即多二根之数所得多二即多二眞数之数葢六百一十二以三十六除之得十七即九多六又多二
也设如有四立方多八平方多七根多二眞数以二平方多三根多二眞数除之问得几何法以二平方多三根多二眞数除四立方多八平方多七根得二根以二根乘多二眞数得多四根以二根乘多三根得多六平方以二根乘二平方得四立方与实相减余多二平方多三根多二眞数复以二平方多三根多二眞数除二平方多三根多二眞数得多一眞数以多一眞数乘多二眞数得多二眞数以多一眞数乘多三根得多三根以多一眞数乘二平方得多二平方与实相减恰尽无余是爲二根多一眞数即所求之数也此法葢因平方多根多眞数除立方多平方多根多眞数故以平方除立方得根以平方除多平方得多眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又因实数皆爲多故得数亦皆爲多也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七实数四立方得一百零八多八平方得多七十二多七根得多二十一多二眞数即多二是爲一百零八多七十二又多二十一又多二共爲二百零三法数二平方得十八多三根得多九多二眞数即多二是爲十八多九又多二共爲二十九除之所得之六即二根之数所得多一即多一眞数葢二百零三以二十九除之得七即六多一也
设如有六平方少一根少十五眞数以三根少五眞数除之问得几何
法以三根少五眞数除六平方少一根得二根以二根乘少五眞数得少十根以二根乘三根得六平方与实相减平方恰尽根之减数大于原数转减之余多九根少十五眞数复以三根少五眞数除多九根少十五眞数得多三眞数【减余之九根爲多故除得之三眞数亦爲多也】以多三眞数与少五眞数相乘得少十五眞数以多三眞数与三根相乘得多九根与实相减恰尽无余是爲二根多三眞数即所求之数也此法葢因根少眞数除平方少根少眞数故以根除平方得根以根除多根【根原爲少而减余数变爲多】得多眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又因实数原爲少而次位余实之数变爲多故定得数次位爲多也如以数明之以根爲五则一平方爲二十五实数六平方得一百五十少一根得少五少十五真数即少十五是爲一百五十少五又少十五共爲一百三十法数三根得十五少五眞数即少五是爲十五少五共爲一十除之所得之一十即二根之数所得之多三即多三眞数之数葢一百三十以十除之得十三即十多三也
设如有九立方少十二平方少五根多六眞数以三平方少二根少三眞数除之问得几何
法以三平方少二根少三眞数除九立方少十二平方少五根得三根以三根乘少三眞数得少九根以三根乘少二根得少六平方以三根乘三平方得九立方与实相减立方恰尽原少十二平方减少六平方余少六平方原少五根不能减九根转减之余多四根又多六眞数复以三平方少二根少三眞数除少六平方多四根多六眞数得少二眞数以少二眞数乘少三眞数得多六眞数以少二眞数乘少二根得多四根以少二眞数乘三平方得少六平方与实相减恰尽无余是爲三根少二眞数即所求之数也此法葢因平方少根少眞数除立方少平方少根与多眞数故以平方除立方得根以平方除少平方得少眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又实数之号虽有少有多不同而次位余实之首数爲少故定得数次位爲少也如以数明之以根爲七则一平方爲四十九一立方爲三百四十三实数九立方得三千零八十七少十二平方得少五百八十八少五根得少三十五多六眞数即多六是爲三千零八十七少五百八十八又少三十五仍多六共爲二千四百七十法数三平方得一百四十七少二根得少十四少三眞数即少三是爲一百四十七少十四又少三共爲一百三十除之所得之二十一即三根之数所得之少二即少二眞数之数葢二千四百七十以一百三十除之得十九即二十一少二也
设如有八立方多八平方多二根少四眞数以二平方多三根多二眞数除之问得几何
