少四百八十尺为长方面积加正方面积之一平方得一三乘方多五平方少四百八十尺为二方之共面积与二十三万六千一百九十六尺相等两边各加四百八十尺得一三乘方多五平方与二十三万六千六百七十六尺相等乃以二十三万六千六百七十六尺为带纵三乘方积用带纵开三乘方法算之得二十二为一根之数卽正方每边之数自乘得四百八十四尺为正方面积加二十四尺得五百零八尺为长方之长减二十尺得四百六十四尺为长方之阔长阔相乘得二十三万五千七百一十二尺为长方面积两面积相加得二十三万六千一百九十六尺以合原数也【此带纵开三乘方法】
设如有一长方其面积五百二十七丈又有大小二正方其面积共一千二百五十丈大正方边与长方之长等小正方边与长方之阔等问长方之长阔各几何
法借一根为大方每边之数自乘得一平方为大方之面积则小方之面积为一千二百五十丈少一平方此大方面积与长方面积及小方面积为相连比例三率乃以首率大方面积一平方与末率小方面积一千二百五十丈少一平方相乘得一千二百五十平方少一三乘方又以长方面积五百二十七丈为中率自乘得二十七万七千七百二十九丈此两数为相等乃以二十七万七千七百二十九丈为带纵三乘方积用带纵开三乘方法算之得三十一为一根之数卽大方每边之数亦卽长方之长以长三十一丈除长方面积五百二十七丈得十七丈卽长方之阔亦卽小正方每边之数乃以三十一丈自乗得九百六十一丈为大方面积以十七丈自乘得二百八十九丈为小方面积两面积相加得一千二百五十丈以合原数也【此带纵开三乘方法】
设如有一方台俱系正方石砌成其用石之块数与每一石之面积等其共石之体积为五十三万七千八百二十四寸问用石之块数及每一石之边数若干
法借一根为每一石之边数自乘得一平方为每一石之面积亦卽所用石之块数再乘得一立方为每一石之体积与所用石之块数一平方相乘得一四乘方为共石之体积与五十三万七千八百二十四寸相等乃以五十三万七千八百二十四寸为四乘方积用开四乘方法算之得一十四寸为一根之数卽每一石之边数自乘得一百九十六寸为每一石之面积亦卽所用石之块数再乘得二千七百四十四寸为每一石之体积与所用石之块数相乘得五十三万七千八百二十四寸以合原数也【此开四乘方法】
设如有二十四正方体又有一扁方体共积八百二十九万四千四百寸扁方体之髙与正方体之边数等扁方体之长与阔俱与正方体之面积等问正方体扁方体之边数各若干
法借一根为正方体每边之数亦卽扁方体之髙数以一根自乘得一平方为正方体之面积亦卽扁方体之长与阔再乘得一立方为正方体之积以二十四乘之得二十四立方为二十四正方体之共积又以扁方体之长阔一平方自乘得一三乘方再以髙一根乘之得一四乘方为扁方体之积两积数相加得一四乘方多二十四立方与共体积八百二十九万四千四百寸相等乃以八百二十九万四千四百寸为带纵四乘方积用带纵开四乘方法算之得二十四寸为一根之数卽正方体之每边亦卽扁方体之髙自乘得五百七十六寸为正方体之面积亦卽扁方体之长与阔再乘得一万三千八百二十四寸为一正方体之积以二十四乘之得三十三万一千七百七十六寸为二十四正方体之共积又以扁方体之长阔五百七十六寸自乘再以髙二十四寸乘之得七百九十六万二千六百二十四寸为一扁方体积两积相加得八百二十九万四千四百寸以合原数也【此带纵开四乘方法】
设如有商人贸易第一次之银数比原本银加一倍第二次之银数与第一次银自乘再乘之数等第三次之银数与第一次银自乘又乘第二次银之数等将第三次之银数与第二次之银数相加得三万三千二百八十两问原本银数及每次银数各若干
