御制数理精蕴 - 第2部分

戊乙为辛丁乙角之正亦即丙角之正故求甲丙边者以乙己与甲庚之比或己丙与庚丙之比皆同于乙丙与甲丙之比又如求甲乙边者以己丙与甲戊之比或乙己与戊乙之比皆同于乙丙与甲乙之比俱是半与半全与全之比例而各为相当比例四率也又图求甲丙边者则用甲丙为半径自丙角至甲乙界作丙丁垂线为甲角正又依甲丙度截丙乙于戊使戊乙与甲丙等【凡用正比例因在圜内皆同半径今使戊乙与甲丙相同而后正之大小乃见】乃自戊至甲乙界又作戊己垂线为乙角正观戊己小于丙丁则知甲丙【同戊乙】亦小于乙丙故甲角正丙丁与乙角正戊己之比同于乙丙边与甲丙边之比为相当比例四率也又如求甲乙边者则用甲乙为半径自乙角至甲丙界作乙丁垂线为甲角正又依甲乙度截乙丙于戊使戊丙与甲乙等乃自戊至甲丙界又作戊己垂线为丙角正观戊己小于乙丁则知甲乙【同戊丙】亦小于乙丙故甲角正乙丁与丙角正戊己之比同于乙丙边与甲乙边之比为相当比例四率也

又法求甲乙边以乙角六十度之余切五万七千七百三十五与丙角四十六度之余切九万六千五百六十九相加得一十五万四千三百零四为一率乙角之余割一十一万五千四百七十为二率乙丙边三十二丈为三率求得四率二十三丈九尺四寸六分有余即甲乙边求甲丙边则仍以两角余切相加之一十五万四千三百零四为一率而以丙角余割一十三万九千零一十六为二率仍以乙丙边三十二丈为三率求得四率二十八丈八尺二寸九分有余即甲丙边也此法葢以甲乙丙一鋭角三角形分为甲丁乙甲丁丙两直角三角形即如乙角六十度与象限九十度相减余三十度为甲丁乙三角形之甲角又丙角四十六度与象限九十度相减余四十四度为甲丁丙三角形之甲角乙角之余切戊己即甲丁乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角之余割己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲壬而丙角之余切庚辛即甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子丙角之余割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲子若乙角丙角两余切相加即两甲角正切相加之和如壬子甲癸壬与甲丁乙两三角形为同式形甲癸子与甲丁丙两三角形为同式形故甲壬子与甲乙丙两三角形亦为同式形是故求甲乙边者以壬子与甲壬之比同于乙丙与甲乙之比求甲丙边者以壬子与甲子之比同于乙丙与甲丙之比皆为相当比例四率也

设如甲乙丙鋭角三角形知甲角五十度乙角七十度乙丙边九丈七尺八寸求丙角甲乙边甲丙边各几何

法以甲角五十度与乙角七十度相加得一百二十度与半圜一百八十度相减余六十度为丙角求甲乙边则以甲角为对所知之角其正七万六千六百零四为一率以丙角为对所求之角其正八万六千六百零三为二率乙丙边为所知之边其数九丈七尺八寸为三率求得四率一十一丈零五寸六分有余即甲乙为所求之一边也求甲丙边则仍以甲角为对所知之角其正七万六千六百零四为一率而以乙角为对所求之角其正九万三千九百六十九为二率仍以乙丙边为所知之边其数九丈七尺八寸为三率求得四率一十一丈九尺九寸六分有余即甲丙为所求之又一边也此法所知之角与边虽与前法少异然总是有两角一边得其所余一角则仍与前法同矣

设如甲乙丙钝角三角形知乙角二十四度丙角三十六度三十分乙丙边七十九丈零一寸求甲乙边甲丙边各几何

法以乙角二十四度与丙角三十六度三十分相加得六十度三十分与半圜一百八十度相减余一百一十九度三十分为甲钝角求甲乙边则以甲钝角为对所知之角夫甲角既为钝角过九十度乃用其外角将甲角一百一十九度三十分与半圜一百八十度相减余六十度三十分为甲角之外角其正八万七千零三十六为一率【凡钝角之外角其正即钝角之正解见割圜集内】丙角为对所求之角其正五万九千四百八十二为二率乙丙边为所知之边其数七十九丈零一寸为三率求得四率五十三丈九尺九寸七分即甲乙为所求之一边也如求甲丙边则仍以甲角为对所知之角用其外角正八万七千零三十六为一率而以乙角为对所求之角其正四万零六百七十四为二率仍以乙丙边七十九丈零一寸为三率求得四率三十六丈九尺二寸三分有余【如既得甲乙边而以丙角为对所知之角其正为一率甲乙边为所知之边其数为三率所得亦同】即甲丙为所求之又一边也此法亦有两角一边但甲为钝角故用外角正求法畧异试以求甲乙边言之则甲乙边为半径于甲角之外作乙丁垂线则成乙甲丁之外角其乙丁垂线即乙甲丁外角之正又按甲乙边度截乙丙边于戊使戊丙与甲乙半径等作戊己垂线即丙角之正夫戊己丙与乙丁丙两勾股形为同式形故乙甲丁外角之正乙丁与丙角之正戊己之比即同于乙丙边与等甲乙边之戊丙之比为相当比例四率也其求甲丙边用外角正其理亦同

