【小余○六○六三五八】为一率半径十万为二率仍以半径十万为三率求得四率一十四万九千四百四十七【小余六五四九八六六】为正割也如图甲乙弧四十八度甲丙为正甲丁为余与丙戊等乙丙为正矢故乙戊半径内减与甲丁余相等之丙戊余乙丙即为正矢己乙为正切巳戊为正割甲丙戊己乙戊两勾股形为同式形故丙戊余与甲丙正之比同于乙戊半径与己乙正切之比为相当比例四率又丙戊余与甲戊半径之比同于乙戊半径与己戊正割之比亦为相当比例四率也
又正切求正割捷法以余弧折半得二十一度乃以二十一度之正切三万八千三百八十六【小余四○三三五○三六】与本弧之正切一十一万一千零六十一【小余二五一四八三○】相加得一十四万九千四百四十七【小余六五四八三三三】即为本弧之正割也如图甲乙弧四十八度己乙为正切己戊为正割试将甲庚余弧四十二度折半得庚辛二十一度移于乙壬又作乙癸为乙壬弧二十一度之正切与己乙相加得己癸与己戊正割相等葢甲戊乙角四十八度己乙戊角为直角九十度二角并之为一百三十八度于一百八十度内减之余四十二度为戊己乙角今于甲戊乙角四十八度加乙戊壬角二十一度遂成己戊癸角为六十九度仍与戊己乙角四十二度相加于一百八十度内减之所余亦六十九度即为戊癸己角戊癸己角既与己戊癸角相等则己戊与己癸边亦必相等也有此法则凡有逐度逐分之切线求割线可止用加法不用四率矣又凡有本弧之正切正割相减即得半余弧之正切若有本弧之正割及半余弧之正切相减即得本弧之正切也
设如四十八度之正弧七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】求余矢余切余割各几何
法以半径十万内减四十八度之正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】余二万五千六百八十五【小余五一七四五二三】为余矢以正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】为一率余六万六千九百一十三【小余○六○六三五八】为二率半径十万为三率求得四率九万零四十【小余四○四四二九七】为余切以正七万四千三百一十四【小余四八二五四七七】为一率半径十万为二率仍以半径十万为三率求得四率一十三万四千五百六十三【小余二七二九六○七】为余割也如图甲乙弧四十八度甲丙为正与丁戊等甲丁为余巳丁为余矢故已戊半径内减与甲丙正相等之丁戊余己丁即为余矢庚己为余切庚戊为余割甲丁戊庚己戊两勾股形为同式形故丁戊正与甲丁余之比同于己戊半径与庚己余切之比为相当比例四率又丁戊正与甲戊半径之比同于己戊半径与庚戊余割之比亦为相当比例四率也
又余切求余割捷法以本弧折半得二十四度乃以二十四度之正切四万四千五百二十二【小余六八六五三一○】与本弧之余切九万零四十【小余四○四四二九七】相加得一十三万四千五百六十三【小余二七二九六○七】即为本弧之余割也如图甲乙弧四十八度庚己为其余切庚戊为其余割试将甲乙正弧四十八度折半得辛乙二十四度移于壬己又作癸己为壬己弧二十四度之正切与庚己相加得庚癸与庚戊余割相等葢甲戊己角四十二度庚己戊角为直角九十度二角相并为一百三十二度于一百八十度内减之余四十八度为戊庚己角今于甲戊己角四十二度加己戊壬角二十四度遂成庚戊癸角为六十六度仍与戊庚己角四十八度相加于一百八十度内减之所余亦为六十六度即为戊癸庚角戊癸庚角既与庚戊癸角相等则庚戊与庚癸边亦必相等也有此法则凡有逐度逐分之切线求余割亦可止用加法不用四率矣又凡有本弧之余切余割相减即得半本弧之正切若有本弧之余割及半本弧之正切相减即得本弧之余切矣
求象限内各线总法
六宗倂新增十八边形及九边形之每边各半之得八弧之正用要法之一各求其余次取十二度【十五边之半】用要法之三折半四次得六度三度一度三十分及四十五分之正复用新增法求其三分之一得十五分之正复求其三分之一即得五分之正既得五分之正乃用简法之一求六十度以内之正每越五分而得一可得七百二十又用简法之二求六十度以外之正亦越五分而得一又得三百六十【如以一度之与五十九度之相加即六十一度之以二度之与五十八度之相加即六十二度之以至二十九度之与三十一度之相加即得八十九度之也】总而计之一象限中共得正一千零八十己居全表五分之一【象限中逐分计之共正五千四百故一千零八十为五分之一也】再以五分之用要法之三得二分三十秒之复用新增法求其三分之一得五十秒之乃以五十秒之弧为一率五十秒之为二率一分之弧化六十秒为三率得四率为一分之既得一分之即用简法之一简法之二错综加减之则一象限中每度每分之正悉得矣既得每度每分之正则用前八线相求之法即得每度每分之切割诸线矣如于一分之中欲析为六十秒则以比例四率求之即得每秒之八线也
