题
有圜求作外切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊
次作庚己己辛等四线各与两径平行为所求八题
直角方形求作形内切圜
法曰辛庚方形求作内切圜先平分四邉作甲丙乙丁两线相交于戊即以戊为心甲为界作甲乙丙丁圜为所求
九题
直角方形求作形外切圜
法曰甲丙方形求作外切圜先作甲丙乙丁对角线相交于戊即以戊为心甲为界
作圜为所求
十题
求作两邉等三角形底上两角各倍大于腰间角法曰先任作甲乙线次分于丙令甲乙偕丙乙矩内形与甲丙上方形等【二巻十一】次以甲为心乙为界作乙丁圜次作乙丁合圜线与甲丙等【本巻一】末作甲丁线相聨即两
边等三角形而乙丁两角倍大于甲角
论曰试作丙丁线成甲丙丁角形外作甲丙丁切圜【本巻五】其甲乙偕丙乙矩内形与甲丙上方形等亦与乙丁上方形等而丁乙必甲丙丁圜之切线【三巻二七】即乙丁丙角与甲角交互相等【三巻三二】于两角毎加一丙丁甲角即甲丁乙全角与丙甲丁丙丁甲两角并等又乙丙丁外角亦与丙甲丁丙丁甲两内角并等【一巻三二】即乙丙丁角与甲丁乙角等而与相等之甲乙丁角亦等乙丙丁丙乙丁两角既等则丙丁乙丁两线必等又乙丁元与甲丙等是丙丁与甲丙亦等两线既等则甲与甲丁丙两角亦等夫乙丁丙丙丁甲既俱等于甲角是甲丁乙倍大于甲角而相等之甲乙丁角亦倍大于甲角十一题
有圜求作圜内五邉切形其形等边等角
法曰甲丙戊圜求作等邉等角五邉内切形先作己庚辛两邉等角形而庚辛两角俱倍大于己角【本巻十】次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛等次平分甲丙丁甲丁丙两角作丙戊丁乙两线末作甲乙乙丙等四线为所求
论曰甲丙丁甲丁丙两角皆倍大于丙甲丁角今平分两角即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲五角皆等五角所乗之五圜分亦等五圜分等则五邉等矣又甲乙丙丁圜分与乙丙丁戊圜分等则乗两圜分之甲戊丁与乙甲戊两角亦等依显余三角俱等而五角等矣
十二题
有圜求圜外五邉切形其形等邉等角
法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉外切形等邉等角先作圜内五邉切形次从巳心作已甲巳乙等五线次从此五线作庚辛辛壬
等五垂线为所求
十三题
五边形求作形内切圜
法曰甲乙丙丁戊五边形求作内切圜先平分甲戊邉于庚平分乙丙边于辛次作庚丙辛戊两垂线相交于己末以己为心
庚为界作圜为所求
十四题
五边形求作形外切圜
法曰甲乙丙丁戊五边形求作外切圜先平分乙丙丁丙丁戊两角作庚丙辛丁两线相交于己末以己为心丙为界作圜为所求
十五题
有圜求作圜内六邉切形其形等邉等角
法曰甲丙戊圜其心庚求作六邉内切形等邉等角先作甲丁径线次以丁为
心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作庚丙庚戊各引长为丙己戊乙末以甲乙乙丙等六线聨之为所求
耕曰两圜既等其庚丙丁角形之庚丁庚丙同为上圜之半径必等而庚丁丙丁同为下圜之半径亦等【六三角形俱依此推显】三邉等故三角亦等也分角等故全角亦等也
一糸凡圜之半径为六分圜之一之分何者庚丁与丁丙等故也
二糸依前十二十三十四题可作六邉形在圜外又六邉形内外俱可作切圜
十六题
有圜求作圜内十五邉切形其形等边等角
法曰甲乙丙圜求作十五邉内切形等邉等角先作甲乙丙内切圜平邉三角形【本巻二】毎一邉当圜三分之一即当十五分之五次从甲作甲戊己
庚辛五邉形毎一邉当圜五分之一即当十五分之三平分戊乙于壬则壬乙得十五分之一即依壬乙作十五合圜线为所求
一糸依前十二十三十四题可作外切圜十五邉形又十五邉形内外俱可作切圜
増题若圜内从一防设不等两内切形之各一邉此两邉各为若干分圜之一其两若干分相乗之数即后作形之分数其两若干分之较数即两邉相距之圜分如甲丙戊圜从甲防作甲乙为六邉形之一邉甲丙为
五邉形之一邉甲丁为四邉形之一邉甲戊为三邉形之一邉甲乙命六甲丙命五较数一即乙丙圜分为三十邉形之一邉何者五六相乗得三十故当为三十边也较数一故当为一邉也又甲乙圜分为六分圜之一即三十分之五甲丙为五分圜之一即三十分