又法求甲乙边以乙角二十四度之余切二十二万四千六百零四与丙角三十六度三十分之余切一十三万五千一百四十二相加得三十五万九千七百四十六为一率乙角之余割二十四万五千八百五十九为二率乙丙边七十九丈零一寸为三率求得四率五十三丈九尺九寸七分有余即甲乙边求甲丙边则仍以两角余切相加之三十五万九千七百四十六为一率而以丙角之余割一十六万八千一百一十七为二率乙丙边七十九丈零一寸为三率求得四率三十六丈九尺二寸三分有余即甲丙边也此法葢以甲乙丙一钝角三角形分为甲丁乙甲丁丙两直角三角形其乙角之余切戊己即甲丁乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角之余割己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲壬而丙角之余切庚辛即甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子丙角之余割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲子乙角丙角两余切相加之数即两甲角正切相加之和如壬子甲癸壬与甲丁乙两三角形为同式形甲癸子与甲丁丙两三角形为同式形故甲壬子与甲乙丙两三角形亦为同式形是以求甲乙边者以壬子与甲壬之比同于乙丙与甲乙之比求甲丙边者以壬子与甲子之比同于乙丙与甲丙之比皆为相当比例四率也

设如甲乙丙钝角三角形知乙角三十三度三十八分四十秒丙外角五十五度五十三分乙丙边一十六丈求甲角甲乙边甲丙边各几何

法以乙角三十三度三十八分四十秒与丙外角五十五度五十三分相减余二十二度一十四分二十秒即甲角【取甲角当以丙外角与半圜一百八十度相减余为丙钝角仍以丙钝角与乙角相加又与半圜一百八十度相减余为甲角今止以丙外角内减乙角即得甲角者葢因丙外角与乙甲二内角相倂之度等又三角形三角相倂共为一百八十度与半圜等今于半圜内减去丙钝角所余为丙外角而一百八十度内减丙钝角则余乙甲二角共度是甲乙二角共度与丙外角之度等故于丙外角内减去乙角即甲角也】求甲乙边则以甲角为对所知之角其正三万七千八百四十七为一率以丙外角为对所求之角其正八万二千七百九十为二率乙丙边为所知之边其数一十六丈为三率求得四率三十五丈即甲乙为所求之一边求甲丙边则仍以甲角为对所知之角其正三万七千八百四十七为一率而以乙角为对所求之角其正五万五千四百零四为二率仍以乙丙边为所知之边其数一十六丈为三率求得四率二十三丈四尺二寸二分有余【如既得甲乙边而以丙外角为对所知之角其正为一率甲乙边为所知之边其数为三率所得亦同】即甲丙为所求之又一边也此法亦有两角一边与前法同但先有外角少异耳

又法求甲乙边以乙角三十三度三十八分四十秒之余切一十五万零二百五十九与丙外角五十五度五十三分之余切六万七千七百四十八相减余八万二千五百一十一为一率乙角之余割一十八万零四百九十三为二率乙丙边一十六丈为三率求得四率三十五丈即甲乙边求甲丙边则仍以两角余切相减之八万二千五百一十一为一率而以丙外角之余割一十二万零七百八十八为二率仍以乙丙边一十六丈为三率求得四率二十三丈四尺二寸二分有余即甲丙边也此法葢以乙丙边引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁乙甲丁丙两直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其余切戊己即甲丁丙三角形之甲角之正切如壬癸丙外角之余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲壬甲乙丙三角形之乙角之余切庚辛即甲丁乙三角形之甲角之正切如子癸甲乙丙三角形之乙角之余割辛乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲子甲丁丙三角形之丙角余切与甲丁乙三角形之乙角余切相减之数即两甲角之正切相减之较如子壬甲癸壬三角形与甲丁丙三角形为同式形甲癸子三角形与甲丁乙三角形为同式形故甲子壬三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以子壬与甲子之比同于乙丙与甲乙之比又子壬与甲壬之比同于乙丙与甲丙之比皆为相当比例四率也

