方积余一千九百六十八万五千三百七十六尺与原积相合是开得二十四尺爲每一根之数也葢立方少四乘方之数亦不与平方立方之数相合故不能以平方立方之法开也
设如有一五乘方多四立方与一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺相等问每一根之数几何
法列原积一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺按五乘方法作记于六尺上定单位三百万尺上定十位其一亿一千三百万尺爲初商积与二十乘五次之数相准即定初商爲二十尺书于原积三百万尺之上而以初商二十尺乘五次之六千四百万尺爲一五乘方积又以初商二十尺自乘再乘之八千尺四因之得三万二千尺爲多四立方之共积与五乘方积相加得六千四百零三万二千尺书于原积之下相减余四千九百三十九万零四百九十六尺爲次商积而以初商之二十尺乘四次六因之得一千九百二十万尺爲一五乘方廉又以初商之二十尺自乘二因之得一千二百尺又四因之得四千八百尺爲四立方之廉与五乘方廉相加得一千九百二十万零四千八百尺爲次商廉法以除次商积足二倍即定次商爲二尺书于原积六尺之上合初商共二十二尺乘五次得一亿一千三百三十七万九千九百零四尺爲一五乘方积又以二十二尺自乘再乘之一万零六百四十八尺四因之得四万二千五百九十二尺爲多四立方之共积与五乘方积相加得一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺书于原积之下相减恰尽是开得二十二尺爲每一根之数也
又法用带纵平方及立方开之将原积一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺爲长方积以多四立方作四尺爲纵多折半得二尺自乘得四尺与积相加得一亿一千三百四十二万二千五百尺开平方得一万零六百五十尺爲半和内减半较二尺【因立方爲多号故减半较若立方爲少号即加半较】得一万零六百四十八尺爲立方积开立方得二十二尺即每一根之数也葢五乘方多立方与方根自乘再乘爲阔加多立方数爲长所作之长方积等故用带纵较数开平方法开之得数复开立方即得每一根之数也
设如有一万立方少一五乘方与一千一百五十三万八千四百三十九尺相等问每一根之数几何法以一万立方少一五乘方与一千一百五十三万八千四百三十九尺俱以一万除之得一立方少一万分五乘方之一与一千一百五十三尺八百四十三寸九百分相等乃列一千一百五十三尺八百四十三寸九百分爲归除所得之积按立方法作记于三尺上定单位一千尺上定十位其一千尺爲初商积与十尺自乘再乘之数相合即定初商爲十尺书于所得积一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方积又以初商十尺乘五次得一百万尺爲一五乘方积以一万除之得一百尺爲一万分五乘方之一之积与立方积相减余九百尺书于所得积之下相减余二百五十三尺八百四十三寸九百分爲次商积而以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉又以初商之十尺乘四次六因之得六十万尺爲一五乘方廉以一万除之得六十尺爲一万分五乘方之一之廉与立方廉相减余二百四十尺爲次商廉法以除次商积足一倍即定次商爲一尺书于所得积三尺之上合初商共十一尺自乘再乘得一千三百三十一尺爲一立方积又以十一尺乘五次得一百七十七万一千五百六十一尺爲一五乘方积以一万除之得一百七十七尺一百五十六寸一百分爲一万分五乘方之一之积与立方积相减余一千一百五十三尺八百四十三寸九百分书于所得积之下相减恰尽乃以一立方积与一万相乘得一千三百三十一万尺爲一万立方积内减去一五乘方积余一千一百五十三万八千四百三十九尺与原积相合是开得一十一尺爲每一根之数也
又法用带纵平方及立方开之将原积一千一百五十三万八千四百三十九尺爲长方积以一万立方作一万尺爲和折半得五千尺爲半和自乘得二千五百万尺与积相减余一千三百四十六万一千五百六十一尺开平方得三千六百六十九尺爲半较与半和相减余一千三百三十一尺爲立方积开立方得一十一尺即每一根之数也葢立方少五乘方与方根自乘再乘爲阔与立方数相减爲长所作之长方积等故用带纵和数开平方法开之得数复开立方即得每一根之数也
御制数理精蕴下编卷三十三
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十四
末部四
借根方比例【线类】
线类
设如有一竹竿长一丈欲分为大小两分大分比小分多四尺问大小分各几何
法借一根为小分则大分即为一根多四尺两数相加得二根多四尺与一丈相等二根既多四尺乃减去所多四尺余二根又于一丈内亦减去四尺余六尺是为二根与六尺相等二根既与六尺相等则一根必与三尺相等前既借一根为小分则三尺即小分再加四尺得七尺即大分也【此减法也于一丈内减去大分所多之四尺余六尺折半得三尺即小分之数此法甚易盖因借根比例之首先设此以明其理使人由浅以入深也】
设如有银三百四十三两分给众匠其为首一人所得之银与众匠人数相等众匠每人得银六两问共人数几何
法借一根为为首一人所得之银数亦即为众匠之人数以众匠之人数一根与六两相乗得六根为众匠之银数相加得七根与三百四十三两相等七根既与三百四十三两相等则一根必与四十九两相等即为首一人所得之银数亦即众匠之人数以四十九人与
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