】
【四三】即辛戊与甲癸亦等甲癸加一丙壬即甲丁偕丁乙矩内形与卯寅丑磬折形等矣故加一乙丙上癸庚方形与丁丙上丙戊方形等
七题
一直线任两分之其元线上及任用一分线上两方形并与元线偕一分线矩内形二及分余线上方形并等
解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙上及任用
一分线甲丙上两方形并【不论甲丙
为大分为小分】与甲乙偕甲丙矩内形
二及分余线丙乙上方形并等
论曰甲丁为甲乙上方形辛己为甲丙上方形丙壬为丙乙上方形甲己与辛丁皆甲乙偕甲丙矩内形也两矩内形及丙壬方形并与甲丁方形较多一辛己方形故与甲乙及甲丙上两方形并等八题
一直线任两分之其元线偕初分线矩内形四及分余线上方形并与元线偕初分线上方形等
解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙偕初分线丙乙矩内形四【不论丙乙为大分为小分】及分余线甲丙上方形并与甲乙偕丙乙【通作一线】上方形等
论曰丙己庚壬壬丁丁乙皆甲乙偕丙乙矩内形甲子为甲丙上方形此五形并与甲乙偕丙乙上方形
等甲乙偕丙乙上方形即癸己
全形也
九题
一直线两平分之又任两分之任分线上两方形并倍大于平分半线上及分内线上两方形并
解曰甲乙线平分于丙又任分于丁题言甲丁丁乙上两方形并倍大于平分半线甲丙上分余线
丙丁上两方形并
论曰自丙作丙戊垂线与甲丙等次作甲戊戊乙两腰次从丁作丁己垂线遇戊乙于己从己作己庚线与甲乙平行成戊庚己甲丙戊己丁乙角形三皆两腰等而直角末作甲己线成己戊甲甲丁己角形二
皆直角戊庚己形之戊己上方必倍大于己庚上方即倍大于等己庚之丙丁上方甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方又甲戊己形之甲己上方与戊己甲戊上两方形并等即甲己上方亦倍大于甲丙丙丁上两方形并又甲己上方与甲丁丁己上两方形并等即与甲丁及等丁己之丁乙上两方形并等夫甲丁丁乙上两方形并既等于甲己上方形必亦倍大于甲丙丙丁上两方形并十题
一直线两平分之又任引増一线共为一全线其全线上及引增线上两直角方形并倍大于平分半线上及分余半线偕引増线上两直角方形并
解曰甲乙线平分于丙又任引増乙丁题言甲丁线上及乙丁线上两方形并倍大于甲丙线上及丙丁线上两方形并
论曰自丙作丙戊垂线与甲丙等自戊至甲至乙各作腰线次从丁作己丁垂线引长之又引长戊乙相遇于庚次作戊己线
与丙丁平行成甲丙戊戊己庚庚丁乙角形三各两腰等而直角末作甲庚线成甲戊庚甲丁庚角形二皆直角甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方戊己庚形之戊庚上方必倍大于等戊己之丙丁上方又甲庚上方与甲戊戊庚上两方形并等即甲庚上方亦倍大于甲丙丙丁上两方形并又甲丁及等丁庚之丁乙上两方形并与甲庚上方形等是甲丁丁乙上两方形并亦倍大于甲丙丙丁上两方形并矣
十一题
一直线求两分之而元线偕初分线矩内形与分余线上方形等
法曰甲乙线求两分之令元线偕初分小线矩内形与分余大线上方形等先
于甲乙线上作甲丙方形次平分甲丁于戊作戊乙线次引戊甲线至己令戊己与戊乙等末截甲乙于庚令甲庚与甲己等即甲乙偕庚乙矩内形与甲庚上方形等为所求
论曰从庚作壬辛线与丁己平行次作己辛线与甲庚平行庚丙为甲乙乙庚矩内形己庚为甲庚上方形己壬为丁己偕甲己矩内形于己壬増一甲戊上方形必与等戊己之戊乙上方形等【本巻六】戊乙上方形又与戊甲甲乙
上两方形并等是戊甲甲乙上两方形并与己壬及戊甲上方形并亦等矣次各减同用之戊甲上方形所存甲丙己壬两形不亦等乎再各减同用之甲壬形所存甲乙乙庚矩内形【即庚丙形】与甲庚上方形【即己庚形】必相等【此题所求即理分中末线详六巻三十】