御制数理精蕴下编卷十六
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷十七
面部
三角形边线角度相求
三角形边线角度相求
三角形有直角者为勾股无直角者作中垂线分为两直角形则亦成两勾股是皆有其二而得其一或有其三而分为二防以边线相求者也至于割圜之法则凡三角形有一角即有八线皆成勾股而可比例以相求故三角形不论角之直与锐钝要以角度为凖而三角之度必与两直角之度等角之大者所对之边亦大角之小者所对之边亦小凡三角三边但知其三而其余者悉可得若直角则惟知其二而其余者亦可得此三角之法所由立而测量之用所由广也如知两角一边求又一边者以对所知之角与对所求之角为比即如所知之边与所求之边为比也知两边一角求又一角者以对所知之边与对所求之边为比即如所知之角与所求之角为比也或所知之一角在所知两边之间而求又一角者则角无所对之边而边亦无所对之角必用两边之和较与所知角之外角半弧之切线为比而得所求两角与所知角之外角半弧之较既得较而角度亦得矣又如知三边而求三角者则以三角形求中垂线法分为两直角形而三角自随之而得或用三边之方面按法比例而得两直角形之各一角既得一角而三角亦可得矣若止有三角则三边无所约束故不成法葢角度为虚率而边线为实数无实数而虚率可驭总以比例四率展转用之惟在分合有法相度得宜耳
设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角五十七度丙乙边五丈求甲乙边几何
法以丙角五十七度与象限九十度相减余三十三度为甲角乃以甲角为对所知之角其正五万四千四百六十四为一率丙角为对所求之角其正八万三千八百六十七为二率丙乙边为所知之边其数五丈为三率求得四率七丈六尺九寸九分三厘有余即甲乙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧己庚线为丙角之正丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余即甲角之正是故丙角五十七度之余弧为三十三度丙角五十七度之余为三十三度之正己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故甲角正丙庚【即辛己】与丙角正己庚之比同于丙乙边与甲乙边之比为相当比例四率也
又法以半径十万为一率丙角五十七度之正切一十五万三千九百八十六为二率丙乙边五丈为三率求得四率七丈六尺九寸九分三厘即甲乙边也如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊线为丙角之正切则丙戊为半径庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙戊半径与庚戊正切之比同于丙乙边与甲乙边之比为相当比例四率也
设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角二十三度三十五分甲乙边三十二丈求丙乙边几何
法以丙角二十三度三十五分与九十度相减余六十六度二十五分为甲角乃以丙角为对所知之角其正四万零八为一率以甲角为对所求之角其正九万一千六百四十八为二率甲乙边为所知之边其数三十二丈为三率求得四率七十三丈三尺零三分有余即丙乙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧己庚线为丙角之正丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余即甲角之正故丙角二十三度三十五分之余弧为六十六度二十五分丙角二十三度三十五分之余为六十六度二十五分之正己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙角正己庚与甲角正丙庚之比同于甲乙边与丙乙边之比为相当比例四率也又法以半径十万为一率丙角二十三度三十五分之余切线二十二万九千零七十三为二率甲乙边三十二丈为三率求得四率七十三丈三尺零三分有余即丙乙边也如丙丁戊一象限切丁己弧作丁庚线为丙角之余切即甲角之正切则丁丙为半径丙丁庚与甲乙丙两勾股形为同式形故丁丙半径与丁庚余切之比同于甲乙边与丙乙边之比为相当比例四率也