设如甲乙丙鋭角三角形知甲角六十度甲乙边四十丈甲丙边二十六丈一尺零八分求乙角丙角及乙丙边各几何

法以甲乙边四十丈与甲丙边二十六丈一尺零八分相加得六十六丈一尺零八分为两边之和为一率又以甲乙边四十丈与甲丙边二十六丈一尺零八分相减余一十三丈八尺九寸二分为两边之较为二率以甲角六十度与半圜一百八十度相减余一百二十度为外角折半得六十度为半外角其正切一十七万三千二百零五为三率求得四率三万六千三百九十七为半较角之正切捡八线表得二十度为半较角与半外角六十度相减余四十度即乙角之度如以半较角二十度与半外角六十度相加得八十度即丙角之度也既得乙丙两角即以丙角为对所知之角其正九万八千四百八十一为一率以甲角为对所求之角其正八万六千六百零三为二率甲乙边为所知之边其数四十丈为三率求得四率三十五丈一尺七寸五分有余即乙丙为所求之边也如图甲乙丙鋭角三角形以甲角为心甲丙小边为半径作一丙丁戊圜截甲乙大边于戊将甲乙引长至圜界丁则甲丁甲戊俱为半径与甲丙等自丁至乙即两边之和自戊至乙即两边之较丁甲丙角即甲角之外角试自丙至戊作一丙戊线则成甲丙戊三角形其甲丙戊与甲戊丙二角并之与丁甲丙外角度等今折半用其正切即如用丁戊丙角之正切又心角与边角度等其切线亦等故自丙至丁作一丙丁线即丁戊丙角之正切又戊丙乙角即丙角大于甲戊丙角之较亦即乙角小于甲戊丙角之较故自圜界戊至乙丙边己作己戊线与丙丁平行即戊丙己角之正切且乙丁丙三角形与乙戊己三角形为同式形故两边之和丁乙与丁戊丙半外角切线丁丙之比即同于两边之较戊乙与半较角切线戊己之比为相当比例四率也

又法自丙角作丙丁垂线分为丙丁甲丙丁乙两直角形算之先用丙丁甲直角形求丙丁垂线及甲丁分边以丁角为对所知之角其正即半径十万为一率以甲角为对所求之角其正八万六千六百零三为二率甲丙边为所知之边其数二十六丈一尺零八分为三率求得四率二十二丈六尺一寸有余为丙丁垂线又以丁角为对所知之角其正即半径十万为一率以甲角六十度与九十度相减余三十度即甲丙丁角【即丙之分角】为对所求之角其正五万为二率【直用甲角余亦可】甲丙边为所知之边其数二十六丈一尺零八分为三率求得四率十三丈零五寸四分为甲丁分边既得甲丁分边乃与甲乙边四十丈相减余二十六丈九尺四寸六分为丁乙分边于是用丙丁乙直角形求乙角及乙丙边以丁乙二十六丈九尺四寸六分为一率丙丁二十二丈六尺一寸有余为二率半径十万为三率求得四率八万三千九百零八为乙角正切捡八线表得四十度为乙角以乙角四十度与甲角六十度相加得一百度与一百八十度相减余八十度为丙角既得乙丙两角则用两角一边求又一边之法算之即得乙丙边矣或先求乙丙边则以丁乙二十六丈九尺四寸六分为勾丙丁二十二丈六尺一寸为股求得三十五丈一尺七寸五分有余即乙丙边也

又法先求甲丁分边比例而得乙角以半径十万为一率【即丁直角之正】以甲角六十度之余五万为二率【即丙分角之正】以甲丙边二十六丈一尺零八分为三率求得四率十三丈零五寸四分为甲丁分边乃以甲丁分边十三丈零五寸四分为一率以甲丁分边与甲乙全边四十丈相减余二十六丈九尺四寸六分为丁乙分边为二率甲角六十度之余切五万七千七百三十五为三率求得四率一十一万九千一百七十六为乙角余切捡表得四十度即乙角也如甲角之戊庚一象限其庚己为甲角之余切而庚己甲与甲丁丙为同式形又如乙角之辛癸一象限其壬癸为乙角之余切而壬癸乙与乙丁丙为同式形故甲丁与丁乙之比同于庚己与壬癸之比也

又法用甲角余割余切求乙角丙角以甲丙边二十六丈一尺零八分为一率甲乙边四十丈为二率甲角六十度余割一十一万五千四百七十为三率求得四率一十七万六千九百一十一为甲角

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