法借一根为原本银数则第一次之银数为二根自乘再乘得八立方为第二次之银数以第一次自乘之四平方与第二次之八立方相乘得三十二四乘方为第三次之银数与第二次之银数八立方相加得三十二四乘方多八立方与三万三千二百八十两相等三十二四乘方多八立方旣与三万三千二百八十两相等则一四乘方多四分立方之一必与一千零四十两相等乃以一千零四十两为带纵四乘方积用带纵开四乘方法算之得四两为一根之数卽原本银数也倍之得八两为第一次之银数自乘再乘得五百一十二两为第二次之银数又以第一次银数八两自乘之六十四两与第二次之银数五百一十二两相乘得三万二千七百六十八两为第三次之银数与第二次之银数相加得三万三千二百八十两以合原数也【此带纵开四乘方法】
设如有一小长方体阔为髙之二倍长为髙之三倍又有一大长方体其每边之比例与小长方体同其髙数与小长方体长阔相乘之数等体积八万二千九百四十四尺问二长方体长阔髙各几何法借一根为小长方体之髙则阔为二根长为三根长阔相乘得六平方为大长方体之髙倍之得十二平方为大长方体之阔三因之得十八平方为大长方体之长长阔相乘再以髙乘之得一千二百九十六五乘方为大长方体积与八万二千九百四十四尺相等一千二百九十六五乘方旣与八万二千九百四十四尺相等则一五乘方必与六十四尺相等乃以六十四尺为五乘方积用开五乘方法算之得二尺为一根之数卽小长方体之髙倍之得四尺卽小长方体之阔三因之得六尺卽小长方体之长长阔相乘得二十四尺卽大长方体之髙倍之得四十八尺卽大长方体之阔三因之得七十二尺卽大长方体之长长阔相乘再以髙乘之得八万二千九百四十四尺以合原数也【此开五乘方法】
设如有大小二正方体大方体积比小方体积多一千七百四十四寸以小方边与大方边相乘得一百四十寸问二正方体之边数体积各几何法借一根为小方体每边之数以一根除一百四十寸得一根之一百四十寸为大方体每边之数以一根自乘再乘得一立方为小方体积数以一根之一百四十寸自乘再乘得一立方之二百七十四万四千寸为大方体积内减小方体积一立方余一立方之二百七十四万四千寸少一立方与一千七百四十四寸相等两边各以立方乘之得一千七百四十四立方与二百七十四万四千寸少一五乘方相等两边各加一五乘方得一五乘方多一千七百四十四立方与二百七十四万四千寸相等乃以二百七十四万四千寸为带纵五乘方积用带纵开五乘方法算之得十寸为一根之数卽小方体每边之数以十寸除一百四十寸得一十四寸卽大方体每边之数以小方体每边十寸自乘再乘得一千寸为小方体积以大方体每边十四寸自乘再乘得二千七百四十四寸为大方体积两体积相减余一千七百四十四寸以合原数也【此带纵开五乘方法】
设如有大小二正方体共积四千一百二十三寸以小方边与大方边相乘得四十八寸问二正方体之边数体积各几何
法借一根为小方体每边之数以一根除四十八寸得一根之四十八寸为大方体每边之数以一根自乘再乘得一立方为小方体积以一根之四十八寸自乘再乘得一立方之一十一万零五百九十二寸为大方体积两体积相加得一立方多一立方之一十一万零五百九十二寸与四千一百二十三寸相等两边各以立方乘之得四千一百二十三立方与一五乘方多一十一万零五百九十二寸相等两边各减一五乘方得四千一百二十三立方少一五乘方与一十一万零五百九十二寸相等乃以一十一万零五百九十二寸为带纵五乘方积用带纵开五乘方法算之得三寸为一根之数卽小方体每边之数以三寸除四十八寸得十六寸为大方体每边之数以小方体每边三寸自乘再乘得二十七寸为小方体积数以大方体每边十六寸自乘再乘得四千零九十六寸为大方体积数两体积相加得四千一百二十三寸以合原数也【此带纵开五乘方法】
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