○○○○○七之假数七归九因得○○○○○○三九○八六三即为一○○○○○九之假数至于一○○○○○○一以后之假数则并不用比例葢五空位零一之假数为四三四二九而前所得十五空位零一之假数亦为四三四二九其假数皆相同但递退一位故以五空位零一至九之假数从未截去一位【末位满五以上则进一数】前添一空位即得六空位零一至九之假数以六空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得七空位零一至九之假数以七空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得八空位零一至九之假数以八空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得九空位零一至九之假数
<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十八>
明对数之目用前所得九十九数求他假数法之一
凡求假数既得前九十九数而他数有由此乘除而得者则以假数相加减即得所求之假数其不由乘除而得者谓之数根【因无他数可以度尽即算法原本所谓连比例之至小数】则其假数亦不可以加减而得然有虽为数根而前九十九数中有为其根所生者则逆求之即得原根之假数
如前九十九数首位既皆为单位则以十乘之即为十以百乘之即为百以千乘之即为千以万乘之即为万故以二之假数与一十之假数相加即为二十之假数与一百之假数相加即为二百之假数与一千之假数相加即为二千之假数与一万之假数相加即为二万之假数又如十一之假数与一十之假数相加即为一百一十之假数以一○五之假数与一百之假数相加即为一百零五之假数与一千之假数相加即为一千零五十之假数眞数同则假数亦同但眞数进一位则假数首位加一数耳又如三与七相乘得二十一则以三之假数与七之假数相加即为二十一之假数二与十一相乘得二十二则以二之假数与十一之假数相加即为二十二之假数至于二十三二十九之类则不以乘除而得是为数根若夫五十三虽亦为数根然以五十三与二相乘则得一百零六前既得一○六之假数则与一百之假数相加即为一百零六之假数内减二之假数即为五十三之假数由此类推数自繁衍而其不可以乘除而得者则又以累乘累除之法而得之【详见后】要未有出于前九十九数之外者也
明对数之目用前所得九十九数求他假数法之二
凡求假数其眞数有以累乘而得者则以假数累加之即得所求之假数
如二万零七百零三为二万与一○三及一○○五累乘所得之数则以二万之假数四三○一○二九九九五六六与一○三之假数○○一二八三七二二四七一及一○○五之假数○○○二一六六○六一七六相加得四三一六○三三二八二一三即为二万零七百零三之假数若先有假数四三一六○三三二八二一三求眞数则视假数内足减二万之假数即以二万之假数书于原假数下相减余○○一五○○三二八六四七足减一○三之假数即以一○三之假数书于减余之下相减余○○○二一六六○六一七六与一○○五之假数恰合是知其假数为二万与一○三及一○○五之三假数相加所得之数则其眞数即知为三眞数累乘所得之数矣乃以二万与一○三相乘得二万零六百再以一○○五乘之得二万零七百零三即为所求之眞数也
明对数之目用前所得九十九数求他假数法之三
凡求假数而不知其眞数为何数累乘而得者则以所知前位之整数累除之除得累乘之眞数则以其假数累加之即得所求之假数
如求二十三之假数而不知其为何数累乘而得但知二十之假数为一三○一○二九九九五六六则以二十三为实以二十为法除之得一一又以两层所减数按位相加得二二即二十与一一相乘之数以之为法除原实二十三得一○四又以两层所减数按位相加得二二八八即二二与一○四相乘之数以之爲法除原实二十三得一○○五又以两层所减数按位相加得二二九九四四即二二八八与一○○五相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○二又以两层所减数按位相加得二二九九八九九八八八即二二九九四四与一○○○二相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○四又以两层所减数按位相加得二二九九九九一八八四【法止用十位故第十一位满五以上者进一数用若不满五则去之】即二二九九八九九八八八与一○○○○四相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○三又以两层所减数相加得二二九九九九八七八四即二二九九九九一八八四与一○○○○○三相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○五又以两层所减数按位相加得二二九九九九九九三四即二二九九九九八七八四与一○○○○○○五相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○○二又以两层所减数按位相加得二二九九九九九九八○即二二九九九九九九三四与一○○○○○○○二相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○○○八又以两层所减数按位相加得二二九九九九九九九八即二二九九九九九九八○与一○○○○○○○○八相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○○○○八是知二十三系二十与一一及一○四一○○五一○○○二一○○○○四一○○○○○三一○○○○○○五一○○○○○○○二一○○○○○○○○八一○○○○○○○○○八累乘所得之数乃以其各假数累加之得一三六一七二七八三六○六即为二十三之假数也若先有假数一三六一七二七八三六○六求眞数则视假数内足减二十之假数即以二十之假数书于原假数之下相减余○○六○六九七八四○四○足减一一之假数即以一一之假数书于减余之下相减余○○一九三○五一五五二四足减一○四之假数即以一○四之假数书于减余之下相减余○○○二二七一八一五九四足减一○○五之假数即以一○○五之假数书于减余之下相减余○○○○一○五七五四一八足减一○○○二之假数即以一○○○二之假数书于减余之下相减余○○○○○一八九○三九七足减一○○○○四之假数即以一○○○○四之假数书于减余之下相减余○○○○○○一五三二五四足减一○○○○○三之假数即以一○○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○二二九六六足减一○○○○○○五之假数即以一○○○○○○五之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○一二五一足减一○○○○○○○二之假数即以一○○○○○○○二之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○三八二足减一○○○○○○○○八之假数即以一○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○○三五足减一○○○○○○○○○八之假数即以一○○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减恰尽是知其假数为此十一假数累加所得之数而眞数即为此十一眞数累乘所得之数乃以此十一眞数累乘之得二十三即为所求之眞数也
