二十七匹为第一次买马之数倍之得五十四匹为第二次买马之数又倍之得一百零八匹为第三次买马之数以第三次四分之一二十七匹与第二次一半二十七匹相乘得七百二十九匹再以第一次三分之一九匹乘之得六千五百六十一匹以合原数也【此带分比例开立方法】
设如有马牛羊各不知数但知牛数比马数多四羊数与马牛相乘之数等马毎匹之价与牛数等牛毎头之价与马数等羊毎只之价比马毎匹价少十两而羊之共价为一百九十二两问马牛羊及价银各若干
法借一根为马数则牛数为一根多四以马数一根与牛数一根多四相乘得一平方多四根为羊数马价与牛数等为一根多四两则羊价为一根少六两以羊数一平方多四根与羊价一根少六两相乘得一立方少二平方少二十四根为羊之共价与一百九十二两相等乃以一百九十二两为磬折扁方体积用带纵开立方法算之得八为一根之数卽马数亦卽牛毎头之价为八两也加牛比马多四得十二为牛数亦卽马毎匹之价为十二两也以马数八与牛数十二相乘得九十六为羊数以羊数九十六归除羊共价一百九十二两得二两为羊毎只价比马一匹之价少十两也【此磬折扁方体求边法】
设如有马骡运重其共马数比马毎匹所防之数多二十骡毎匹所防之数比共马数多三十其共骡数与马所防之共数等但知骡共防一千一百万斤问马数骡数及所防之斤数各若干
法借一根为共马数则马毎匹所防之斤数为一根少二十斤骡毎匹所防之数为一根多三十斤以共马数一根与马毎匹防一根少二十斤相乘得一平方少二十根为马所防之共数亦卽共骡数再以骡毎匹防一根多三十斤乘之得一立方多十平方少六百根为骡所防之共数与一千一百万斤相等乃以一千一百万斤为磬折长方体积用带纵开立方法算之得二百二十为一根之数卽共马数减二十余二百斤为马毎匹所防之数以共马二百二十匹与马毎匹所防之二百斤相乘得四万四千斤为马所防之共数亦卽共骡数以共骡四万四千匹归除一千一百万斤得二百五十斤为骡毎匹所防之数比共马数二百二十多三十也【此磬折长方体求边法】
设如有大小二正方体边数共二尺六寸体积共五千零九十六寸问二正方体边数体积各几何法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为二十六寸少一根以一根自乘再乘得一立方为小方之体积以二十六寸少一根自乘再乘得一万七千五百七十六寸少二千零二十八根多七十八平方少一立方为大方之体积两体积相加得一万七千五百七十六寸少二千零二十八根多七十八平方与五千零九十六寸相等两边各加二千零二十八根得一万七千五百七十六寸多七十八平方与五千零九十六寸多二千零二十八根相等两边各减五千零九十六寸得一万二千四百八十寸多七十八平方与二千零二十八根相等一万二千四百八十寸多七十八平方旣与二千零二十八根相等则一百六十寸多一平方必与二十六根相等乃以一百六十寸为长方积以二十六根作二十六寸为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十寸为一根之数卽小方毎边之数与共边二十六寸相减余一十六寸卽大方毎边之数以十寸自乘再乘得一千寸卽小方之体积以十六寸自乘再乘得四千零九十六寸卽大方之体积两体积相加共五千零九十六寸以合原数也【此二正方体有边和积和求边法】
设如有大小二正方体大方边比小方边多四尺大方积比小方积多一千二百一十六尺问二正方体边数体积各几何
法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为一根多四尺以一根自乘再乘得一立方为小方之体积以一根多四尺自乘再乘得一立方多十二平方多四十八根多六十四尺为大方之体积两体积相减得十二平方多四十八根多六十四尺与一千二百一十六尺相等两边各减六十四尺得十二平方多四十八根与一千一百五十二尺相等十二平方多四十八根旣与一千一百五十二尺相等则一平方多四根必与九十六尺相等乃以九十六尺为长方积以四根作四尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔八尺为一根之数卽小方每边之数加四尺得一十二尺卽大方毎边之数以八尺自乘再乘得五百一十二尺卽小方之体积以一十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺卽大方之体积两体积相减余一千二百一十六尺以合原数也【此二正方体有边较积较求边法】
