为圜心増求圜分之心有一简法于甲乙丙圜分任取三防于甲于乙于丙以两线聨之各平分于丁于戊从丁戊各作垂线相遇于己即己
为圜心
用法圜界上任取四防各为心相向作界线两两相交为戊己庚辛各作直线交于
壬即壬为心
二十六题
等圜之乗圜分角或在心或在界等其所乗之圜分亦等
解曰甲乙丙丁戊己两圜等其心
为庚为辛有甲庚丙丁辛己两乗
圜角等或甲乙丙丁戊己两乗圜角等题言所乗之甲丙丁己两圜分亦等【乗圜角之在心即分圜角在界即负圜角随类异名】
二十七题
等圜之角所乗圜分等则其角或在心或在界俱等増题从此推显有甲丁乙丙两直线不相交而在一圜之内若甲乙与丁丙两圜分等则甲丁乙丙两线必平行若两线平行则甲乙
丁丙两圜分必等
二十八题
等圜内两直线等所割圜分大与大小与小各等
二十九题
等圜之圜分等则其割圜分之直线亦等
三十题
有圜分求两平分之
法曰甲乙丙圜分求两平分先于分之两界作甲丙线次平分于丁作乙丁垂线即
分圜分为两平分
三十一题
负半圜角必直角负大分角小于直角负小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角解曰甲乙丙圜其心丁其径甲丙于半圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角负甲乙丙半圜分乙甲丙角负乙甲丙大分又任作乙戊丙角负乙戊丙小分题先言负半圜之甲乙丙角为直角二言负大分之乙甲丙
角小于直角三言负小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙庚【谓丙乙直线偕乙庚曲线所作角】大圜分角大于直角后言丙乙辛【谓丙乙直线偕乙辛曲线所作角】小圜分角小于直角
耕曰试作乙壬过心线其壬丁丙分圜角倍大于壬乙丙负圜角甲丁壬分圜角倍大于甲乙壬负圜角甲丁壬壬丁丙两角并与两直角等则甲乙壬壬乙丙两角并必为一直角矣【本巻二十】
次论曰试作甲壬线成乙甲壬角与甲乙丙直角等而乙甲丙为其分故小于直角
三论曰甲乙戊丙四边形在圜内其乙甲丙乙戊丙相对两角并等两直角【本卷二二】而乙甲丙小于直角则乙戊丙必大于直角
四论曰甲乙丙直角为丙乙庚大圜分角之分则丙乙庚角大于直角
后论曰试引甲乙线至已成丙乙巳直角而丙乙辛角为其分故小于直角
一糸凡角形之内一角与两角并等其一角必直角甲乙丙角形之甲丙丁外角与相对之甲乙两角等而甲丙乙内角又与外角等【一巻三二】
非直角而何
二糸大分之角大于直角小分之角小于直角终无等于直角
三十二题
直线切圜从切界任作直线割圜为两分分内各任为负圜角其切线与割线所作两角与两负圜角交互相等
解曰甲乙线切丙丁戊圜于丙任作丙戊直线割圜为两分两分内任作丙丁戊丙
己戊两负圜角题言甲丙戊角与丙己戊角乙丙戊角与丙丁戊角交互相等
先论割圜线过心者曰甲丙戊乙丙戊两皆直角【一巻十八】而丙己戊丙丁戊两负半圜角亦皆直角【本卷】故交互相等
后论割圜线不过心者曰试作丙庚过心线次作戊庚线相聨丙戊庚为直角【以负半圜】
【故】即戊丙庚戊庚丙两角并等于一直角亦等于甲丙庚角此二率各减同用之戊丙庚角即所存甲丙戊与戊庚丙等也而丙己戊与丙庚戊元等【以所负之圜分等故】故甲丙戊与丙己戊交互相等又丙丁戊巳四边形之丙丁戊丙己戊两对角并等两直角【本巻二二】而甲丙戊乙丙戊两交角并亦等两直角【一巻十三】此二率各减一相等之甲丙戊丙己戊则所存之乙丙戊丙丁戊亦交互相等
三十三题
一直线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等先法曰设甲乙线丙角求线上作圜分而负圜角与丙等或直或鋭或钝若直角即
平分甲乙于丁以丁为心甲为界作半圜内作乙戊甲即直角【本巻三一】
次法曰若设丙鋭角先依甲乙线作丁甲乙鋭角与丙等次作戊甲为甲
丁之垂线次作己乙甲角与己甲乙角等而乙己线与戊甲线遇于己即以己为心甲为界作甲庚乙圜圜内依甲乙线作甲庚乙鋭角即与丙等论曰甲戊线过己心又为丁甲之垂线丁甲线必切圜于甲【本巻十六之糸】则丁甲乙与甲庚乙两角必交互相等