之六则乙丙得三十分之一也依显乙丁为二十四邉形之二邉何者甲乙命六甲丁命四四六相乗得二十四又较数二也因推乙戊为十八邉形之三邉丙戊为十五邉形之二邉丁戊为十二邉形之一邉也
二糸凡作形于圜之内等邉则等角何者形之邉所乗之圜分皆等故【二巻二七】凡作形于圜之外从圜心至角各作直线依本巻十二题可推各角等三糸凡等邉形可作在圜内即可作在圜外又形内外俱可作圜
四糸凡圜内有一形欲作他形其邉倍于此邉即分此一邉所合之圜分为两平分而毎分各作一线即三邉可作六邉四邉可作八邉仿此以至无穷
又补题圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉为偶数而等如甲乙丙丁戊两圜同以己为心先作甲丙径线截丁戊圜于戊次从戊作庚辛为甲戊之垂线次平分甲乙丙于乙
再平分丙乙于壬再平分丙壬于癸丙癸小于丙庚作丙癸合线即所求多邉形之一邉也
几何论约巻四
钦定四库全书
几何论约巻五之首
柘城杜知耕撰
界説十九则【前四巻所论皆独几何也此下二巻所论皆自两以上多几何同例相比者也此巻以虚例相比絶不及线面体诸类六巻则论线角圜界诸类及诸形之同类相比者也】
一界分者几何之几何也小能度大以小为大之分小能度大者谓小几何度大几何能尽大之分者也如甲为乙三分之一为丙七分之一无赢不足也若戊为丁之一即赢为二即不足己为丁之三即赢为四即不足是不尽大则丁不能为戊己之分也【本书所论皆指能尽分者】
二界小几何能度大者则大为小之几倍
三界比例者两几何以几何相比之理凡两几何相比以此几何比他几何则此为前率他为后率反用之以他几何比此几何则他为前率此为后率凡比例有二种有大合有小合以数可明者为大合非数可明者为小合本篇所论皆大合也凡大合有两种有等者有不等者等者谓相同之比例其不等者又有两种有以大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十是也大不等者又有五种一为几倍大谓大几何内有小几何或二或三或八或十也二为等一分谓大几何内既有小之一别一分此一分或元一之半或三分之一四分之一也三为等几分谓大几何内既有小之一别几分不能合为一尽分者也四为几倍大一分五为几倍大几分小不等者亦有五种俱与上五种相反为名
四界两比例之理相似为同理之比例如甲与乙两几何之比例偕丙与丁两几何之比例其理相似为同理之比例同理又有二种一为连比例谓相连不断如后图戊与己比己又与庚比是也二为断比例谓居中两率一取不再用如前圗甲自与乙比丙
自与丁比是也
五界两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何如三尺之线与八尺之线三尺之线三倍其身即大于八尺之线是为有比例之线也又如方形之一边与其对角线虽非大合之比例可以数明而方边一倍之即大于对角线是亦有小合比例之线也又圜径四倍之即大于圜界则径与界亦有小合比例之线也又如初月形别作一方形与之等【末巻一増附】即曲直两线相视有大有小亦有比例也又方与圜虽不能为相等之形然两形相视有大有小亦不可谓无比例也又直线角与曲线角亦有比例如丁乙戊角与甲乙丙直角等壬庚癸
角与己庚辛钝角等卯丑辰角与
子丑寅鋭角等此五者皆疑无比
例而实有比例者也他若有穷之线与无穷之线虽为同类实无比例何者有穷之线毕世倍之不能胜无穷之线故也又线与面面与体各自为类亦无比例何者毕世倍线不能及面毕世倍面不能及体故也又切圜角与直线鋭角亦无比例何者毕世倍切圜角不能及至小之鋭角故也此后诸篇中毎有倍此几何令至胜彼几何者故备着其理以需后论也
六界四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例则第一与第三之几倍偕第二与第四之几倍其相视或等或俱大或俱小恒如是如第一为三第二为二第三为六第四为四今以第一之三第三之六同加四倍为十二为二十四次以第二之二第四之四同加七倍为十四为二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四而倍第三之二十四亦小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍为十八为三十六次以第二之二第
