六十尺与勾股和之较六尺问勾股各几何
法借一根为数则一根多六尺为勾股和数以一根自乘得一平方为自乘之数以一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺为勾股和自乘之数又以勾股积六十尺四因之得二百四十尺与自乘之一平方相加得一平方多二百四十尺亦为勾股和自乘之数而与勾股和自乘之一平方多十二根多三十六尺为相等两边各减去一平方得十二根多三十六尺与二百四十尺相等两边又各减去三十六尺得十二根与二百零四尺相等十二根旣与二百零四尺相等则一根必与十七尺相等卽数加与勾股和之较六尺得二十三尺为勾股和用有有勾股和求勾股法算之得股十五尺勾八尺也【此勾股积与勾股和较相求法】
设如有三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求中垂线几何
法借一根为中垂线之面积以小腰十尺自乘得一百尺内减去一根得一百尺少一根为小分底之面积【中垂线为股小腰为小分底为勾于积内减去股积余为勾积也】又以大腰十七尺自乘得二百八十九尺内减去一根余二百八十九尺少一根为大分底之面积【中垂线为股大腰为大分底为勾于积内减去股积余为勾积也】又以底二十一尺自乘得四百四十一尺内减大小两分底之共面积三百八十九尺少二根余五十二尺多二根折半得二十六尺多一根为小分底乘大分底之面积【底边自乘内有大分底自乘之一正方小分底自乘之一正方小分底乘大分底之二长方故减去二正方余数折半卽为小分底乘大分底之一长方也】此数与小分底之面积及大分底之面积为相连比例三率葢大分底之面积为首率而小分底乘大分底之面积为中率小分底之面积为末率也乃以首率大分底之面积二百八十九尺少一根与末率小分底之面积一百尺少一根相乘得二万八千九百尺少三百八十九根多一平方又以中率小分底乘大分底之面积二十六尺多一根自乘得六百七十六尺多五十二根多一平方此二数为相等两边各加三百八十九根得二万八千九百尺多一平方与六百七十六尺多四百四十一根多一平方相等两边各减一平方得二万八千九百尺与六百七十六尺多四百四十一根相等两边再各减去六百七十六尺得二万八千二百二十四尺与四百四十一根相等二万八千二百二十四尺旣与四百四十一根相等则六十四尺必与一根相等卽中垂线之面积开平方得八尺卽中垂线也【此三角形求中垂线法】
设如有三角形底十四尺大腰与中垂线之较三尺小腰与中垂线之较一尺求中垂线及两腰各几何
法借一根为中垂线则大腰为一根多三尺小腰为一根多一尺以一根自乘得一平方为中垂线之面积以一根多三尺自乘得一平方多六根多九尺为大腰之面积内减去中垂线之面积一平方余六根多九尺为大分底之面积以一根多一尺自乘得一平方多二根多一尺为小腰之面积内减去中垂线之面积一平方余二根多一尺为小分底之面积又以底十四尺自乘得一百九十六尺内减去大小两分底之共面积八根多十尺余一百八十六尺少八根折半得九十三尺少四根为小分底乘大分底之面积此数与大分底之面积及小分底之面积为相连比例三率葢大分底之面积为首率而小分底乘大分底之面积为中率小分底之面积为末率也乃以首率大分底之面积六根多九尺与末率小分底之面积二根多一尺相乘得十二平方多二十四根多九尺又以中率之小分底乘大分底之面积九十三尺少四根自乘得八千六百四十九尺少七百四十四根多十六平方此二数为相等两边各加七百四十四根得十二平方多七百六十八根多九尺与八千六百四十九尺多十六平方相等两边各减十二平方得七百六十八根多九尺与八千六百四十九尺多四平方相等两边再各减八千六百四十九尺得七百六十八根少八千六百四十尺与四平方相等七百六十八根少八千六百四十尺旣与四平方相等则一百九十二根少二千一百六十尺必与一平方相等乃以二千一百六十尺为长方积以一百九十二根作一百九十二尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十二尺为一根之数卽中垂线加三尺得十五尺卽大腰加一尺得十三尺卽小腰也【此三角形和较相求法】
御制数理精蕴下编卷三十五
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十六