后法曰若设辛钝角依甲乙线作壬甲乙钝角与辛等余仿次法作甲癸乙钝角与辛等
三十四题
设圜求割一分而负圜分角与所设角等
法曰设甲乙丙圜求割一分作负圜角与丁等先作戊己线切圜于甲次作己
甲乙角与丁等末依甲乙线作甲丙乙角与丁等论曰己甲乙与甲丙乙两角交互相等【本巻三二】三十五题
圜内两直线交而相分各两分线矩内形等
解曰甲丁乙丙圜内有甲乙丙丁两线或俱过心或一过心一不过心或俱不过心
交而相分于戊题言甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内形等若俱过心其各分四线等即两矩内形亦等
先论曰圜内线独丙丁过心者又有二种其一丙丁平分甲乙线于戊试从心作己乙线其丙丁线既平分于己又任分于戊即丙戊
偕戊丁矩内形及己戊上方形并与等己丁之己乙上方形等【二巻五】又己戊戊乙上两方形并亦与己乙上方形等【一巻四七】是丙戊偕戊丁矩内形及己戊上方形并与己戊戊乙上两方形并亦等矣次每减一同用之戊己上方形则所存丙戊偕戊丁矩内形不与戊乙上方形亦等乎戊乙上方形即戊乙偕甲戊矩内形【以甲戊戊两线等故】 也
次论曰若丙丁任分甲乙线于戊即平分甲乙线于庚次从心作己庚己乙两线即己庚为甲乙之垂线其丙戊偕戊丁矩内形及己
戊上方形并与等己丁之己乙上方形等【二巻五】己戊上方形与己庚庚戊上两方形并等【一巻四七】己乙上方形与巳庚庚乙上两方形并亦等则丙戊偕戊丁矩内形及己庚庚戊上两方形并与己庚庚乙上两方形并等次毎减同用之己庚上方形即所存丙戊偕戊丁矩内形及庚戊上方形不与庚乙上方形等乎又甲戊偕戊乙矩内形及庚戊上方形并亦与庚乙上方形等【二巻五】此相等两率毎减同用之庚戊上方形则所余两矩内形等矣
后论曰甲乙丙丁两线俱不过心
相交于戊或一线平分如上图或
俱任分如下图皆自戊作庚辛过心线依上论推显甲戊偕戊乙丙戊偕戊丁两矩内形皆与庚戊偕戊辛矩内形等即两矩内形自相等
三十六题
圜外任取一防从防出两线一切圜一割圜其割圜全线偕规外线矩内形与切圜线上方形等
解曰甲乙丙圜外任取丁防从丁作丁乙线切圜于乙作丁甲线截圜界于丙题言甲丁偕丙丁矩内形与丁乙上方形等
先论丁甲过心者曰试作乙戊为乙丁之垂线其甲丙线平分于戊又引出一丙丁线即甲丁偕丙丁矩内形及等戊丙之戊乙上方形并与戊丁上方形等【二巻六】又戊丁上方形与戊乙丁乙上两方形并等【一巻四七】即甲丁偕丙丁矩内形及戊乙上方形并与戊乙丁乙上两方形并等毎减同用之戊乙上方形则所存甲丁偕丙丁矩内形与丁乙上方形等
后论丁甲不过心者曰试平分甲
丙于己次从戊心作戊己戊丙戊
丁戊乙四线即戊乙为丁乙之垂线戊己为甲丙之垂线其甲丙线既平分于己又引出一丙丁线即甲丁偕丁丙矩内形及己丙上方形并与己丁上方形等【二巻六】次毎加一戊己上方形即甲丁偕丁丙矩内形及己丙戊己上两方形并与己丁戊己上两方形并等夫己戊丙己上两方形并与戊丙上方形等又戊己己丁上两方形并与戊丁上方形等是甲丁偕丙丁矩内形及戊丙上方形并
与戊丁上方形等又戊丁上方形
与丁乙及等戊乙之戊丙上两方
形并等每减同用之戊丙上方形所存甲丁偕丁丙矩内形与丁乙上方形不亦等乎
一糸若从圜外一防任作几线各全线偕规外线
矩内形俱等
论曰各矩内形俱与乙丁线上方形等即
各矩内形自相等
二糸从圜外丁防作丁甲丁乙两切圜线两线必相等
论曰两线俱与丙丁偕丁戊矩内形等即两线自相等
三糸从圜外一防止可作两直线切圜
三十七题
圜外任于一防出两直线一至规外一割圜止规内而割圜全线偕割圜之规外线矩内形与至规外之线上方形等则止规外之线必切线
解曰甲乙丙圜其心戊从丁防作丁乙至规外遇圜界于乙又作丁甲割圜至规内
而截圜界于丙其丁甲偕丁丙矩内形与丁乙上方形等题言丁乙必切圜线【同前题反言之】
几何论约巻三
<子部,天文算法类,算书之属,几何论约>
钦定四库全书
几何论约巻四之首