四之四同加九倍为十八为三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八而倍三之三十六亦等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍为九为十八次以第二之二第四之四同加二倍为四为八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之十八亦大于倍第四之八也或俱等或俱大或俱小累试之皆合则三与二偕六与四得为同理之比例【连比例仿此】
七界同理之几何为相称之几何
八界四几何若第一之几倍大于第二之几倍而第三之几倍不大于第四之几倍则第一与二之比例大于第三与四之比例此反上六界而释不同理之比例
九界同理之比例至少必三率
十界四几何为同理之连比例则第一与三为再加之比例第一与四为三加之比例仿此以至无穷
十一界同理之几何前与前相当后与后相当上文六界八界谓几何之几倍常以一与三同倍二与四同倍以一与三为两前二与四为两后故也
十二界有属理更前与前更后与后如甲与乙之比例若丙与丁今更推甲与丙若乙与丁为属理【下言属理皆省曰更证见本巻十六】此理可施于四率
同类之比例若两线与两面或两面与两数不为同类即不得相更也【此下説比例六理皆后论所需也】
十三界有反理取后为前取前为后如甲与乙之比例若丙与丁今反推乙与甲若丁与丙为反理【证见本巻四之糸】此理亦可施于异类
十四界有合理合前与后为一而比其后如甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己今合甲丙为
一而比乙丙合丁己为一而比戊己即推甲丙与乙丙若丁己与戊己是合两前两后率而比两后率也【证见本巻十八】
十五界有分理取前之较而比其后如甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今分推甲乙之较
甲丙与丙乙若丁戊之较丁己与己戊【证见本巻十七】
十六界有转理以前为前以前之较为后【图同前界】如甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今转推甲乙与甲丙若丁戊与丁己【证见本巻十九】
十七界有平理此甲乙丙三几何彼丁戊己三几何相为同理之连比例者甲与乙若丁与戊乙与丙若戊与己也今平推首甲与尾丙若首丁与尾己【平理之分又有二种如后二界】
十八界有平理之序者甲与乙若丁与戊而后乙与他率丙若后戊与他率己是序也今平推甲与丙若丁与己也【此与十七界同重宣序义以别后界也证见本巻二二】
十九界有平理之错者甲与乙若戊与己又此之后乙与他率丙若彼之他率丁与前戊是错也今平推甲与丙若丁与己也
【戊证见本乙巻二三】
増甲与乙为比例即此丙必有彼丁相与为比例若甲与乙也丙与丁为比例必有彼戊与此丙为比例若丙与丁也
钦定四库全书
几何论约巻五
柘城杜知耕撰
一题
此数几何彼数几何此之各率同几倍于彼之各率则此之并率亦几倍于彼之并率
解曰甲乙此二几何大于丙丁彼二几何各若干倍题言甲乙并大于丙丁并亦若干倍
二题
六几何其第一倍第二之数等于第三倍第四之数而第五倍第二之数等于第六倍第四之数则第一第五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数解曰一甲乙倍二丙之数如三丁戊倍四巳之数又五乙庚倍二丙之数如六戊辛倍四巳之数题言一甲乙五乙庚并倍二丙之数若三丁戊六戊辛并倍四巳之数
三题
四几何第一之倍第二若第三之倍第四次倍第一又倍第三其数等则第一所倍之与第二若第三所倍之与第四
解曰一甲所倍于二乙若三丙所倍于四丁次作戊巳两几何同若干倍于甲于丙题言以平理推戊倍乙若巳倍丁
四题
四几何第一与二偕第三与四比例等第一第三同任为若干倍第二第四同任为若干倍则第一所倍与第二所倍第三所倍与第四所倍比例亦等解曰甲与乙偕丙与丁比例等次作戊与巳同任若干倍于一甲
【打 印】 【来源：读书之家-dushuzhijia.com】