末部六
借根方比例【体类】
体类
设如有扁方体髙十八尺若将体积加六倍则髙与长阔皆相等问长阔之各一边及体积几何法借一根为长阔之各一边数以一根自乘得一平方为扁方体之面积再以髙十八尺乘之得十八平方为扁方体之体积又以一根与一平方相乘得一立方为扁方体积之六倍乃以扁方体之体积十八平方六因之得一百零八平方是为一立方与一百零八平方相等两边各降二位得一根与一百零八尺相等卽扁方体之长阔各一边数也以一百零八尺自乘得一万一千六百六十四尺再以十八尺乘之得二十万零九千九百五十二尺为扁方体积六因之得一百二十五万九千七百一十二尺与毎边一百零八尺自乘再乘之立方积相等此扁方体边线比例法也葢两体之底面积旣同则其体积之比例同于其髙之比例今扁方体之长阔各一边旣与正方体之毎一边等而正方体积为扁方体积之六倍则其髙亦必为六倍故以扁方体之髙数六因之卽得长阔之各一边数也
设如有一长方体髙三尺五寸又有一正方体其每一面积与长方体之底面积等而长方体积为正方体积之五倍问正方体之一边及体积各几何法借一根为正方体毎边之数以一根自乘得一平方为正方体之面积亦卽长方体之底面积以一平方与髙三十五寸相乘得三十五平方为长方体之体积又以一根自乘再乘得一立方为正方体之体积长方体积旣为正方体之五倍乃以一立方五因之得五立方而与三十五平方为相等两边各降二位得五根与三十五寸相等五根旣与三十五寸相等则一根必与七寸相等卽正方体之毎一边之数也以七寸自乘再乘得三百四十三寸卽正方体之体积又以七寸自乘得四十九寸再以三十五寸乘之得一千七百一十五寸卽长方体之体积为正方体积之五倍此一长方体一正方体同底比例法也葢两体之底面积旣同则其体积之比例同于其髙之比例今正方体之每一面积旣与长方体之底面积等而长方体积为正方体积之五倍则其髙亦必为五倍故长方体之髙之五分之一卽正方体之毎一边之数也
设如有一正方面形又有一正方体形但知正方面毎边为正方体毎边之八倍而正方面积与正方体积相等问边线积数各若干
法借一根为正方体毎边之数则正方面毎边之数为八根以一根自乘再乘得一立方为正方体积以八根自乘得六十四平方为正方面积是为一立方与六十四平方相等两边各降二位得一根与六十四尺相等卽正方体毎边之数八因之得五百一十二尺卽正方面毎边之数以五百一十二尺自乘得二十六万二千一百四十四尺为正方面积以六十四尺自乘再乘亦得二十六万二千一百四十四尺为正方体积两数相等也【此一平方一立方边数积数比例法】
设如有带两纵不同立方体其髙与阔之比例同于四与六阔与长之比例同于六与九其髙与阔相乘之数为长数之四倍问髙阔长各几何
法借四根为髙数六根为阔数九根为长数以髙四根与阔六根相乘得二十四平方为长数之四倍乃以长数九根四因之得三十六根是为二十四平方与三十六根相等两边各降一位得二十四根与三十六尺相等二十四根旣与三十六尺相等则四根必与六尺相等卽髙数六根必与九尺相等卽阔数九根必与一十三尺五寸相等卽长数以髙六尺与阔九尺相乘得五十四尺四归之得一十三尺五寸与长数相等也【此带两纵不同立方边线面积比例法】
设如有带两纵不同立方体长二十四尺髙与阔和五十二尺其髙与阔相乘之积与长自乘之积等问髙阔各若干
法借一根为髙数则阔数为五十二尺少一根以髙一根与阔五十二尺少一根相乘得五十二根少一平方又以长二十四尺自乘得五百七十六尺此二数为相等乃以五百七十六尺为长方积以五十二根作五十二尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十六尺为一根之数卽立方之髙数与髙阔和五十二尺相减余三十六尺卽立方之阔数以髙十六尺与阔三十六尺相乘得五百七十六尺与长二十四尺自乘之数相等也【此带两纵不同立方边线与面积比例法】
设如有带两纵不同立方体髙十二寸长比阔多十寸其长与阔相乘之积与髙自乘之积等问长阔各若干
法借一根为阔数则长数为一根多十寸以阔一根与长一根多十寸相乘得一平方多十根以髙十二寸自乘得一百四十四寸此二数为相等乃以一百四十四寸为长方积以十根作十寸为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔八寸为一根之数卽立方之阔数加长比阔多十寸得十八寸卽立方之长数以阔八寸与长十八寸相乘得一百四十四寸与髙十二寸自乘之数相等也【此带两纵不同立方边较与面积比例法】
