六两相乗得二百九十四两即众匠所得共银数再加为首一人所得银数四十九两得三百四十三两以合原数也【此归除法也以每匠得银六两加一两得七两以除共银三百四十三两即得四十九两为为首一人所得银数亦即众匠之人数葢为首一人之银既与众匠人数等若以为首一人之银分给众匠每人必多得一两故于每人之银数外加一两以除共银即得也】
设如有绳二条不言丈数但知其长短之比例同于九与五其相差之较与短绳除长绳所得之数相等问二绳各长若干
法借九根为长绳之数五根为短绳之数两数相减余四根以五根除九根得一八即一丈八尺是为四根与一丈八尺相等四根既与一丈八尺相等则一根必与四尺五寸相等九因之得四丈零五寸即长绳数五因之得二丈二尺五寸即短绳数以二丈二尺五寸与四丈零五寸相减余一丈八尺以二丈二尺五寸除四丈零五寸亦得一丈八尺也【此归除法】
设如甲乙丙三人有银不言数但知甲乙共银九十两乙丙共银四十五两甲丙共银七十三两问三人各银几何
法借一根为三人之总银数以甲乙共银九十两计之则丙为一根少九十两以乙丙共银四十五两计之则甲为一根少四十五两以甲丙共银七十三两计之则乙为一根少七十三两三数相加得三根少二百零八两而与所借之一根相等三根少二百零八两与一根各加二百零八两得三根与一根多二百零八两相等【三根少二百零八两内加二百零八两则补足三根整数一根上再加二百零八两则为一根多二百零八两矣】三根与一根再各减一根则余二根与二百零八两相等二根既与二百零八两相等则一根必与一百零四两相等即三人之总银数总银一百零四两内减甲乙共银九十两余一十四两为丙银数减乙丙共银四十五两余五十九两为甲银数减甲丙共银七十三两余三十一两为乙银数也【此加减法也如以三数相加得二百零八两折半得一百零四两即总银数总银数内减甲乙共银数余为丙银数总银数内减甲丙共银数余为乙银数总银数内减乙丙共银数余为甲银数也】
设如甲乙丙三人有银不言数但知甲乙共银数比丙银多六十八两乙丙共银数比甲银多一百两丙甲共银数比乙银多一百二十四两问三人各银几何
法借二根为三人之总银数以甲乙共银数比丙银多六十八两计之则甲乙共银为一根多三十四两丙银为一根少三十四两【二根既为三人之总银数平分之则甲乙应得一根丙应得一根甲乙共银比丙所多六十八两平分之则甲乙应得三十四两丙应得三十四两甲乙所得为多丙所得为少故甲乙为一根多三十四两丙为一根少三十四两共相差为六十八两下仿此】以乙丙共银数比甲银多一百两计之则乙丙共银为一根多五十两甲银为一根少五十两以丙甲共银数比乙银多一百二十四两计之则丙甲共银为一根多六十二两乙银为一根少六十二两乃以丙银一根少三十四两甲银一根少五十两乙银一根少六十二两三数相加得三根少一百四十六两而与所借之二根相等三根少一百四十六两与二根各加一百四十六两得三根与二根多一百四十六两相等三根与二根再各减二根则余一根与一百四十六两相等一根既与一百四十六两相等则二根必与二百九十二两相等即三人之总银数前既以丙银为一根少三十四两乃于一百四十六两内减三十四两余一百一十二两即丙银数甲为一根少五十两乃于一百四十六两内减五十两余九十六两即甲银数乙为一根少六十二两乃于一百四十六两内减六十二两余八十四两即乙银数也【此加减法也如以甲乙比丙所多之六十八两与乙丙比甲所多之一百两相加得一百六十八两折半得八十四两即乙银数又以乙丙比甲所多之一百两与甲丙比乙所多之一百二十四两相加得二百二十四两折半得一百一十二两即丙银数再以乙丙数相加得一百九十六两内减去乙丙比甲所多之一百两余九十六两即甲银数也】
设如有银分赏众人不言银数亦不言人数但知第一人得银一两又得余银之十分之一第二人得银二两又得余银之十分之一第三人得银三两又得余银之十分之一以下分赏之数皆准此例所得之银皆相等问人数及银数各几何