法以二平方多三根多二眞数除八立方多八平方多二根得四根以四根乘多二眞数得多八根以四根乘多三根得多十二平方以四根乘二平方得八立方与实相减立方恰尽平方与根之减数俱大于原数故皆转减之余少四平方少六根又少四眞数复以二平方多三根多二眞数除少四平方少六根少四眞数得少二眞数以少二眞数乘多二眞数得少四眞数以少二眞数乘多三根得少六根以少二眞数乘二平方得少四平方与实相减恰尽无余是爲四根少二眞数即所求之数也此法葢因平方多根多眞数除立方多平方多根与少眞数故以平方除立方得根以平方除少平方【平方原爲多而减余数变爲少】得少眞数且眞数之位下对实中根位故定得数首位爲根又实数之号虽有多有少不同而次位余实皆变爲少故定得数次位爲少也如以数明之以根爲三则一平方爲九一立方爲二十七实数八立方得二百一十六多八平方得多七十二多二根得多六少四眞数即少四是二百一十六多七十二又多六仍少四共爲二百九十法数二平方得十八多三根得多九多二眞数即多二是十八多九又多二共爲二十九除之所得十二即四根之数所得少二即少二眞数之数葢二百九十以二十九除之得十即十二少二也
设如有四三乘方少二立方少四平方多五根少二眞数以二平方少二根多一眞数除之问得几何法以二平方少二根多一眞数除四三乘方少二立方少四平方得二平方以二平方乘多一眞数得多二平方以二平方乘少二根得少四立方以二平方乘二平方得四三乘方与实相减三乘方恰尽原少二立方不能减少四立方转减之余多二立方原少四平方减多二平方故相加爲少六平方仍多五根复以二平方少二根多一眞数除多二立方少六平方多五根得多一根以多一根乘多一眞数得多一根以多一根乘少二根得少二平方以多一根乘二平方得多二立方与实相减立方恰尽原少六平方减少二平方余少四平方原多五根减多一根余多四根仍少二眞数又以二平方少二根多一眞数除少四平方多四根少二眞数得少二眞数以少二眞数乘多一眞数得少二眞数以少二眞数乘少二根得多四根以少二眞数乘二平方得少四平方与实相减恰尽无余是爲二平方多一根少二眞数即所求之数也此法葢因平方少根多眞数除三乘方少立方又少平方仍多根与少眞数故以平方除三乘方得平方以平方除多立方【立方原爲少而减余数变爲多】得多根以平方除少平方得少眞数且眞数之位下对实中平方之位故定得数首位爲平方又实数之号虽有多有少不同而次位余实之首数变爲多三位余实之首数仍爲少故定得数之次位爲多三位爲少也如以数明之以根爲六则一平方爲三十六一立方爲二百一十六一三乘方爲一千二百九十六实数四三乘方得五千一百八十四少二立方得少四百三十二少四平方得少一百四十四多五根得多三十少二眞数即少二是五千一百八十四少四百三十二又少一百四十四仍多三十复少二共爲四千六百三十六法数二平方得七十二少二根得少十二多一眞数即多一是七十二少十二又多一共爲六十一除之所得七十二即二平方之数所得多六即多一根之数所得少二即少二眞数之数葢四千六百三十六以六十一除之得七十六即七十二多六少二也
御制数理精蕴下编卷三十一
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十二
末部二
借根方比例【开诸乘方法 诸乘方表】
开诸乘方法
借根方比例法中开各乘方爲最要其算线部借根算面部借平方算体部借立方以及多乘方虽各按其类然有法属线类而仍须诸乘方算者故诸乘方之法宜审也葢诸乘方之形体不同开法之难易迥别总以廉法之多少而分平方之廉最少故最易立方之廉较多故较难自三乘以至多乘其廉愈多则其法愈难今自平方以至九乘方俱専立一法在平方立方所省不多而三乘方以后则甚爲简捷至于诸乘方中亦有可以用平方立方之法代开者如三乘方与平方自乘之数等故可以平方两次开之五乘方与平方自乘再乘之数等亦与立方自乘之数等故可以平方开之继以立方开之七乘方与平方两次自乘之数等故可以平方三次开之八乘方与立方自乘再乘之数等故可以立方两次开之九乘方与四乘方自乘之数等故可以平方开之继以四乘方开之惟四乘方及六乘方与平方立方之数皆不相合故不可以平方立方之法代开也又诸乘方次商之数最难定今自立方至九乘方俱爲立根数两位之表若根数两位者以积数捡表即得更爲便捷至于十乘方以后并可以此法御之但其数繁衍而无所用兹故不载焉
平方
设如有平方积一万五千一百二十九尺开平方问每一根之数几何
