一位则为三十六根与一百零八丈相等三十六根旣与一百零八丈相等则一根必与三丈相等卽楼之髙数以六丈乘之得一十八丈为池之边数自乘得三百二十四丈为池之面积又以一百零八丈与楼髙三丈相乘亦得三百二十四丈与池之面积相等也【此面积相除法】
设如甲乙二人有银不言两数但知其银之比例同于八与五若以二人银相并则与二人银相乘之数等问二人银各若干
法借八根为甲银数五根为乙银数相乘得四十平方又以八根与五根相加得一十三根是为四十平方与十三根相等四十平方与十三根各降一位则为四十根与十三两相等四十根旣与十三两相等则八根必与二两六钱相等卽甲银数五根必与一两六钱二分五厘相等卽乙银数两数相加得四两二钱二分五厘若以两数相乘亦得四两二钱二分五厘也【此比例法】
设如有大小二正方池小池毎边为大池毎边之三分之一二池共边数为二池共面积之五十分之一问二池边数面积各几何
法借一根为小池毎边之数则大池毎池之数为三根两边数相加得四根又以一根自乘得一平方为小池面积以三根自乘得九平方为大池面积两面积相加得十平方为二池共边之五十倍乃以共边四根以五十乘之得二百根是为十平方与二百根相等十平方与二百根各降一位则为十根与二百丈相等十根旣与二百丈相等则一根必与二十丈相等卽小池毎边之数三因之得六十丈卽大池毎边之数也两边数相加得八十丈又以小池毎边二十丈自乘得四百丈为小池面积以大池毎边六十丈自乘得三千六百丈为大池面积两面积相加得四千丈为共边之五十倍也【此二正方边线面积比例法】
设如有甲乙丙三正方乙方毎边为甲方毎边之四分之一丙方毎边为甲方毎边之八分之一而乙丙两方之共面积为甲方毎边之十倍问三方边数面积各几何
法借八根为甲方毎边之数则乙方毎边之数为二根丙方毎边之数为一根以二根自乘得四平方为乙方面积以一根自乘得一平方为丙方面积两面积相加得五平方为甲方毎边之十倍乃以甲方毎边八根十因之得八十根是为五平方与八十根相等五平方与八十根各降一位则为五根与八十尺相等五根旣与八十尺相等则一根必与十六尺相等卽丙方毎边之数倍之得三十二尺卽乙方毎边之数八因之得一百二十八尺卽甲方毎边之数也以乙方每边三十二尺自乘得一千零二十四尺为乙方面积以丙方毎边十六尺自乘得二百五十六尺为丙方面积两面积相加得一千二百八十尺为甲方毎边之十倍也【此三正方边线面积比例法】
设如有甲乙二正方甲方为乙方毎边之三倍以甲方边四分之一与乙方面积相乘则与甲方面积等问二方边数面积各几何
法借十二根为甲方毎边之数则乙方毎边之数为四根以十二根自乘得一百四十四平方为甲方面积以四根自乘得一十六平方为乙方面积取甲方边四分之一三根与乙方面积一十六平方相乘得四十八立方是为四十八立方与一百四十四平方相等四十八立方与一百四十四平方各降二位则为四十八根与一百四十四尺相等四十八根旣与一百四十四尺相等则十二根必与三十六尺相等卽甲方毎边之数三归之得十二尺卽乙方毎边之数也以三十六尺自乘得一千二百九十六尺卽甲方之面积以十二尺自乘得一百四十四尺卽乙方之面积以甲方毎边四分之一九尺与乙方面积相乘得一千二百九十六尺与甲方面积相等也【此二正方边线面积比例法】
设如有大小二正方大方边与小方边之比例同于五与三大方面积比小方面积多二千三百零四丈问大小二方边各几何
法借三根为小方毎边之数则大方毎边之数为五根以三根自乘得九平方为小方之面积以五根自乘得二十五平方为大方之面积二面积相减余一十六平方与二千三百零四丈相等一十六平方旣与二千三百零四丈相等则一平方必与一百四十四丈相等开平方得一十二丈为一根之数三因之得三十六丈卽小方毎边之数五因之得六十丈卽大方毎边之数以三十六丈自乘得一千二百九十六丈为小方面积以六十丈自乘得三千六百丈为大方面积两面积相减余二千三百零四丈以合原数也【此二正方比例开平方法】
设如有甲乙二正方甲方毎边为乙方毎边之三倍又有丙一长方其长与甲方之毎边等其阔与乙方之毎边等三方面积共二万零八百丈问三方边数面积各若干