柘城杜知耕撰
界説七则
一界此直线形居他直线形内此直线形为他直线形内切形
二界此直线形居他直线形外此直线形为他直线形外切形
三界圜内直线形以各角切圜界为圜内切形四界圜外直线形以各边切圜界为圜外切形五界直线形内圜圜界切直线形之各边为形内切圜
六界直线形外圜圜界切直线形之各角为形外切圜
七界直线之两端各抵圜为合圜线如甲乙丙丁两线俱为合圜线而戊己辛庚两线或至界或不至界或俱不至界皆不得为合圜线
钦定四库全书
几何论约卷四
柘城杜知耕撰
一题
有圜求作合圜线与所设线等
法曰甲乙丙圜求作合圜线与所设丁线等先作丙乙圜径若与丁等即是合线若丁小于径【若大于径即不可合】即于乙丙截
乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙线为所求【耕日当任指乙为心丁为度向圜界作短界线为甲即作甲乙线】
二题
有圜求作圜内三角切形与所设三角形等
法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先
作庚辛切圜线次作庚甲乙角与所设己角等次作辛甲丙角与所设戊角等末作乙丙线为所求论曰甲丙乙与庚甲乙两角甲乙丙与辛甲丙两角各交互相等【三巻三一】两角既等余一角必亦等三题
有圜求作圜外三角切形与所设三角形等
法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先引长戊己邉为庚辛次自圜界
抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作乙壬丙角与丁己辛等末于三线各作垂线成三角形为所求
论曰甲壬乙子四邉形之四角与四直角等【一巻三二】而壬甲子壬乙子皆直角即甲壬乙甲子乙两角并等两直角彼丁戊庚丁戊己亦等两直角【一巻十三】毎减一相等之丁戊庚甲壬乙则所存丁戊己与甲子乙必等依显五与己癸与丁角俱等【一巻三二】四题
三角形求作形内切圜
法曰甲乙丙角形求作形内切圜先于乙丙两角各平分之作乙丁丙丁两线相遇于丁次自丁至各邉作垂线为丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形之丁戊乙丁乙戊两角与乙丁己角形之丁己乙丁乙己两角各等乙
丁同边即丁戊丁己两边亦等【一巻二六】依显丁己丁庚两邉亦等夫三线俱等丁必圜心即以丁为心戊为界在己戊庚圜为所求【耕曰两分角线相遇处即圜心任作一垂线便可作圜不必更作余两线余两线为论理而设非作法所需也】
五题
三角形求作形外切圜
法曰甲乙丙角形求作形
外切圜先平分两邉【若直角钝
角则分直钝两旁之邉】于丁于戊作
丁己戊己为两邉之垂线相遇于己其己防或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙三线或在乙丙边上止作己甲线其甲丁己角形之甲丁与乙丁己形之乙丁两腰等丁己同腰丁之两旁俱直角即甲己己乙两底必等【一巻四】依显甲己己丙两底亦等夫三线俱等己必圜心即以己为心甲为界作乙甲丙圜为所求
耕曰两垂线相遇处为心即可作圜不必更作余线
一糸若圜心在三角形内必鋭角形在一邉必直角形在形外必钝角形
二糸若鋭角形圜心必在形内直角形必在一邉钝角形必在形外
増任设三防不在一直线可作过三防之圜其法于三防各作直线相聨成三角形依前法作圜用法甲乙丙三防先以甲乙各自为心相向作圜分相交于丁于戊次于甲丙亦如之相交于己于庚末作丁戊己庚两线引
长相交于辛即辛为圜心
六题
有圜求内切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊
次作甲乙乙丙等四线为所求
论曰四角皆负半圜分故皆直角【三巻三一】
七题
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