心向
上与甲平处作短界线又用元度以甲为心向甲之平处作短界线两界线交处为己末作己甲线为所求又用法取甲至乙丙线为度于乙丙线近乙处任指一防为心作短界线于甲次用元度近丙处任指一防为心作短界线于丁末作
丁甲线为所求【出几何要法】
増从此题生一用法设一角两线求作四边形有
角与所设角等
法曰先作己丁戊角与丙等次截丁戊与甲等己丁与乙等末依丁戊平行作己庚
依丁己平行作庚戊为所求
三十二题【二支】
凡三角形之外角与相对之内两角并等凡三角形之内三角并与两直角等
先解曰甲乙丙角形乙丙边引至丁题言甲丙丁
外角与甲乙两内角并等
论曰试作戊丙线与甲乙平行即甲丙为甲
乙戊丙之交加线则乙甲丙角与相对之甲丙戊角等【本卷二九】又乙丁与两平行线相遇则戊丙丁外角与相对之乙内角等【本卷二九】故甲丙丁外角与甲乙两内角并等
后解曰甲乙丙三角并与两直角等
论曰甲丙乙甲丙丁两角并与两直角等【本巻十三】又与甲乙丙三角并等是三角亦与两直角等
増从此推知第一形当两直角第二形【可分三角形二】当
四直角第三形【可分三角形三】当六
直角第四形【可分三角形四】当八直
角从此可推至无穷
耕曰不论何形凡形四边可当四直角五边可当六直角六边可当八直角七边可当十直角从此可推至无穷
一糸凡诸种角形之三角并俱相等
二糸凡两腰等角形若腰间直角则余两角毎当直角之半腰间钝角则余两角俱小于半直角腰间鋭角则余两角俱大于半直角
三糸平边角形毎当直角三分之二
四糸甲乙丙平边角形以甲丁垂线分之其丁甲丙丁甲乙两角毎当直角三分之一乙丙两角毎
当直角三分之二
増从三糸可分一直角为三平分如甲乙丙直角于甲乙线上作甲乙丁平边角形【本巻一】次平分甲丁于戊【本巻九】末作乙戊线
三十三题
两平行相等线有两线聨之其两线亦平行亦相等
三十四题
凡平行线方形毎相对两边线各等毎相对两角各等对角线分本形两平分
解曰甲乙丙丁平行方形题言甲乙与丙丁两线甲丙与乙丁两线各等又言乙与丙两角丁与甲两角各等又言若作甲丁对角线
即分本形为两平分
三十五题
两平行方形若同在平行线内又同底则两形必等解曰甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲与丙丁乙己两平行方形同丙丁底题言两形等【等者谓所函之地等后言形等者多仿此】
先论己防在甲戊之内曰甲戊己乙两线等试于两线各减己戊余甲己戊乙亦等因显甲丙己戊丁乙两角形亦等【本巻四】次于两角
形毎加一丙丁戊己四边形即丙丁戊甲丙丁乙己两方形安得不等
次论己戊同防曰甲丙戊戊丁乙两角形等次于两角形毎加一丙戊丁角形即丙丁戊甲与丙丁戊乙两方形故等
后论己防在甲戊之外曰甲戊己乙两线等
而毎加一戊己线即甲己与戊乙两线亦等因显己甲丙乙戊丁两角形亦等次毎减一己戊庚角形加一庚丁丙角形即丙丁戊甲与丙丁乙己两方形故等
三十六题
两平行线内有两平行方形若底等则形亦等
解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊己与庚辛丁乙两平行方形而丙戊与辛丁两底
等题言两形亦等
论曰试作丙庚戊乙两线成庚丙戊乙方形此形与庚辛丁乙方形同庚乙底必等与甲丙戊己方形同丙戊底亦等【本巻三五】即甲丙戊己与庚辛丁乙两方形自相等
三十七题
两平行线内有两三角形若同底则两形必等
三十八题
两平行线内有两三角形若底等则两形必等
耕曰三角形当等髙等底方形之半两方形等则两角形必亦等论同前二题平行方形
増甲乙丙角形任于乙丙边平分于丁作丁甲线
即分本形为两平分
论曰试于甲角上作直线与乙丙平行则甲
乙丁甲丁丙两角形在平行线内两底等则两形亦等
二増甲乙丙角形从丁防求两平分法先作丁甲线次平分乙丙于戊作戊己线与甲丁平行末作
己丁线即分本形为两平分
论曰试作甲戊直线即甲戊己己丁戊两角形在平行线内同己戊底必等而毎加一己
