甲己通内有己癸癸壬辛甲三二率而少一辛壬四率也】若以甲己通为髙与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体则比三倍二率为高与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体必少一四率为高与一率半径自乘之方面相乘所成之扁方体此扁方体与二率自乘再乘之正方体等故以一率半径自乘之三方面为法除实每次所得二率之数自乘再乘益入原积则积渐增与三倍二率与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体合而除得之数即为二率既得甲庚二率为二十四度之通半之得甲子即甲丑弧十二度之正也
二简法【以两四率相有两弧之正余求两弧相加相减之正有距六十度前后相等弧之正求】
设如四十五度之正七万零七百一十【距弧之正小余六七】余亦七万零七百一十【八一一八六小余六七】又有二十四度之正四万零六百七十三【八一一八六小余六六】余九万一千三百五十四【四三○七五小余五四】求两弧相加六十九度之正及两弧相减二十一度之正各几何
法以半径十万为一率四十五度之正七万零七百一十【五七六四二小余六七】为二率二十四度之余九万一千三百五十四【八一一八六小余五四】为三率求得四率六万四千五百九十七【五七六四二小余四一】又以半径十万为一率四十五度之余七万零七百一十【八八○二○小余六七】为二率二十四度之正四万零六百七十三【八一
一八六小余六六】【四三○七五】为三率求得四率二万八【小余六二三八四七六】千七百六十乃加得九万三千三百五十八【小余○四二六四九六】即两弧相加所得六十九度之正如以两四率相减余三万五千八百三十六【小余七九四九五四五】即两弧相减所余二十一度之正也如甲乙丙丁九十度之一象限其乙甲弧四十五度乙己为四十五度之正己戊为四十五度之余于乙甲弧四十五度加丙乙弧二十四度得丙甲弧六十九度又于乙甲弧四十五度减乙子弧二十四度余子甲弧二十一度试自丙至子作丙子线则丙乙弧乙子弧皆为二十四度丙庚与庚子皆为二十四度之正庚戊则为二十四度之余今以乙戊半径为一率乙己四十五度之正为二率庚戊二十四度之余为三率求得四率庚辛与壬癸等又以乙戊半径为一率己戊四十五度之余为二率丙庚二十四度之正为三率求得四率丙壬故以丙壬加于庚辛【庚辛原与壬癸等】共得丙癸即丙甲弧六十九度之正如于庚辛内减与丙壬相等之庚夘余夘辛与子丑等即子甲弧二十一度之正也葢乙己戊与庚辛戊为同式勾股形故乙戊与乙己之比同于庚戊与庚辛之比为相当比例四率又寅癸戊与乙己戊亦为同式勾股形而寅癸戊勾股形之寅角与丙庚寅勾股形之寅角为两尖相对角其度等癸角与庚角俱为直角其度又等则戊角必与丙角等如作庚壬线成丙壬庚勾股形则此形之丙角既与乙己戊勾股形之戊角等而壬角又为直角与乙己戊勾股形之己角等故亦为同式勾股形而乙戊与己戊之比同于丙庚与丙壬之比为相当比例四率也
设如八十四度之弧距六十度二十四度其正九万九千四百五十二【相加得九万小余一八】又有三十六度之弧距六十度亦二十四度其正五万八千七百七十八【九五三六八小余五二】求距弧二十四度之正几何
法以八十四度之正九万九千四百五十二【五二二九二小余一八】内减三十六度之正五万八千七百七十八【九五三六八小余五二】余四万零六百七十三【五二二九二小余六六】即距弧二十四度之正也如有距六十度前二十四度为三十六度其正五万八千七百七十八【四三○七六小余五二】距弧二十四度之正四万零六百七十三【五二二九二小余六六】求距六十度后二十四度为八十四度之正则以三十六度之正五万八千七百七十八【四三○七六小
余五二】与距弧 【五二二九二】二十四度之正四万零【小余六六四三○七六】六百七十三九千四百五十二【小余一八九五三六八】即八十四度之正也又如有距六十度后二十四度为八十四度其正九万九千四百五十二【小余一八九五三六八】距弧二十四度之正四万零六百七十三【小余六六四三○七六】求距六十度前二十四度为三十六度之正则以八十四度之正九万九千四百五十二【小余一八九五三六八】与距弧二十四度之正四万零六百七十三【小余六六四三○七六】相减余五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】即三十六度之正也如甲乙丙丁九十度之一象限其己甲弧六十度丙甲弧八十四度丙距己二十四度乙甲弧三十六度乙距己亦二十四度丙庚为八十四度之正乙辛为三十六度之正与壬庚等丙壬为两正之较试自巳至象限中心戊作己戊线又自丙至乙作丙乙线则丙癸癸乙皆为距弧二十四度之正与丙壬两正之较相等葢己戊甲角六十度则己戊丁角为三十度丙庚与丁戊平行则丙子己角与丁戊己角为二平行线上所成之内外角必相等皆为三十度丙癸子角为直角则子丙癸角必为六十度矣又自乙至子作乙子线则乙癸子与丙癸子为同形勾股形癸乙子角亦必为六十度癸子乙角亦必为三十度两勾股形合之共成一丙乙子三角形而丙子乙角亦必为六十度矣三角度既等则三边必相等今丙壬为丙子之半丙癸为丙乙之半丙子既与丙乙等故丙壬亦必与丙癸等也有此法凡有六十度以前各弧之正则以各距弧之正与之相加可得六十度以后三十度各弧之正若有六十度以后各弧之正则以各距弧之正与之相减可得六十度以前三十度各弧之正六十度前后三十度之正用加减而即得较之勾股比例诸法甚为简便也
八线相求
设如四十八度之正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】求正矢正切正割各几何
法以半径十万内减四十八度之余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】余三万三千零八十六【小余九三九三六四二】为正矢以余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】为一率正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】为二率半径十万为三率求得四率一十一万一千零六十一【小余二五一四八三○】为正切以余六万六千九百一十三【
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