十二题
三边钝角形其对钝角边上方形大于余邉上两方形并其较为钝角旁任用一邉偕其引増线之与对角所下垂线相遇者矩内形二
解曰甲乙丙钝角形乙为钝角从余角下一垂线
与钝角旁一邉丙乙引増线遇于丁为直角题言对钝角之甲丙邉上方
形大于甲乙乙丙两邉上方形并其较为丙乙偕乙丁矩内形二
论曰丙丁线任分于乙即丙丁上方形与丙乙乙丁上两方形及丙乙偕乙丁矩内形二并等【本卷四】
甲丙上方形与甲丁丙丁上两方形并等即与甲丁乙丁丙乙上三方形
及丙乙偕乙丁矩内形二并等也又甲乙上方形与甲丁乙丁上两方形并等于甲乙上方形再増一丙乙上方形而与甲丙上方形较仍朒丙乙偕乙丁矩内形二也
十三题
三邉鋭角形其对鋭角邉上方形小于余邉上两方形并其较为鋭角旁任用一邉偕其对角所下垂线旁之近鋭角分线矩内形二
解曰甲乙丙鋭角形从甲角向对邉乙丙下一垂线分乙丙于丁题言对
丙鋭角之甲乙邉上方形小于甲丙乙丙邉上两方形并其较为乙丙偕丁丙矩内形二
论曰乙丙线任分于丁即乙丙及丁丙上两方形并与乙丙偕丁丙矩内形二及乙丁上方形并等【本卷七】又甲丙上方形与甲丁丁丙上两方形并等若甲丙乙丙上两方形并必与乙丙偕丁丙矩内
形二及甲丁乙丁上两方形并等又甲乙上方形与甲丁乙丁上两方形
并等即甲乙上方形与甲丙乙丙上两方形较则朒乙丙偕丁丙矩内形二矣
十四题
有直线形求作直角方形与之等
法曰甲无法四邉形求作方形与
之等先作乙丁形与甲等而直角
【一巻四五】任以丁丙邉引之至己令丙
己与乙丙等次平分丁己于庚其庚防若在丙则乙丁即是方形若在丙外即以庚为心丁为界作丁辛己半圜末于乙丙线引长抵圜界于辛即丙辛上方形与甲等
论曰自庚作庚辛线庚辛上方形与庚丙丙辛上两方形并等又等庚辛之庚己上方形与庚丙上方形及丁丙偕等丙乙之丙己矩内形【即乙丁形】并等【本巻五】此二率毎减去同用之庚丙上方形所存乙丁形与丙辛上方形安得不等
増题若先得方形之对角线所长于本形边之较而求本形边其较为甲乙先于甲乙上作甲丙方
形次作乙丁对角线引长至
戊令丁戊与甲乙等即得乙
戊线为所求
论曰依乙戊线作戊庚方形次引乙甲线至己末作戊甲线其己甲丁己戊丁两角必等【两皆直角】同减去丁戊甲形所存己甲戊己戊甲两角亦等角等则己甲己戊两腰必等故乙己角线大于戊己边之较为甲乙
耕曰前论止言当然而未及所以然今补一论以明之另作辛壬为乙己角线上方形次作癸子丑寅两形皆与庚戊等错综加于辛壬方形之上重叠一丑子方形而缺辰己卯午相等两方形凡两方形并与角线上一方形等【一卷四七増】则丑子一形必与两缺形并等次作辛未为卯午缺形之角线而辛未上方形必亦与两缺形并等则丑子形之未丑邉与辛未线必等夫午未为方邉小于角线之较与上圗甲乙等即与上圗丁戊等未丑与辛未等即与上圗丁乙等故并两线为方边
几何讑约巻二
钦定四库全书
几何论约卷三之首
柘城杜知耕撰
界説十则
一界凡圜之径线等或从心至圜界线等为等圜如
甲乙戊己两径等或丁丙辛庚从心至圜界等即两圜等
二界凡直线切圜界过之而不与界交为切圜线甲乙在圜外为切圜线若丙丁入圜内则交线也
三界凡两圜相切而不相交为切圜甲乙两圜相切
于外丙丁两圜
相切于内俱曰
切圜戊己庚辛则交圜也
四界凡圜内直线从心下垂线其垂线大小之度即直线距心逺近之度如甲乙距丁心近则丙丁垂线小戊己距心逺则丁庚垂线大
五界凡直线割圜之形为圜分如丁乙线割圜其乙甲丁乙丙丁皆为圜分圜分有三等过心者为半圜分函心者为圜大分不函心者
为圜小分又割线为圜分为弧
六界凡圜界偕直线作角为圜分角其在半圜内为
半圜角在大分内为大分角在小分内为小分角
七界凡圜界任于一防出两直线作一角为负圜分角甲乙丙圜分甲丙为底于乙防出两直线作甲
乙丙角为负甲乙丙圜分角
八界若两直线之角乗圜之一分为乗圜分角甲乙
丙丁圜内于甲防出甲乙甲丁
两线作乙甲丁角为乗乙丙丁