戊丙形则己丁丙与甲戊丙两角形亦等夫甲戊丙为甲乙丙之半则己丁丙亦甲乙丙之半
三十九题
两三角形其底同其形等必在两平行线内
四十题
两三角形其底等其形等必在两平行线内
四十一题
两平行线内有一平行方形一三角形同底则方形倍大于三角形
四十二题
有三角形求作平行方形与之等而方形角有与所设角等
法曰求作平行方形与甲乙丙角形等而有丁角先平分乙丙边于戊次作丙戊己角与丁等【本巻十】次作甲庚直线与乙丙平行末作
丙庚线与戊己平行即得己戊丙庚方形为所求四十三题
凡方形对角线旁两余方形自相等
解曰甲乙丙丁方形有甲丙对角线题言两旁之壬戊与丁庚两余方形自相等
论曰甲乙丙甲丙丁两角形等又甲戊庚甲庚辛两角形庚壬丙庚丙己两角形各等于甲乙丙形内减甲庚戊庚壬丙两形
于甲丙丁形内减甲庚辛庚丙己两形则所存壬戊丁庚两余方形安得不等
四十四题
一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角有与所设角等
法曰求于甲线上作平行方形与乙等而有丙角先作己丁方形与乙等而戊己庚角与丙等次引
长丁戊庚己两线为戊壬己辛令各与甲等次作壬己对角线引出之次引长戊己丁庚两线而丁庚遇对角
线于癸末作癸子与庚辛平行作壬子与戊丑平行即己丑子辛平行方形为所求【论同本巻四二四三】
四十五题
有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角有与所设角等
法曰求作平行方形与甲乙丙五边形等而有丁
角先分五边形为甲乙丙三三角形次作戊己庚辛方形与甲等而有丁角次引长戊辛己庚作庚辛壬癸方
形与乙等而有丁角末复引前线作壬癸子丑方形与丙等而有丁角即此三形并成一平行方形为所求【自五以上仿此法论同本巻四二四四】
増题甲乙两形甲大乙小以乙减甲求较几何法先任作丁丙己戊方形与甲等次于丙丁线上作丁丙辛庚方形与乙等即得辛庚戊己为甲乙相减之较
四十六题
一直线上求立直角方形
法曰甲乙线上求立直角方形先于甲乙两界各立垂线为丙甲丁乙皆与甲乙线等末
作丙丁聨之即直角方形
四十七题
凡三边直角形对直角边上所作直角方形与余两边上所作直角方形并等
解曰甲乙丙角形于对乙甲丙直角之乙丙邉上作乙丙丁戊方形题言此方形与甲乙邉上所作甲乙己庚及甲丙邉上所作甲丙辛壬两方形并
等
曰试从甲作甲癸直线
与乙戊平行分乙丙邉于
子次自甲至丁至戊各作
直线末自乙至辛自丙至己各作直线其乙甲丙与乙甲庚既皆直角即庚甲甲丙是一直线【本巻十四】又丙乙戊与甲乙己既皆直角而毎加一甲乙丙角即甲乙戊与丙乙己两角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊两邉与丙乙己角形之己乙乙丙两
边等甲乙戊与丙乙己两
角既等则对等角之甲戊
与丙己两边亦等而此两
角形亦等矣夫乙庚方形
倍大于同乙己底同在平行线内之丙乙己角形而戊子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行线内之甲乙戊角形则乙庚方形不与戊子直角形等乎依显丙壬与癸丙两形亦等是戊丙一形与乙庚丙壬两形并等矣
一増凡直角方形之对角线上所作直角方形倍大于元形
二増设不等两方形一以甲为邉一以乙为邉求别作两方形自相等而并之又与元设两形并等法先作丙丁戊形令丙丁与甲等
丙戊与乙等而直角末于丁戊两端各作半直角两腰遇于己而等则己必直角【本卷三二】即己戊己丁上两方形自相等并之又与甲乙上两方形并等论曰丁戊上方形与丁丙丙戊上两方形并等又与丁己己戊上两方形并等是丁己己戊上两方形并与丁丙丙戊上两方形并亦等
三増多直角方形求并作一方形设不等五方形其边为甲乙丙丁戊先作己庚辛直角令己庚与甲等辛庚与乙等次作己辛线旋作己辛壬直角令辛壬与丙等次作己壬线旋作己壬癸直角令壬癸与丁等次作己癸线旋作己癸子直角令癸子与戊等末作己子线即己子线上所作方形为所求