设如有带两纵不同立方体长比阔多四寸阔比髙多二寸其体积比髙自乘再乘之正方体多一百七十六寸问长阔髙各几何
法借一根为髙数则阔数为一根多二寸长数为一根多六寸以髙一根与阔一根多二寸相乘得一平方多二根再以长一根多六寸乘之得一立方多八平方多十二根内减髙数一根自乘再乘之一立方余八平方多十二根与一百七十六寸相等八平方多十二根旣与一百七十六寸相等则一平方多一根半必与二十二寸相等乃以二十二寸为长方积以一根半作一寸五分为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔四寸为一根之数卽立方之髙数加阔比髙多二寸得六寸卽立方之阔数再加长比阔多四寸得十寸卽立方之长数以长阔相乘以髙再乘得二百四十寸为立方体积内减髙四寸自乘再乘之六十四寸余一百七十六寸以合原数也【此带两纵不同立方边较与积较比例法】
设如一长方池深二十尺长阔和六十尺其体积一万七千二百八十尺问长阔各若干
法借一根为阔数则长数为六十尺少一根以阔一根与长六十尺少一根相乘得六十根少一平方以深二十尺再乘得一千二百根少二十平方与一万七千二百八十尺相等一千二百根少二十平方旣与一万七千二百八十尺相等则六十根少一平方必与八百六十四尺相等乃以八百六十四尺为长方积以六十根作六十尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔二十四尺为一根之数卽池之阔数与长阔和六十尺相减余三十六尺卽池之长数以长阔相乘以深再乘得一万七千二百八十尺以合原数也【此带两纵不同立方知一边与两边和相求法】
设如一长方池深三十尺长比阔多十尺其体积七万一千二百八十尺问长阔各若干
法借一根为阔数则长数为一根多十尺以阔一根与长一根多十尺相乘得一平方多十根再以深三十尺乘之得三十平方多三百根与七万一千二百八十尺相等三十平方多三百根旣与七万一千二百八十尺相等则一平方多十根必与二千三百七十六尺相等乃以二千三百七十六尺为长方积以十根作十尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔四十四尺为一根之数卽池之阔数加长比阔多十尺得五十四尺卽池之长数也以长阔相乘以深再乘得七万一千二百八十尺以合原数也【此带两纵不同立方知一边与两边较相求法】
设如有带两纵不同立方体长阔髙共五十八尺长比阔多六尺其对角斜线自乘之数为一千一百五十六尺问长阔髙各几何
法借一根为阔数则长数为一根多六尺以长阔两数相加得二根多六尺与长阔髙共五十八尺相减余五十二尺少二根为髙数以阔一根自乘得一平方为阔自乘之数以长一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺为长自乘之数以髙五十二尺少二根自乘得二千七百零四尺少二百零八根多四平方为髙自乘之数三自乘数相加得二千七百四十尺少一百九十六根多六平方与对角线自乘之一千一百五十六尺相等两边各加一百九十六根得二千七百四十尺多六平方与一千一百五十六尺多一百九十六根相等两边各减一千一百五十六尺得一千五百八十四尺多六平方与一百九十六根相等一千五百八十四尺多六平方旣与一百九十六根相等则二百六十四尺多一平方必与三十二根又六分根之四相等乃以二百六十四尺为长方积以三十二根六分根之四作三十二尺又六分尺之四为长阔和用带纵和数开平方法算之得长十八尺为一根之数卽立方之阔加长比阔多六尺得二十四尺卽立方之长长阔相加得四十二尺与长阔髙共五十八尺相减余十六尺卽立方之髙也以髙十六尺自乘得二百五十六尺以阔十八尺自乘得三百二十四尺以长二十四尺自乘得五百七十六尺三自乘数相加得一千一百五十六尺与对角斜线自乘之数相等也【此带两纵不同立方边线面积
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