三百六十相乘亦得二万五千九百二十爲相等也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如有大小二石不知重数有铜条一根重十二两均分十二分以绳系于第五分之上一头五分一头七分将大石挂于铜条之端离提系五分而以小石作砣称之离提系六分始平又将小石挂于铜条之端离提系五分而以大石作砣称之离提系四分始平问二石各重若干
法先以五分加一倍与十二分相减余二分折半得一分与五分相加爲六分乃以五分爲一率六分爲二率余二分之重二两爲三率求得四率二两四钱即五分之端加二两四钱始与七分相平也今大石离提系五分小石离提系六分而平是大石重六分小石重五分而大石多二两四钱则小石爲大石六分之五而少二两也【铜条五分之端应加二两四钱而平今大石在五分之一头是大石多二两四钱也将二两四钱以大石之六分除之每分得四钱是大石比小石每分多四钱以小石五分计之则大石比小石多二两故小石爲大石之六分之五而少二两也】又小石离提系五分大石离提系四分而平是小石重四分大石重五分而小石多二两四钱则小石爲大石五分之四而多二两四钱也【铜条五分之端应加二两四钱而平今小石在五分之一头是小石多二两四钱也将二两四钱以小石之四分除之每分得六钱是小石比大石每分多六钱以小石四分计之则小石比大石多二两四钱故小石爲大石之五分之四而多二两四钱也】乃借三十根【六分五分相乗之数】爲大石之重数以小石爲大石六分之五而少二两计之则小石之重爲二十五根少二两以小石爲大石五分之四而多二两四钱计之则小石之重又爲二十四根多二两四钱此两数爲相等两边各加二两得二十五根与二十四根多四两四钱相等两边再各减去二十四根余一根与四两四钱相等一根既与四两四钱相等则三十根必与一百三十二两相等即大石之重数六归之得二十二两五因之得一百一十两减去二两得一百零八两即小石之重数或以大石之重数五归之得二十六两四钱四因之得一百零五两六钱加二两四钱亦得一百零八两爲小石之重数也【此叠借互征法用方程法算之亦可】
设如有银买马牛二色马四匹牛八头共价五十六两又马三匹牛五头共价三十八两问马牛各价若干
法借一根爲牛一头之价则前牛八头之共价爲八根前马四匹之共价爲五十六两少八根而后牛五头之共价爲五根乃以前马四匹爲一率共价五十六两少八根爲二率后马三匹爲三率求得四率四十二两少六根爲后马三匹之共价内加后牛五头之共价五根得四十二两少一根爲后马三匹牛五头之共价与后共价三十八两相等四十二两少一根与三十八两各加一根得四十二两与三十八两多一根相等四十二两与三十八两多一根再各减去三十八两则余四两与一根相等即牛一头之价八因之得三十二两爲前牛八头之共价于前共价五十六两内减之余二十四两爲前马四匹之共价四归之得六两爲马一匹之价又以后马三匹因之得十八两爲后马三匹之共价于后共价三十八两内减之余二十两爲后牛五头之共价五归之亦得四两爲牛一头之价也【此二色和数方程法】
设如有钱买桃梨二色桃四个比梨八个少钱十二文桃九个比梨六个多钱二十一文问桃梨多价若干
法借一根爲桃一个之价则前桃四个之共价爲四根前梨八个之共价爲十二文多四根而后桃九个之共价爲九根乃以前梨八个爲一率共价十二文多四根爲二率后梨六个爲三率求得四率九文多三根爲后梨六个之共价加后桃比梨多钱二十一文得三十文多三根与后桃九个之共价九根相等【九桃比六梨多二十一文故以二十一文与六梨之价相加即与九桃之价等也】三十文多三根与九根各减去三根则余三十文与六根相等三十文既与六根相等则五文必与一根相等即桃一个之价四因之得二十文爲前桃四个之共价加入桃比梨少钱十二文得三十二文爲前梨八个之共价八归之得四文爲梨一个之价又以后梨六个因之得二十四文爲后梨六个之共价加入桃比梨多钱二十一文得四十五文爲后桃九个之共价九归之亦得五文爲桃一个之价也【此二色较数方程法】