论曰辛己上方形与甲乙上两方形并等己壬上方形与甲乙丙上三方形并等余仿此
四増甲乙丙三边直角形以两边求第三边长短之度如先得甲乙数六甲丙数八求乙丙之数其甲乙甲丙上两方形并既与乙丙上方形等甲乙之羃三十六【方形自乗之数曰羃】甲丙之羃六十四并之得百而乙丙之羃亦百开方
得十即乙丙之数也又设先得甲乙六乙丙十而求甲丙之数乙丙之羃百减甲乙之羃三十六余六十四开方得八即甲丙之数也求甲乙仿此四十八题
凡三角形之一边上所作直角方形与余边上所作两直角方形并等则对一边之角必直角
几何论约卷一
钦定四库全书
几何论约卷二之首
柘城杜知耕撰
界説二则
一界凡直角形之两边函一直角者为直角形之矩线如甲乙偕乙丙函甲乙丙直角得此两边即知直角形大小之度若别作两线与甲乙
乙丙各等亦知丁乙直角形大小之度则两线为直角形之矩线
二界诸方形有对角线者其两余方形任偕一角线方形为磬折形如乙丁方形不论斜直作甲丙对角线从庚防作戊己辛壬两线与方边平行而分本形为四方形其辛己戊壬为余方形辛戊己壬为角线方形两余方形任
与壬己一角线方形并形曲如磬谓之癸子庚磬折形用戊辛角线方形仿此
钦定四库全书
几何论约卷二
柘城杜知耕撰
一题
两直线任于一直线分为若干分其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内直角形并等
解曰甲与乙丙两线任于乙丙三分之为乙丁戊丙题言甲偕乙丙矩内形与甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩内形并等
论曰乙己全形即甲偕乙丙矩内形乙辛丁壬戊己三分形即甲偕乙丁丁戊戊丙三矩内形故三分形并与全形等
二题
一直线任两分之其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内形并等
三题
一直线任两分之其元线任偕一分线矩内直角形与分余线偕一分线矩内直角形及一分线上直角方形并等
解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙任偕一分线甲丙矩内形【不论甲丙为大分为小分】与分余丙乙偕甲丙
矩内形及甲丙上方形并等
论曰甲己为元线甲乙偕分线甲
丙矩内形甲丁为分线甲丙上方
形丙己为甲丙偕分余线丙乙矩内形是甲丁及丙己两分形并与甲己全形等
四题
一直线任两分之其元线上直角方形与各分线上两直角方形及两分线矩内形二并等
解曰甲乙线任分于丙题言甲乙线上方形与甲丙丙乙线上两方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙
两矩内形并等
论曰甲丁为甲乙元线上方形辛己为甲丙上方形丙壬为丙乙上方形甲庚
庚丁俱甲丙偕丙乙矩内形也故四形并与甲乙元线上甲丁方形等
糸凡直角方形之角线形皆直角方形
五题
一直线两平分之又任两分之其任两分线矩内形及分内线上方形并与平分半线上方形等
解曰甲乙线平分于丙又任分于丁其丙丁为分内线【丙丁线者丙乙所以大于丁乙之较又甲丁所以大于甲丙之较故曰分内线】题言甲丁丁乙矩内形及分内线丙丁上方形并与丙乙线上方形等论曰癸庚为丙丁上方形丁壬为丁乙
上方形丙辛辛己为两余方自相等辛己加一丁壬则与丙壬等即与甲癸等甲癸加一丙辛即甲丁偕丁乙矩内形岂不与卯寅丑磬折形等乎故加一丙丁上癸庚方形与丙乙线上方形等
六题
一直线两平分之又任引増一直线共为一全线其全线偕引増线矩内形及半元线上方形并与半元线偕引増线上方形等
解曰甲乙线平分于丙又从乙引増乙丁与甲乙通为一全线题言甲丁偕乙丁矩内形及半元线丙乙上方形并与丙丁上方形等论曰甲癸与丙辛等又丙辛与辛戊等【一卷】
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