法借一根为乙方毎边之数则甲方毎边之数为三根以一根自乘得一平方为乙方之面积以三根自乘得九平方为甲方之面积以一根与三根相乘得三平方为丙方之面积三面积相加得一十三平方与二万零八百丈相等十三平方旣与二万零八百丈相等则一平方必与一千六百丈相等卽乙方之面积开平方得四十丈为一根之数卽乙方毎边之数三因之得一百二十丈卽甲方毎边之数以一百二十丈自乘得一万四千四百丈卽甲方之面积以四十丈与一百二十丈相乘得四千八百丈卽丙方之面积三面积相并共得二万零八百丈以合原数也【此二正方比例开平方法】
设如有兵二万九千四百八十四名欲排作三军俱为正方第二军每边比第一军每边为三倍第三军每边比第二军每边亦为三倍问三军兵数各若干
法借一根为第一军每边之数则第二军每边之数为三根第三军毎边之数为九根以一根自乘得一平方为第一军之总数以三根自乘得九平方为第二军之总数以九根自乘得八十一平方为第三军之总数三总数相加得九十一平方与二万九千四百八十四相等九十一平方旣与二万九千四百八十四相等则一平方必与三百二十四相等卽第一军之总数开平方得十八为一根之数卽第一军每边之数也以第一军毎边之数用三乘之得五十四卽第二军毎边之数以第一军之总数用九乘之得二千九百一十六卽第二军之总数又以第一军毎边之数用九乘之得一百六十二卽第三军每边之数以第一军之总数用八十一乘之得二万六千二百四十四卽第三军之总数三总数相加共二万九千四百八十四以合原数也【此三正方比例开平方法】
设如一正方一长方俱不知其边数但知长方之面积为八万一千尺其长为正方边之十五分之二其阔为正方边之二十五分之三问二方边各若干
法借一根为正方每边之数则长方之长为十五分根之二长方之阔为二十五分根之三以正方边一根自乘得一平方为正方之面积以长方之长阔相乘得三百七十五分平方之六【以两分母十五与二十五相乘得三百七十五以两分子二与三相乘得六故为三百七十五之六】为长方面积是为三百七十五分平方之六与八万一千尺相等乃以六分为一率八万一千尺为二率三百七十五分为三率求得四率五百零六万二千五百尺与一平方相等【葢三百七十五分平方之六者将一平方分为三百七十五分而得其六分也六分旣为八万一千尺则三百七十五分必为五百零六万二千五百尺也】开平方得二千二百五十尺为一根之数卽正方每边之数其十五分之二为三百尺卽长方之长其二十五分之三为二百七十尺卽长方之阔相乘得八万一千尺以合原数也【此带分比例开平方法】
设如有大小二正方大方比小方毎边多六尺面积多一千七百一十六尺问二方边数面积各几何法借一根为小方每边之数则大方每边之数为一根多六尺以一根自乘得一平方为小方之面积以一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺为大方之面积大方旣比小方面积多一千七百一十六尺则以小方之面积一平方加一千七百一十六尺与大方之面积一平方多十二根多三十六尺相等两边各减去一平方又各减三十六尺得十二根与一千六百八十尺相等十二根旣与一千六百八十尺相等则一根必与一百四十尺相等卽小方毎边之数加六尺得一百四十六尺卽大方每边之数以一百四十尺自乘得一万九千六百尺卽小方之面积以一百四十六尺自乘得二万一千三百一十六尺卽大方之面积两面积相减余一千七百一十六尺以合原数也【此二正方有边较积较求边法】
设如有大小二正方大方比小方每边多二十四尺面积共七千二百五十尺问二方边数面积各几何
法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为一根多二十四尺以一根自乘得一平方为小方之面积以一根多二十四尺自乘得一平方多四十八根又多五百七十六尺为大方之面积两面积相加得二平方多四十八根又多五百七十六尺与七千二百五十尺相等两边各减五百七十六尺得二平方多四十八根与六千六百七十四尺相等二平方多四十八根旣与六千六百七十四尺相等则一平方多二十四根必与三千三百三十七尺相等乃以三千三百三十七尺为长方积以二十四根作二【七千二百】【五十尺以合原】十四尺为长阔较用带纵较