又如求五千六百八十九之假数而不知其为何数累乘而得但知五千六百之假数为三七四八一八八○二七○○则以五千六百八十九为实以五千六百为法除之得一○一又以两层所减数按位相加得五六五六即五千六百与一○一相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○五又以两层所减数按位相加得五六八四二八即五六五六与一○○五相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○八又以两层所减数按位相加得五六八八八二七四二四即五六八四二八与一○○○八相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○三又以两层所减数按位相加得五六八八九九八○八九即五六八八八二七四二四与一○○○○三相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○三又以两层所减数按位相加得五六八八九九九七九六即五六八八九九八○八九与一○○○○○○三相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○○三又以两层所减数按位相加得五六八八九九九九六七即五六八八九九九七九六与一○○○○○○○三相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○○○五又以两层所减数按位相加得五六八八九九九九九五即五六八八九九九九六七与一○○○○○○○○五相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○○○○八是知五千六百八十九系五千六百与一○一及一○○五一○○○八一○○○○三一○○○○○○三一○○○○○○○三一○○○○○○○○五一○○○○○○○○○八累乘所得之数乃以其各假数累加之得三七五五○三五九三三七一即为五千六百八十九之假数也若先有假数三七五五○三五九三三七一求眞数则视假数内足减五千六百之假数即以五千六百之假数书于原假数之下相减余○○○六八四七九○六七一足减一○一之假数即以一○一之假数书于减余之下相减余○○○二五二六五三二九三足减一○○五之假数即以一○○五之假数书于减余之下相减余○○○○三六○四七一一七足减一○○○八之假数即以一○○○八之假数书于减余之下相减余○○○○○一三一七四四八足减一○○○○三之假数即以一○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○一四五八四足减一○○○○○○三之假数即以一○○○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○一五五五足减一○○○○○○○三之假数即以一○○○○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○二五二足减一○○○○○○○○五之假数即以一○○○○○○○○五之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○○三五足减一○○○○○○○○○八之假数即以一○○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减恰尽是知其假数为此九假数累加所得之数而眞数即为此九眞数累乘所得之数乃以此九眞数累乘之得五千六百八十九即为所求之眞数也
求八线对数
凡求八线之假数定半径为一百亿位数既多为用愈密且眞数十一位则假数首位为一○又取其便于用也先以正余之眞数求得假数复以正余之假数加减之即得切线割线之假数如一分之正为二九○八八八二求其假数得六四六三七二六一一○九又如六十度之正为八六六○二五四○三八求其假数得九九三七五三○六三一七如求六十度切线之假数则以六十度正之假数九九三七五三○六三一七为二率半径之假数一○○○○○○○○○○○为三率六十度余之假数九六九八九七○○○四三为一率二三率相加内减一率余一○二三八五六○六二七四即六十度正切线之假数如求六十度割线之假数则以半径之假数一○○○○○○○○○○○为二率又为三率六十度余之假数九六九八九七○○○四三为一率二率倍之内减一率余一○三○一○二九九九五七即六十度正割线之假数也
对数用法
设如一百二十三与四百五十六相乘问得几何法以对数表之一二三之假数二○八九九○五一一一四与四五六之假数二六五八九六四八四二七相加得四七四八八六九九五四一乃查假数四七四八八六九九五四一所对之眞数得五六○八八即五万六千零八十八为相乘所得之数也
设如三千四百五十六与二千六百七十九相乘问得几何
法以对数表之三四五六之假数三五三八五七三七三三八与二六七九之假数三四二七九七二七一三六相加得六九六六五四六四四七四因对数表假数首位止于四眞数止于五位故将相加所得假数首位之六暂当四查假数四九六六五四六四四七四相近畧少者为四九六六五四五三二一六其相对之眞数得九二五八六即为九二五八六○○【因假数首位多二数则眞数必多二位】又以九二五八六○○之假数与九二五八七○○之假数相减余四六九○七为一率以九二五八六○○与九二五八七○○相减余一○○为二率今相加所得之假数与九二五八六○○之假数相减余一一二五八为三率得四率二四即眞数九二五八六之后二位之数葢假数多四六九○七则眞数多一百今假数多一一二五八则眞数应多二十四为比例四率也乃以所得二四与九二五八六○○相加得九二五八六二四即九百二十五万八千六百二十四为相乘所得之数也大凡眞数二四位以后其假数之较相差无多故眞数即可与假数为比例若用前累乘累除之法固为甚密然较之比例则难而得数则同此对数表所以止于五位也
设如三千七百四十四以十六除之问得几何法以对数表之三七四四之假数三五七三三三五八四○一内减一六之假数一二○四一一九九八二七余二三六九二一五八五七四乃查假数二三六九二一五八五七四所对之眞数得三三四即二百三十四为归除所得之数也
设有米三十二石令一千零二十四人分之问毎一人应得几何
法以对
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