交
之防即未初各节气日影界
也仿此类推则得各时刻之
各节气日影界或用捷法另
取一纸画甲乙丙表式将乙
甲乙戊乙己类各节气线俱
画长些如求未初节气线则
以丙合于晷心丙而以甲乙
春秋分线
合于未初时刻线与赤道相
交之辛防乃于各节气线与
未初时刻线相交之处俱作
防识之即得未初各节气之
日影界余仿此乃将各时刻
线与莭气线相交之防作线
聫之即成节气线也葢春秋
分日行赤道而晷表之甲乙
指赤道故赤道线即为春秋
分线春秋分时日在赤道则
午正日影在甲春分以后秋
分以前日在赤道北夏至而
极北则影在南春分以前秋
分以后日在赤道南冬至而
极南则影在北故以甲乙为
半径而取各距度之切线为
各节气之
影界且切线与半径成直
角故先与甲乙取直角作
十字线而后得其切线也
【甲乙本直立之线与之取直角则戊端应在晷面下
己端应在空中出晷面上而其距午正线之逺近与
平面斜线之度同葢平与立之理一也】其以
冬夏至之影界为半径作
圜用分圆线求之者葢半
径与冬夏至距纬正之
比同于各节气距二分度
之正与各节气距纬正
之比故以甲戊为半径
作圜为一率又以乙戊为
半径作戊己弧则甲戊切
线即变为冬夏至距纬之
正为二率而用分圆线
所分各圜界即得各节气
距二分度之正为三率
其自圜界作线截戊己弧
即得各节气距纬之正
为四率既得各节气之距
纬度又自乙至各弧界作
线截戊甲己线则戊甲己
线仍为各节气距纬之切
线故用正即如用切线
也然虽得各节气之影界
而犹不在午正线之上故
自乙至各节气防作线交
于午正线乃自乙表端照
至各节气防所必经之处
故为午正节气日影界也
至于未初春秋分时则日
影至辛乙辛为影线成乙
甲辛勾股形甲乙为股【甲乙
表直立故为股】甲辛为勾乙辛为
故以甲乙度截午正线
于庚而取庚辛之度即与
乙辛影线之度等又乙辛
线与丙乙为直角成丙乙
辛立勾股形丙乙为勾乙
辛影线为股丙辛时刻线
为【葢丙乙为过极经圈乙辛为赤道影线经
圈与赤道无在而非直角故乙辛与影线亦无在而
非直角也】故以丙乙为半径作
圜而取庚辛度截圜界于
壬成丙壬辛平勾股形即
与丙乙辛立勾股形相等
【丙壬与丙乙等壬辛与乙辛等丙辛仍为线故成
相等勾股形】爰以壬辛影线为
半径与壬辛作直角取各
节气之切线为各节气日
影界皆与午正取节气线
之法同至其捷法乃以已
成之勾股已分之切线转
移用之尤为便捷也
向南壁上画立面日晷法【以北极出地四十度为准】
法先作直线及东西横线
相交于甲各成直角次作
甲乙丙晷表取甲角四十
度丙角五十度而乙为直
角乃依地平日晷作时刻
线法求之即得各时刻线
葢晷表之甲丙指天顶甲
乙指赤道故丙甲乙角定
为四十度则乙甲丁外角
为五十度即赤道之髙度
也丙乙指南极丙戊指地
平故甲丙乙角定为五十
度则乙丙戊外角为四十
度乃南极入地之度即北
极出地之度也甲乙既指
赤道丙乙既指南极则丙
乙即为过极经圈甲乙即
为半径午正太阳在正南
则影在正北若偏东偏西
若干度则其切线即其影
之长皆与地平日晷之法
同至于作节气线之法亦
与地平日晷同但赤道线
以上为春分前秋分后至
冬至之节气线赤道线以
下为春分后秋分前至夏
至之节气线葢春分以后
秋分以前日行赤道北夏
至而极北其度髙故其影
在下也秋分以后春分以
前日行赤道南冬至而极
南其度卑故其影在上也
向东壁上画立面日晷法【以北极出地四十度为准】
法先安甲乙直表与壁面
成直角【甲乙表不拘尺寸】次作甲
丙垂线及甲丁横线各成
直角次以甲为心作甲丙
丁象限弧用比例尺分圆
线比得赤道髙五十度之
弧为丁戊自甲至戊作甲
戊赤道线乃以甲乙表长
为半径用比例尺正切线
比得十五度三十度四十
五度六十度七十五度之
各切线于赤道线上作识
按识作十字线即成时刻
线也【甲防为卯正距甲十五度前为卯初后为
辰初距甲三十度为辰正距甲四十五度为巳初距
甲六十度为巳正距甲七十五度为午初】葢时
刻生于赤道春秋分时卯
正日出正东与表对射故
无影若向南若干度则其
切线即其影之长至于午
正则距卯正九十度切线
与割线平行故无切线而
日影即与壁面平行故亦
无影也若于向西壁上画
晷则以午初为未初巳正
为未正巳初为申初辰正
为申正辰初为酉初卯正
为酉正卯初为戌初余俱
与向东壁上画晷法同
向东壁上立面日晷画节气线法
法以乙表端至卯初防相
距之度为半径用比例尺
正切线比得二十三度三
十分二十二度四十分二
十度十二分十六度二十
三分十一度三十分五度
五十五分之各切线于卯
初线左右作识即得各节
气日影界【春秋分为赤道冬至距赤道南
夏至距赤道北各二十三度三十分小寒大雪距赤
道南芒种小暑距赤道北各二十二度四十分大寒
小雪距赤道南小满大暑距赤道北各二十度十二
分立春立冬距赤道南立夏立秋距赤道北各十六
度二十三分雨水霜降距赤道南谷雨处暑距赤道
北各十一度三十分惊蛰寒露距赤道南清明白露
距赤道北各五度五十五分】又以乙表
端至卯正防相距之度【即甲
乙表长】为半径比得各节气
距纬度之切线于卯正线
左右作识即为卯正各节
气日影界凡各时刻节气
俱以乙表端至各时刻防
相距之度为半径比得各
节气距纬度之切线于各
时刻线左右作识即得各
时刻各节气之日影界将各
防作线聨之即成节气线也
葢春秋分时日在赤道故其
影界即在赤道线之上其自
表端至各时刻防相距之度