圜分角圜角三种之外又有一种为切边角或直线切圜如己庚辛或两圜相切于外如辛壬癸或两圜相切于内如癸壬子俱为切边角
九界凡从圜心以两直线作角偕圜界为三角形曰
分圜形
十界两负圜角相等即所负之圜分相似甲乙己与丁丙戊两负圜分角等则所负丙丁戊与乙甲己两圜分相似又两圜或不等其负
圜分角等即两圜分相似【相似者同为几分圜之几也】
钦定四库全书
几何论约巻三
柘城杜知耕撰
一题
有圜求心
解曰甲乙丙丁圜求心先于圜之两界任作一甲丙直线平分于戊次于戊作乙丁
垂线平分于己即己为圜心
糸因此推显圜内有直线分他线为两平分而为直角即圜心在其内
二题
圜界任取两防以直线相聨则直线全在圜内
三题
直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角为两直角必两平分
解曰甲乙丙丁圜有丙丁线过戊心平分甲乙线于己题言戊己必是垂线而己旁
为两直角又言己旁既为两直角则戊己必分甲乙为两平分
四题
圜内不过心两直线相交不得俱为两平分
解曰甲乙丙圜内有甲乙丙丁两直线俱不过已心而交于戊题言两直线或有一
线为两平分不得俱为两平分
五题
两圜相交必不同心
六题
两圜内相切必不同心
七题
圜径离心任取一防从防至圜界任出几线其过心线最大不过心线最小余线愈近心者愈大愈近不过心线者愈小而诸线中止两线等
解曰甲戊辛圜其径甲乙其心巳离心任取一防为庚从庚至圜界任出几线为庚丙庚丁庚戊题先言从庚所出诸
线惟过心庚甲最大次言不过心庚乙最小三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近心愈大愈近庚乙愈小后言庚乙两旁如庚戊庚辛止可出两线等不得有三线等
八题
圜外任取一防从防任出几线其至规内则过心线最大余线愈离心愈小其至规外则过心线最小余线愈近径愈小而诸线中止两线等
解曰乙己壬圜之外从甲防任出几线其一过心为甲壬余为甲辛甲庚甲己皆至规内题先言过
心之甲壬最大次言近心之甲辛
大于离心之甲庚甲庚又大于甲
己三言规外之甲乙为乙壬径余
者最小四言甲丙近径余小于甲丁甲丁又小于甲戊后言甲乙两旁止可出两线如甲丙甲子相等不得有三线等
九题
圜内从一防至界作三线以上皆等此防必是圜心论曰三线皆半径故等若非圜心所出止有两线等不得有三线等
十题
两圜相交止于两防
十一题
两圜内相切作直线聨两心引出之必至切界解曰甲乙丙甲戊丁两圜内相切于甲两心为巳为庚题言作直线聨庚己两心引
抵圜界必至甲
十二题
两圜外相切以直线聨两心必过切界
十三题
圜相切不论内外止以一防
十四题
圜内两直线等即距心之逺近等距心之逺近等即两直线等
解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙两线等题言两线距心逺近亦等又言两
线距心逺近等则两线亦等
十五题
径为圜内之大线其余线近心大于逺心
解曰甲丙己圜其心庚其径甲己其近心线为乙戊逺心线为丙丁题言甲己最大
乙戊近心大于丙丁逺心
十六题
圜径末之直角线全在圜外而直线偕圜界所作切边角不得更作一直线入其内其半圜分角大于各直线鋭角切边角小于各直线鋭角
解曰甲乙丙圜其心丁甲丙为径从甲作甲戊为甲丙之垂线题言戊甲全在圜外又言戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角
不得更作一直线入其内若作甲己线必割圜为分又言甲丙径线偕甲乙圜界所作丙甲乙圜分角大于各直线鋭角而戊甲垂线偕甲乙圜分所作戊甲乙切边角小于各直线鋭角
论曰甲戊下有直线既云必割圜为分即此直线偕戊甲所作角必大于切边角偕丙甲所作角必小于分圜角
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