法列方积一万五千一百二十九尺自末位起算每方积二位定方根一位故隔一位作记乃于九尺上定单位一百尺上定十位一万尺上定百位其一万尺爲初商积与一百自乘之数相合即定初商爲一百尺书于方积一万尺之上而以初商一百尺自乘之一万尺书于初商积之下相减恰尽爰以方根第二位积五千一百尺续书于后爲次商廉隅之共积而以初商之一百尺倍之得二百尺爲次商廉法以除次商积足二十倍即定次商爲二十尺书于方积一百尺之上合初商共一百二十尺自乘得一万四千四百尺与原积相减余七百尺爰以方根第三位积二十九尺续书于后共七百二十九尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之一百二十尺倍之得二百四十尺爲三商廉法以除三商积足三倍即定三商爲三尺书于方积九尺之上合初商次商共一百二十三尺自乘得一万五千一百二十九尺与原积相减恰尽是开得一百二十三尺爲平方每一根之数也此法止用廉法除余积得次商即并初商数自乘得数复与原积相减与常法不同然自三乘方以至多乘方则廉法条例甚繁难于布算用此法甚爲省便在平方立方不觉其省【平方止省小隅一层立方止省长廉小隅二层】而在多乘方所省实多葢各设一例以备体也
立方
设如有立方积四千一百零六万三千六百二十五尺开立方问每一根之数几何
法列方积四千一百零六万三千六百二十五尺自末位起算每方积三位定方根一位故隔二位作记乃于五尺上定单位三千尺上定十位一百万尺上定百位其四千一百万尺爲初商积与三百自乘再乘之数相准即定初商爲三百尺书于方积一百万尺之上而以三百尺自乘再乘之二千七百万尺书于初商积之下相减余一千四百万尺爰以方根第二位余积六万三千尺续书于后共一千四百零六万三千尺爲次商廉隅之共积而以初商之三百尺自乘得九万尺三因之得二十七万尺爲次商廉法以除次商积足四十倍即定次商爲四十尺书于方积三千尺之上合初商共三百四十尺自乘再乘得三千九百三十万四千尺与原积相减余一百七十五万九千尺爰以方边第三位余积六百二十五尺续书于后共一百七十五万九千六百二十五尺爲三商廉隅之共积而以初商次商之三百四十尺自乘得一十一万五千六百尺三因之得三十四万六千八百尺爲三商廉法以除三商积足五倍即定三商爲五尺书于方积五尺之上合初商次商共三百四十五尺自乘再乘得四千一百零六万三千六百二十五尺与原积相减恰尽是开得三百四十五尺爲立方每一根之数也
又用表开法列积四千一百零六万三千六百二十五尺自末位起算隔二位作记定位同前乃截方根第二位以前积四一○六三爲初商次商之积于表中取比此数相近略小之数爲三九三○四【即初商次商自乘再乘之数】其所对初商根爲三次商根爲四即将三四书于初商次商之位而以三九三○四书于初商次商积之下相减余一七五九乃以三九三○四格内三商廉法三四六除余积一七五九足五倍即定三商爲五书于三商之位合初商次商共三百四十五自乘再乘得四千一百零六万三千六百二十五尺与原积相减恰尽即定立方根爲三百四十五尺也
三乘方
设如有三乘方积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺开三乘方问每一根之数几何
法列方积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺自末位起算每方积四位定方根一位故隔三位作记乃于一尺上定单位七万尺上定十位三亿尺上定百位其一千零三十三亿尺爲初商积与五百乘三次之数相准即定初商爲五百尺书于方积三亿尺之上而以五百尺乘三次之六百二十五亿尺书于初商积之下相减余四百零八亿尺爰以方根第二位积五千五百一十七万尺续书于后共四百零八亿五千五百一十七万尺爲次商廉隅之共积而以初商之五百尺乘二次得一亿二千五百万尺四因之得五亿尺爲次商廉法以除次商积足八十倍因定次商爲八十尺合初商共五百八十尺乘三次得一千一百三十一亿六千四百九十六万尺大于原积是次商不可商八也乃改商七爲七十尺合初商共五百七十尺乘三次得一千零五十五亿六千零一万尺仍大于原积是次商不可商七也又改商六爲六十
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