设如有大小二正方体大方边比小方边多二尺体积共一千零七十二尺问二正方体边数体积各几何
法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为一根多二尺以一根自乘再乘得一立方为小方之体积以一根多二尺自乘再乘得一立方多六平方多十二根多八尺为大方之体积两体积相加得二立方多六平方多十二根多八尺与一千零七十二尺相等两边各减去八尺得二立方多六平方多十二根与一千零六十四尺相等二立方多六平方多十二根旣与一千零六十四尺相等则一立方多三平方多六根必与五百三十二尺相等乃以五百三十二尺为磬折长方体积用带纵开立方法算之得七尺为一根之数卽小方毎边之数加二尺得九尺卽大方每边之数以七尺自乘再乘得三百四十三尺卽小方之体积以九尺自乘再乘得七百二十九尺卽大方之体积两体积相加得一千零七十二尺以合原数也【此二正方体有边较积和求边法】
设如有大小二正方体边数共十四尺大方比积小方积多二百九十六尺问二正方体之边数体积各几何
法借一根为小方每边之数则大方每边之数为十四尺少一根以一根自乘再乘得一立方为小方之体积以十四尺少一根自乘再乘得二千七百四十四尺少五百八十八根多四十二平方少一立方为大方之体积两体积相减得二千七百四十四尺少五百八十八根多四十二平方少二立方与二百九十六尺相等两边各加二立方又加五百八十八根得二立方多五百八十八根多二百九十六尺与二千七百四十四尺多四十二平方相等两边各减去二百九十六尺又各减去四十二平方得二立方少四十二平方多五百八十八根与二千四百四十八尺相等二立方少四十二平方多五百八十八根旣与二千四百四十八尺相等则一立方少二十一平方多二百九十四根必与一千二百二十四尺相等乃以一千二百二十四尺为磬折扁方体积用带纵开立方法算之得六尺为一根之数卽小方毎边之数与共边数十四尺相减余八尺卽大方每边之数以六尺自乘再乘得二百一十六尺为小方之体积以八尺自乘再乘得五百一十二尺为大方之体积两体积相减余二百九十六尺以合原数也【此二正方体有边和积较求边法】
设如勾股积二百四十尺股较四尺问勾股各几何
法借一根为股数则为一根多四尺以一根自乘得一平方为股自乘之数以一根多四尺自乘得一平方多八根多十六尺为自乘之数内减去股自乘之一平方余八根多十六尺为勾自乘之数凡勾自乘之数与勾股相乘之数及股自乘之数为相连比例三率乃以首率勾自乘之八根多十六尺与末率股自乘之一平方相乘得八立方多十六平方又以勾股积二百四十尺倍之得四百八十尺为中率自乘得二十三万零四百尺是为八立方多十六平方与二十三万零四百尺相等八立方多十六平方旣与二十三万零四百尺相等则一立方多二平方必与二万八千八百尺相等乃以二万八千八百尺为长方体积用带纵开立方法算之得三十尺为一根之数卽股数加股较四尺得三十四尺卽数又以股三十尺除倍积四百八十尺得十六尺卽勾数也【此有勾股积有股较求勾股法】
设如勾股积二百四十尺勾和五十尺问勾股各几何
法借一根为勾数则为五十尺少一根以一根自乘得一平方为勾自乘之数以五十尺少一根自乘得二千五百尺少一百根多一平方为自乘之数内减去勾自乘之一平方余二千五百尺少一百根为股自乘之数凡勾自乘之数与勾股相乘之数及股自乘之数为相连比例三率则以首率勾自乘之一平方与末率股自乘之二千五百尺少一百根相乘得二千五百平方少一百立方又以勾股积二百四十尺倍之得四百八十尺为中率自乘得二十三万零四百尺是为二千五百平方少一百立方与二十三万零四百尺相等二千五百平方少一百立方旣与二十三万零四百尺相等则一平方少二十五分立方之一必与九十二尺一十六寸相等乃以九十二尺一十六寸为扁方体积用带纵开立方法算之得一十六尺为一根之数卽勾数与勾和五十尺相减余三十四尺卽数又以勾十六尺除倍积四百八十尺得三十尺卽股数也【此有勾股积有勾和求勾股法】