法借一根为第一人所得余银之数则一两多一根为第一人所得总银数又第一人得余银十分之一则余银必为十根减去一根仍余九根再于九根内减去第二人所得之二两为九根少二两以九根少二两取其十分之一得十分根之九少二钱与第二人之二两相加得二两【作二十钱】多十分根之九少二钱为与第一人所得之一两【作一十钱】多一根相等一两多一根与二两多十分根之九少二钱各加二钱得一两二钱多一根与二两多十分根之九相等多一根与多十分根之九各减十分根之九余一两二钱多十分根之一与二两相等一两二钱与二两又各减一两二钱则余十分根之一与八钱相等十分根之一既与八钱相等则一根必与八两相等即第一人所得余银之数乃以十因之得八十两又加第一人所得之一两共八十一两即原共银数第一人得一两又加余银八十两之十分之一八两共为九两第二人得二两又加余银七十两之十分之一七两亦共为九两第三人得三两又加余银六十两之十分之一六两亦共为九两第四人得银四两又加余银五十两之十分之一五两亦共为九两第五人得银五两又加余银四十两之十分之一四两亦共为九两第六人得银六两又加余银三十两之十分之一三两亦共为九两第七人得银七两又加余银二十两之十分之一二两亦共为九两第八人得银八两又加余银十两之十分之一一两亦共为九两第九人得银九两银尽无余是共九人每人得银九两皆相等也【此加减法也以分母十与分子一相减余九即人数以人数九自乗得八十一即总银数也葢惟人数与每人所得银数相等者每人递加一两又各加余银十分之一所得始能相等故以人数自乗即得银数也】
设如有人行路共二千八百里步行则日行七十里坐船则日行九十里乗马则日行一百里但知步行之日数倍于坐船坐船之日数倍于乗马问步行及坐船乗马之日数各若干
法借一根为乗马之日数则坐船之日数为二根步行之日数为四根以一根与一百里相乗得一百根为乗马所行之里数以二根与九十里相乗得一百八十根为坐船所行之里数以四根与七十里相乗得二百八十根为步行所行之里数三数相加得五百六十根是为五百六十根与二千八百里相等五百六十根既与二千八百里相等则一百根必与五百里相等前既以一百根为乗马所行之里数则与一百根相等之五百里即乗马所行之里数以乗马每日行一百里除之得五日与一根相等即乗马所行之日数倍之得十日即坐船所行之日数以坐船每日行九十里乗之得九百里为坐船所行之里数再以坐船所行之十日倍之得二十日即步行之日数以步行每日行七十里乗之得一千四百里为步行之里数以乗马所行之五百里与坐船所行之九百里及步行之一千四百里相并共得二千八百里以合原数也【此递加比例法用借衰互征法算之亦可】
设如一驴一马一车共驮载一千五百二十斤马所驮之数倍于驴仍多四十斤车所载之数倍于马驴共驮之数却少四十斤问驴马车各驮载几何法借一根为驴所驮之数则马为二根多四十斤车为六根多四十斤【驴马数相并得三根多四十斤倍之为六根多八十斤内减去少四十斤则为六根多四十斤】三数相加得九根多八十斤是为九根多八十斤与一千五百二十斤相等多八十斤与一千五百二十斤各减去八十斤则余九根与一千四百四十斤相等九根既与一千四百四十斤相等则一根必与一百六十斤相等即驴所驮之数倍之得三百二十斤再加四十斤得三百六十斤为马所驮之数将马驴所驮之数相加得五百二十斤倍之得一千零四十斤再减去四十斤得一千斤即车所载之数驴驮一百六十斤马驮三百六十斤车载一千斤三数相加共一千五百二十斤以合原数也【此按数加减比例法用借衰互征法算之亦可】
设如有银三百八十五两令十一人挨次递加三两分之问每人各得若干
法借一根为第一人所得银数以十一乗之得十一根又以第一人至第十一人递加三两计之共得多一百六十五两是为十一根多一百六十五两与三百八十五两相等十一根多一百六十五两与三百八十五两各减一百六十五两则余十一根与二百二十两相等十一根既与二百二十两相等则一根必与二十两相等即第一人所得银数递加三两则知第二人得二十三两第三人得二十六两第四人得二十九两第五人得三十二两第六人得三十五两第七人得三十八两第八人得四十一两第九人得四十四两第十人得四十七两第十一人得五十两各数相加共得三百八十五两以合原数也【此按数加减比例法】