即春秋分各时刻之影线也
若春分以后秋分以前日在
赤道北夏至而极北则影在
南春分以前秋分以后日在
赤道南冬至而极南则影在
北故以表端至各时刻防相
距之度为半径而取各节气
距纬度之切线即为各时刻
各节气之日影界聨之即成
节气线也向西壁法同
假数尺
法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取假数表内自一至一百所对之假数于分厘尺上取其度【如二之假数为○三○一则为三寸零一厘】截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十分作线与甲丁平行自一十以上又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间零数之度如一○至一一之斜线其与第一直线相交之处即一○一也故假数虽止于一百而可以当一千之用若尺止长一尺则如上图截去自一至九之数从一十起至一百止葢十之假数为一而百之假数为二今既截去一尺则假数即减去首位之一取其零数作寸分厘豪用时则以十为单总之假数尺虽始于一十终于一百小之则可以为单为零大之则可以为千为万皆因假数之首位虽递加一数而其后之零数皆同故可以进退为用惟在比例分明加减详审则其用自无穷也
设如有十二人每人给银四两五钱问共银几何法以假数尺之四分五厘【即从一十至四十五之度】与一十二分相加得五十四分即五十四两为共银数也葢一人与四两五钱之比同于一十二人与五十四两之比而真数以乘得者假数以加得之故以四分五厘当四两五钱以十二分当十二人两线相加即得五十四两为共银数也
设如有米四百八十石每石价银七钱五分问共价银几何
法以假数尺之七分五厘【即自一十至七十五之度】与四十八分相加过于一百分之度乃以其过于一百分之余度自假数尺十分以上量之得三十六分即三百六十两为共价银数也葢以四十八分当四百八十石是以单当十则相加过于一百分即为过于一千分矣而以其过于一千分之余度自十分以上量之是以十分当千分则三十六分即为三千六百分既以七分五厘当七钱五分故三千六百分即为三百六十两也
设如有银五百一十二两令三十二人分之问每人几何
法以假数尺之五十一分二厘内减去三十二分以其余度自假数尺十分以上量之得十六分即十六两为每人之银数也葢三十二人与五百一十二两之比同于一人与十六两之比而真数以除得者假数以减得之故以五十一分二厘当五百一十二两以三十二分当三十二人相减用其余度自十分以上量之是以十分当一分故十六分即为一分六厘既以五十一分二厘当五百一十二两则一分六厘即为十六两也
设如有米四十二石令六十人分之问每人几何法以假数尺之四十二分内减去六分【即自一十至六十之度】不足于一十之分乃以其不足于一十之度自假数尺一百以下减之余七十分即七斗为每人之米数也葢以四十二分当四十二石以六分当六十人而以相减不足于一十之分自一百以下减之是以百分当十分则所余之七十分即为七分矣且以六分当六十人是所减之数以单当十则减余之数即以十为单而单即为零故所余之七分即为七厘既以四十二分当四十二石故七厘即为七斗也
设如每银二两五钱兑钱四千七百五十文今有银八两问兑钱几何
法以假数尺之二十五分与四十七分五厘相减余度与八十分相加过于一百分乃以其过于一百分之余度自假数尺十分以上量之得十五分二厘即一万五千二百为共钱数也葢二两五钱与四千七百五十文之比同于八两与一万五千二百文之比故以二两五钱为一率四千七百五十为二率八两为三率得一万五千二百为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于二率内减去一率以其余度与三率相加而得四率其理同也又四率既过于一百分而以其过于一百分之余度自十分上量之是以十分当百分故十五分二厘即为一百五十二分既以四十七分半当四千七百五十则一百五十二分即为一万五千二百也
设如有银六两买米五石今有银四两八钱问买米几何
法以假数尺之六十分内减去五十分余度与四十八分相减得四十分即四石为米数也葢六两与五石之比同于四两八钱与四石之比故以六两为一率五石为二率四两八钱为三率得四石为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于一率内减去二率以其余度与三率相减而得四率其理同也总之二率大于一率者则四率亦大于三率故以二率多于一率之分与三率相加而得四率若二率小于一率者则四率亦小于三率故以二率小于一率之分与三率相减而得四率用虽不同而理实一也
正假数尺
法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至九十度之正假数减去首位之八于分厘尺上取其度【如一度之正假数为八二四一八减去首位之八余二四一八即为二寸四分一厘八豪】截甲丁乙丙二边依所截防作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数如自一度至二度之斜线其与第一直线相交之处即一度五分其与第二直线相交之处即一度十分葢一度有六十分故直线分为
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