设如有银买缎纱防三色初次买缎二疋纱六疋防八疋共价八十四两二次买缎一疋纱四疋防七疋共价六十两三次买缎三疋纱五疋防九疋共价九十两问缎纱防每疋各价若干
法借一根爲防每疋之价则初次防之共价爲八根二次防之共价爲七根三次防之共价爲九根而初次缎之共价爲八十四两少八根仍少纱六疋乃以初次缎二疋爲一率缎价八十四两少八根仍少纱六疋爲二率二次缎一疋爲三率求得四率四十二两少四根仍少纱三疋爲二次缎价加入二次防价七根纱四疋得四十二两多三根仍多纱一疋爲二次缎一疋纱四疋防七疋之共价与二次共价六十两相等四十二两多三根多纱一疋与六十两各减去四十二两余三根多纱一疋与十八两相等三根多纱一疋与十八两再各减去三根余纱一疋与十八两少三根相等即纱一疋之价爲十八两少三根也又以二次缎一疋爲一率缎价四十二两少四根仍少纱三疋爲二率三次缎三疋爲三率求得四率一百二十六两少十二根仍少纱九疋爲三次缎价加入三次防价九根纱五疋得一百二十六两少三根仍少纱四疋爲三次缎三疋纱五疋防九疋之共价与三次共价九十两相等一百二十六两少三根少纱四疋与九十两各加纱四疋得一百二十六两少三根与九十两多纱四疋相等一百二十六两少三根与九十两多纱四疋再各减去九十两余三十六两少三根与纱四疋相等即纱四疋之价爲三十六两少三根也前所得纱一疋之价爲十八两少三根今又得纱四疋之价爲三十六两少三根此二分虽同而疋数不一故又以纱一疋爲一率前所得之纱一疋之价十八两少三根爲二率今纱四疋爲三率求得四率七十二两少十二根爲纱四疋之价乃与后所得纱四疋之价三十六两少三根相等三十六两少三根与七十二两少十二根各加十二根得三十六两多九根与七十二两相等三十六两多九根与七十二两再各减去三十六两余九根与三十六两相等九根既与三十六两相等则一根必与四两相等即防一疋之价也纱一疋之价既爲十八两少三根则于十八两内减去三根之共数十二两余六两即纱一疋之价初次纱六疋以纱价六两乘之得三十六两初次防八疋以防价四两乘之得三十二两两数相加得六十八两与初次共银八十四两相减余十六两爲缎二疋之价二归之得八两即缎一疋之价也其二次缎之共价爲八两纱之共价爲二十四两防之共价爲二十八两相加共得六十两三次缎之共价爲二十四两纱之共价爲三十两防之共价爲三十六两相加共得九十两皆合原数也【此三色和数方程法】
设如甲乙丙三人各有银买铜铁锡三色甲买铜二斤铁二斤锡一斤共银九钱乙买铜三斤比铁六斤锡二斤之价多二钱丙买铜二斤铁四斤与锡四斤之价相等问铜铁锡每斤各价若干
法借一根爲锡每斤之价则甲锡之价即爲一根乙锡之价爲二根丙锡之价爲四根而甲铜之共价爲九钱少一根仍少铁二斤乃以甲铜二斤爲一率铜价九钱少一根仍少铁二斤爲二率乙铜三斤爲三率求得四率一两三钱五分少一根半仍少铁三斤爲乙铜三斤之价内减比锡二斤铁六斤所多之二钱余一两一钱五分少一根半仍少铁三斤与乙锡二斤之共价二根多铁六斤相等一两一钱五分少一根半少铁三斤与二根多铁六斤各加铁三斤得一两一钱五分少一根半与二根多铁九斤相等一两一钱五分少一根半与二根多铁九斤再各减去二根余一两一钱五分少三根半与铁九斤相等即铁九斤之价爲一两一钱五分少三根半也又以甲铜二斤之共价九钱少一根仍少铁二斤即爲丙铜二斤之共价【丙铜与甲铜俱爲二斤故其共价相等省一四率也】加铁四斤得九钱少一根多铁二斤与丙锡四斤之共价四根相等九钱少一根多铁二斤与四根各加一根得九钱多铁二斤与五根相等九钱多铁二斤与五根再各减去九钱余铁二斤与五根少九钱相等即铁二斤之价爲五根少九钱也前所得铁九斤之价爲一两一钱五分少三根半今又得铁二斤之价爲五根少九钱此二分虽同而斤数不一故又以铁二斤爲一率今所得之铁二斤之价五根少九钱爲二率前所得之铁九斤爲三率求得四率二十二根半少四两零五分爲铁九斤之价乃与前所得铁九斤之价一两一钱五分少三根半相等二十二根半少四两零五分与一两一钱五分少三根半各加四两零五分得二十二根半与五两二钱少三根半相等二十二根半与五两二钱少三根半再各加三根半得二十六根与五两二钱相等二十六根既与五两二钱相等则一根必与二钱相等即锡每斤之价也铁二斤之价既爲五根少九钱则以五根之共数一两内减去九钱余一