设如有银四百七十四两令十二人挨次递加分之但知第一人得银一十二两问每人各得若干法借一根为每人递加之数以第一人至第十二人递加一根计之则得六十六根再以十二两与十二人相乗得一百四十四两是为六十六根多一百四十四两与四百七十四两相等六十六根多一百四十四两与四百七十四两各减去一百四十四两则余六十六根与三百三十两相等六十六根既与三百三十两相等则一根必与五两相等即每人递加之数以第一人所得十二两加五两即第二人所得十七两依此递加则知第三人得二十二两第四人得二十七两第五人得三十二两第六人得三十七两第七人得四十二两第八人得四十七两第九人得五十二两第十人得五十七两第十一人得六十二两第十二人得六十七两各数相加共得四百七十四两以合原数也【此按数加减比例法】
设如一人借银营利三次每次得利之后则还银二百四十两复以余银作本其每次所得利银皆与每次本银相等至第三次还银后则银尽无余问原借银若干
法借一根为原借本银数则第一次利银亦为一根是本利共二根除还银二百四十两则初次余银即为二根少二百四十两再以二根少二百四十两为第二次本银数加第二次利银则为四根少四百八十两除还银二百四十两则第二次余银即为四根少七百二十两再以四根少七百二十两为第三次本银数加第三次利银则为八根少一千四百四十两除还银二百四十两则第三次余银当为八根少一千六百八十两八根少一千六百八十两而银尽无余即八根与一千六百八十两相等也八根既与一千六百八十两相等则一根必与二百一十两相等即原借本银之数因每次所得利银皆与本银相等故以原借本银之数倍之得四百二十两除还二百四十两余一百八十两为第二次本银之数又倍之得三百六十两又除还二百四十两余一百二十两为第三次本银之数又倍之得二百四十两再还二百四十两则银恰尽无余也【此按分递折比例法用叠借互征法算之亦可】
设如甲乙丙三人各作一器则甲六日可完乙八日可完丙二十四日可完今命三人同作问得日几何
法借一千一百五十二根【三分母连乗之数】为三人同作完之日数以甲六日计之则甲每日得一百九十二根以乙八日计之则乙每日得一百四十四根以丙二十四日计之则丙每日得四十八根三数相加共得三百八十四根与一日相等三百八十四根既与一日相等则一千一百五十二根必与三日相等即三人同作完之日数也【此和数比例法】
设如甲丙二商不言本银若干但知甲之本银四倍于丙而甲本银内减去七十二两则两人之银适等问二人本银各几何
法借一根为丙本银数则甲本银为四根以甲本银减七十二两与丙银相等计之则于甲本银四根内减七十二两是为甲四根少七十二两与丙一根相等四根少七十二两与一根各加七十二两得四根与一根多七十二两相等四根与一根各减去一根则余三根与七十二两相等三根既与七十二两相等则一根必与二十四两相等即丙本银数再加七十二两得九十六两即甲本银数也【此较数比例法】
设如甲乙二人分银其数相等甲用过一百两乙用过三十两则乙之余银三倍于甲问二人原各分银几何
法借一根为原分银之数则甲之余银为一根少一百两乙之余银为一根少三十两乙之余银既三倍于甲则将甲余银一根少一百两三倍之为三根少三百两即与乙之余银一根少三十两相等矣三根少三百两与一根少三十两各加三百两则得三根与一根多二百七十两相等【甲三根少三百两今加三百两则补足三根整数乙一根少三十两今加三百两以三十两补原少之数则止多二百七十两】三根与一根各减去一根则余二根与二百七十两相等二根既与二百七十两相等则一根必与一百三十五两相等前既借一根为原分银之数则此一百三十五两即原分银之数矣甲用过一百两余三十五两乙用过三十两余一百零五两故乙之余银三倍于甲也【此较数比例法用叠借互征法算之亦可】
设如甲乙二人行路两日行到初日乙所行之路四倍于甲次日甲所行之路三倍于乙但知初日
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