数开平方法算之得阔四十七尺为一根之数卽小方每边之数加二十四尺得七十一尺卽大方 每边之数以四十七尺自乘得二千二百零九尺卽小方之面积以七十一尺自乘得五千零四十一尺卽大方之面积两面积相加共七【数也此二正方有边和求边法】
设如有大小二正方边数共三十六尺面积共六百六十六尺问二方边数面积各几何
法借一根为小方毎边之数则大方每边之数为三十六尺少一根以一根自乘得一平方为小方之面积以三十六尺少一根自乘得一千二百九十六尺少七十二根多一平方为大方之面积两面积相加得一千二百九十六尺少七十二根多二平方与六百六十六尺相等两边各加七十二根得一千二百九十六尺多二平方与六百六十六尺多七十二根相等两边各减六百六十六尺得六百三十尺多二平方与七十二根相等六百三十尺多二平方旣与七十二根相等则三百一十五尺多一平方必与三十六根相等乃以三百一十五尺为长方积以三十六根作三十六尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔一十五尺为一根之数卽小方每边之数与共边三十六尺相减余二十一尺卽大方毎边之数以小方每边一十五尺自乘得二百二十五尺卽小方之面积以大方每边二十一尺自乘得四百四十一尺卽大方之面积两面积相加共六百六十六尺以合原数也【此二正方有边和积和求边法】
设如有大小二正方边数共一百一十尺大方比小方面积为五倍少四尺问二方边数面积各几何法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为一百一十尺少一根以一根自乘得一平方为小方之面积以一百一十尺少一根自乘得一万二千一百尺少二百二十根多一平方为大方之面积大方旣比小方面积为五倍少四尺则将小方加五倍将大方加四尺是为五平方与一万二千一百零四尺少二百二十根多一平方相等两边各减一平方得四平方与一万二千一百零四尺少二百二十根相等四平方旣与一万二千一百零四尺少二百二十根相等则一平方必与三千零二十六尺少五十五根相等乃以三千零二十六尺为长方积以五十五根作五十五尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔三十四尺为一根之数卽小方每边之数与共边一百一十尺相减余七十六尺卽大方毎边之数以三十四尺自乘得一千一百五十六尺卽小方之面积以七十六尺自乘得五千七百七十六尺卽大方之面积再加四尺得五千七百八十尺为小方面积一千一百五十六尺之五倍也【此亦二正方有边和积较法但积较有倍分耳】
设如有一长方又有大小二正方三面积共四百四十一丈大正方边与长方之长等小正方边与长方之阔等但知小正方边为九丈问大正方边若干
法借一根为大方毎边之数自乘得一平方为大方之面积以九丈自乘得八十一丈为小方之面积以九丈与一根相乘得九根为长方之面积三面积相加得一平方多九根又多八十一丈与四百四十一丈相等两边各减八十一丈得一平方多九根与三百六十丈相等乃以三百六十丈为长方积以九根作九丈为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔十五丈为一根之数卽大方毎边之数以十五丈自乘得二百二十五丈卽大方之面积以十五丈与九丈相乘得一百三十五丈卽长方之面积三面积相并共得四百四十一丈以合原数也【此带纵较数开平方法】
设如有一长方又有大小二正方三面积共四百五十七丈长方之长与大正方边等长方之阔与小正方边等长阔共二十四丈问长阔各几何法借一根为长方之阔则长方之长为二十四丈少一根以一根自乘得一平方为小正方之面积以二十四丈少一根自乘得五百七十六丈少四十八根多一平方为大正方之面积以一根与二十四丈少一根相乘得二十四根少一平方为长方之面积三面积相加得一平方多五百七十六丈少二十四根与四百五十七丈相等两边各加二十四根得一平方多五百七十六丈与二十四根多四百五十七丈相等两边各减四百五十七丈得一平方多一百一十九丈与二十四根相等乃以一百一十九丈为长方积以二十四根作二十四丈为长阔和用带纵和数开平
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