钱爲铁二斤之共价半之得五分即铁
每斤之价于甲共银九钱内减去铁二
斤之价一钱又减去锡一斤之价二钱
余六钱爲铜二斤之共价半之得三钱
爲铜每斤之价也其乙铜三斤之共价
爲九钱乙铁六斤之共价爲三钱乙锡
二斤之共价爲四钱是铜三斤比锡二
斤铁六斤之价多二钱也丙铜二斤之
共价爲六钱丙铁四斤之共价爲二钱
丙锡四斤之共价爲八钱是铜二斤铁
四斤与锡四斤之价等也【此三色和较兼用方程法】
御制数理精蕴下编卷三十四
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十五
末部五
借根方比例【面类】
面类
设如大小两正方面积共二百一十八尺其大方面积比小方面积多一百二十尺问大小方面积各几何
法借一根为小方面毎边之数自乘得一平方为小方面积则大方面积为一平方多一百二十尺两数相加得二平方多一百二十尺与共积二百一十八尺相等一百二十尺与二百一十八尺各减去一百二十尺余二平方与九十八尺相等二平方旣与九十八尺相等则一平方必与四十九尺相等卽小方面积加一百二十尺得一百六十九尺卽大方面积也【此卽减法因面类之首故设此最易者焉】
设如甲乙二长方面积共三百尺甲长八尺乙长二丈四尺其甲阔比乙阔为二倍问二长方阔数积数各几何
法借一根为乙之阔数则甲之阔为二根以一根与一丈四尺相乘得十四根为乙之面积以二根与八尺相乘得十六根为甲之面积相加得三十根与三百尺相等三十根旣与三百尺相等则一根必与十尺相等卽乙之阔数与长一丈四尺相乘得一百四十尺为乙之面积于共积三百尺内减之余一百六十尺为甲之面积或倍乙之阔十尺得二十尺为甲之阔与长八尺相乘亦得一百六十尺为甲之面积也【此归除法】
设如有甲乙丙三长方甲方阔十尺不知长乙方阔十六尺长与甲等丙方阔四尺面积与甲之长相等又甲乙二方之共面积与丙方之长数相并为三千一百五十尺问三方各长若干
法借一根为甲方之长数以阔十尺乘之得十根为甲方之面积乙方之长与甲等亦为一根以阔十六尺乘之得十六根为乙方之面积丙方之面积与甲之长相等亦为一根以阔四尺除之得四分根之一为丙方之长数以甲方之面积十根乙方之面积十六根丙方之长数四分根之一相并共得二十六根又四分根之一与三千一百五十尺相等二十六根又四分根之一旣与三千一百五十尺相等则一根必与一百二十尺相等卽甲方之长数亦卽乙方之长数亦卽丙方之面积以甲方阔十尺与长一百二十尺相乘得一千二百尺卽甲方之面积以乙方阔十六尺与长一百二十尺相乘得一千九百二十尺卽乙方之面积以丙方阔四尺除面积一百二十尺得三十尺卽丙方之长数也【此归除法】
设如有长方形其长阔和五百零四丈面积为阔自乘之七倍问长阔各几何
法借一根为阔数则长数为五百零四丈少一根以一根与五百零四丈少一根相乘得五百零四根少一平方为长方面积又以一根自乘得一平方七因之得七平方亦为长方面积而与五百零四根少一平方相等两边各加一平方得八平方与五百零四根相等八平方与五百零四根各降一位则为八根与五百零四丈相等八根旣与五百零四丈相等则一根必与六十三丈相等卽长方之阔数与五百零四丈相减余四百四十一丈卽长数也以阔六十三丈自乘得三千九百六十九丈以阔六十三丈与长四百四十一丈相乘得二万七千七百八十三丈为阔自乘之七倍也【此比例法】
设如有楼一座不知髙数正方池一面不知边数但云以六丈与楼之髙数相乘与池之边数等以一百零八丈与楼之髙数相乘与池之面积等问楼髙及池边数各几何
法借一根为楼之髙数以一根与六丈相乘得六根为池之边数自乘得三十六平方为池之面积又以一根与一百零八丈相乘得一百零八根亦为池之面积是为三十六平方与一百零八根相等三十六平方与一百零八根各降一
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