设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角四十三度三十七分丙乙边二十一尺求甲丙边几何
法以丙角四十三度三十七分与九十度相减余四十六度二十三分为甲角乃以甲角为对所知之角其正七万二千三百九十七为一率【甲角正即丙角余或直用丙角余亦可】以乙角为对所求之角其正即半径十万为二率丙乙边为所知之边其数二十一尺为三率求得四率二十九尺零六厘有余即甲丙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余即甲角之正【与丙庚等】己丙线为半径即九十度之正己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故甲角正丙庚与半径己丙之比同于丙乙边与甲丙边之比为相当比例四率也
又法以半径十万为一率丙角四十三度三十七分之正割一十三万八千一百二十七为二率丙乙边二十一尺为三率求得四率二十九尺零六厘有余即甲丙边也如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊线为丙角之正切则丙戊为半径庚丙为正割庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙戊半径与庚丙正割之比同于丙乙边与甲丙边之比为相当比例四率也
设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角五十一度五十一分甲丙边八十九丈零二寸二分求甲乙边丙乙边各几何
法以丙角五十一度五十一分与九十度相减余三十八度零九分为甲角求甲乙边则以乙角为对所知之角其正即半径十万为一率以丙角为对所求之角其正七万八千六百四十为二率甲丙边为所知之边其数八十九丈零二寸二分为三率求得四率七十丈零六分有余即甲乙为所求之边也求丙乙边亦以乙角为对所知之角其正即半径十万为一率而以甲角为对所求之角其正六万一千七百七十二为二率甲丙边为所知之边其数八十九丈零二寸二分为三率求得四率五十四丈九尺九寸有余即丙乙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧己庚线为丙角之正丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余即甲角之正己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故半径己丙与丙角正己庚之比同于甲丙边与甲乙边之比为相当比例四率又半径巳丙与甲角正丙庚之比同于甲丙边与丙乙边之比为相当比例四率也
又法求甲乙边以丙角五十一度五十一分之正割一十六万一千八百八十五为一率其正切一十二万七千三百零六为二率甲丙边八十九丈零二寸二分为三率求得四率七十丈零六分有余即甲乙边也求丙乙边则仍以丙角正割一十六万一千八百八十五为一率而以半径十万为二率仍以甲丙边八十九丈零二寸二分为三率求得四率五十四丈九尺九寸有余即丙乙边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧庚戊线为丙角之正切庚丙线为丙角之正割庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙角正割庚丙与正切庚戊之比同于甲丙边与甲乙边之比又丙角正割庚丙与半径丙戊之比同于甲丙边与丙乙边之比皆为相当比例四率也
设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲乙边二十丈丙乙边三十四丈六尺四寸一分求甲角丙角各几何
法以甲乙边二十丈为一率丙乙边三十四丈六尺四寸一分为二率半径十万为三率求得四率一十七万三千二百零五为甲角之正切捡八线表得六十度即甲角之度与九十度相减余三十度即丙角之度也如先求丙角则以丙乙边三十四丈六尺四寸一分为一率甲乙边二十丈为二率半径十万为三率求得四率五万七千七百三十五为丙角之正切捡八线表得三十度即丙角之度与九十度相减余六十度即甲角之度也如图先求甲角则如甲丁戊一象限己戊弧为甲角六十度之弧庚戊为甲角之正切甲戊为
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