设如有数十万为一率作相连比例四率使一率与四率相加与二率三倍等问二率三率四率各几何
法借一根为二率以二率一根自乘得一平方以一率十万除之得十万分平方之一为三率又以二率一根与三率十万分平方之一相乘得十万分立方之一以一率十万除之得一百亿分立方之一为四率将四率俱以百亿乘之则一率为一千兆二率为一百亿根三率为一十万平方四率为一立方【因四率为百亿分立方之一以百亿乘之则得一整立方故将余三率俱以百亿乘之其比例始相当也】乃以一率与四率相加得一千兆多一立方又以二率三倍之得三百亿根是为三百亿根与一千兆多一立方相等两边各减去一立方得三百亿根少一立方与一千兆相等乃以一千兆为实以三百亿根为法用割圜内新增益实归除法算之得三万四千七百二十九为一根之数卽相连比例之第二率也以二率自乘一率除之得一万二千零六十一为相连比例之第三率又以二率与三率相乘一率除之得四千一百八十七为相连比例之第四率乃以一率与四率相加得一十万零四千一百八十七与二率之三倍相等也【此卽求圜内容十八边法】
设如有数十万为一率作相连比例四率使一率与四率相加与二率两倍再加一三率之数等问二率三率四率各几何
法借一根为二率以二率一根自乘得一平方以一率十万除之得十万分平方之一为三率以二率一根与三率十万分平方之一相乘得十万分立方之一以一率十万除之得一百亿分立方之一为四率将四率俱以百亿乘之则一率为一千兆二率为一百亿根三率为一十万平方四率为一立方乃以一率与四率相加得一千兆多一立方又以二率倍之得二百亿根加一三率得二百亿根多十万平方是为二百亿根多十万平方与一千兆多一立方相等两边各减去一立方得二百亿根多十万平方少一立方与一千兆相等乃以一千兆为实以二百亿根为法用割圜内益实兼减实归除法算之得四万四千五百零四为一根之数卽相连比例之第二率也以二率自乘一率除之得一万九千八百零六为相连比例之第三率又以二率与三率相乘一率除之得八千八百一十四为相连比例之第四率乃以一率与四率相加得一十万零八千八百一十四与二率两倍加一三率之数相等也【此卽求圜内容十四边法】
设如有大小二正方面大方毎边为小方毎边之二倍若以两面积相乘得五万八千五百六十四尺问二方边面积各几何
法借一根为小方毎边之数则大方毎边数为二根以一根自乘得一平方为小方之面积以二根自乘得四平方为大方之面积以一平方与四平方相乘得四三乘方为两方面积相乘之数与五万八千五百六十四尺相等四三乘方旣与五万八千五百六十四尺相等则一三乘方必与一万四千六百四十一尺相等乃以一万四千六百四十一尺为三乘方积用开三乘方法算之得十一尺为一根之数卽小方每边之数倍之得二十二尺卽大方每边之数以十一尺自乘得一百二十一尺卽小方之面积以二十二尺自乘得四百八十四尺卽大方之面积两面积相乘得五万八千五百六十四尺以合原数也【此开三乘方法】
设如有解钱粮船不言数但知每船所载银鞘之数比船数加一倍每鞘内银数与共鞘数等其共银数为五百三十四万五千三百四十四两问船数鞘数各若干
法借一根为船数则每船所载鞘数为二根以一根与二根相乘得二平方为共鞘数亦为每鞘内银数自乘得四三乘方与五百三十四万五千三百四十四两相等四三乘方旣与五百三十四万五千三百四十四两相等则一三乘方必与一百三十三万六千三百三十六两相等乃以一百三十三万六千三百三十六两为三乘方积用开三乘方法算之得三十四为一根之数卽船数倍之得六十八卽每船之鞘数以船数三十四与每船所载鞘数六十八相乘得二千三百一十二为共鞘数亦卽每鞘内之银数自乘得五百三十四万五千三百四十四两以合原数也【此开三乘方法】
设如有一正方又有一长方二方面积共二十三万六千一百九十六尺长方之长比正方面积多二十四尺长方之阔比正方面积少二十尺问二方边面积各几何
法借一根为正方每边之数自乘得一平方为正方之面积则长方之长为一平方多二十四尺长方之阔为一平方少二十尺长阔相乘得一三乘方多四平方少
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