与丁戊乙亦同在平行线内则甲戊丁与丁戊乙两形之比例必若甲丁丁乙两底也【本巻一】依显甲戊与戊丙两底之比例亦若甲戊丁与丁戊丙两形也是甲丁与丁乙亦若甲戊与戊丙矣【五巻十】
三题
三角形以一直线任分一角为两平分分对角边为两分则两分之比例若余两邉三角形分角线所分对角邉之比例若余两邉则所分角为两平分解曰甲乙丙角形以甲丁线平分乙甲丙角题言乙丁与丁丙若乙甲与甲丙又言乙丁与丁丙若乙甲与甲丙则甲丁线分乙甲丙角必
为两平分
论曰试作乙戊与甲丁平行次引长丙甲线至戊其甲乙戊与乙甲丁相对两角必等外角丁甲丙与内角戊亦等【一巻二九】今乙甲丁与丁甲丙又等即甲乙戊角与戊角亦等而甲戊与甲乙两腰亦等矣【一巻六】则戊甲与甲丙必若乙甲与甲丙夫戊甲与甲丙又若乙丁与丁丙【本巻二】是乙甲与甲丙若乙丁与丁丙矣
四题
凡等角三角形其在等角旁之各两腰相与为比例必等而对等角之邉为相似邉
解曰甲乙丙丁丙戊两形相当之各角俱等题言甲乙与乙丙之比例若丁丙与丙戊甲乙与甲丙若丁丙与丁戊甲丙与乙丙若丁
戊与丙戊而毎对等角之邉各相似相似者谓各前各后率各对本形之相当角
论曰试并置两形令两底成一直线次引长乙甲戊丁两线相遇于己成乙己戊形其甲丙与己戊平行则戊丙与丙乙若己甲与甲乙即若等己甲之丁丙与甲乙也更之甲乙与乙
丙若丁丙与丙戊也又丁丙与己乙平行则乙丙与丙戊若己丁与丁戊即若等己丁之甲丙与丁戊也更之即乙丙与甲丙若丙戊与丁戊也依显甲乙与甲丙亦若丁丙与丁戊也
糸凡角形内之直线与一邉平行而截一分为角形必与全形相似如甲乙丙角形作丁戊直线与乙丙平行而截一分为甲丁戊形必与
甲乙丙全形相似
増题凡角形之内任依乙丙邉作丁戊平行线于乙丙邉任取己防向甲角作甲己直线分丁戊于庚则乙己与己丙之比例必若丁庚与
庚戊
论曰甲巳乙甲庚丁两角形既相似即甲己与己乙若甲庚与庚丁也更之即甲己与甲庚若己乙与庚丁也【五巻十六】依显甲己与甲庚若己丙与庚戊则乙己与丁庚亦若己丙与庚戊也【五巻十一】更之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也【五巻十六】
五题
两三角形其各两邉之比例等即两形为等角形而对各相似邉之角各等
解曰甲乙丙丁戊己两角形其甲乙与乙丙若丁戊与戊己乙丙与甲丙若戊
己与丁己甲丙与甲乙若丁己与丁戊题言此两形为等角形而对各相似邉之角甲与丁乙与戊丙与己各等【论同前题】
六题
两三角形之一角等而等角旁之各两邉比例等即两形为等角形而对各相似邉之角各等
解曰甲乙丙丁戊己两角形其乙与戊两角等而甲乙与乙丙若丁戊与戊己
题言余角丙与己甲与丁俱等【论同四题】
七题
两三角形第一角等第二相当角各两旁之邉比例等第三相当角或俱小于直角或俱不小于直角即两形为等角形而对各相似邉之角各等
解曰甲乙丙丁戊己两角形其第一甲角与丁角等第二丙角两旁之甲丙乙丙两邉偕相当己角两旁之丁己戊己两邉比例
等其第三相当角乙与戊或俱小于直角或俱不小于直角题言两形之丙与己乙与戊角俱等八题
直角三邉形从直角向对邉作一垂线分本形为两直角三邉形即两形皆与全形相似亦自相似解曰甲乙丙直角三邉形从直角作甲丁垂线题言所分甲丁丙甲丁乙两形皆与全形
相似亦自相似
论曰甲乙丙甲丁丙两形既各以乙甲丙甲丁丙为直角而丙角又同其余一角必等而两形为等角形等角旁之各两邉比例必等依显甲丁乙与甲乙丙全形亦相似夫两形既各与全形相似即两形亦自相似
糸从直角作垂线即此线为两分对邉线比例之中率而直角旁两邉各为对角全邉与同方分邉比例之中率何者丙丁与甲丁若甲丁与乙丁也故甲丁为丙丁乙丁之中率又乙丙与丙甲若丙甲与丙丁也故丙甲为乙丙丙丁之中率又乙丙与乙甲若乙甲与乙丁也故乙甲为乙丙乙丁之中率
九题
一直线求截所取之分
法曰甲乙直线或截取三分之一先从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命分之平度如甲丁戊己为三分次
作己乙直线末作丁庚与己乙平行即甲庚为甲乙三分之一
论曰丁庚既与己乙平行即己丁与丁甲若乙庚与庚甲合之己甲与甲丁若乙甲与庚甲也甲丁既为己甲三之一则庚甲亦乙甲三之一矣十题
一直线求截各分如所设之截分
法曰甲乙线求截各分如所设甲丁戊丙之比例先以甲乙甲丙相聨成丙甲乙角次作丙乙线相聨末从丁从戊作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己于庚若甲丙之甲丁丁戊戊丙也
从此题作一用法甲乙直线求平分若干分即从甲任作甲丙为若干平分余同前
又简法如甲乙线求五平分即从乙任作丙乙线为丙乙甲角次任作丁戊与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为丁己庚辛壬癸令丁癸小于甲乙次从甲过癸作甲子线
遇乙丙于子末从子作子壬子辛子庚子己四线各引至甲乙线为丑寅卯辰五平分
又简法如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分即用元度从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四线即分甲乙
于己辰卯寅为五平分
又用法先作一器如丙丁戊己任平分为若干格今欲分甲乙线为五平分即取甲乙之度一端抵
戊丙线一端抵庚辛线如甲乙大于戊庚即渐移之令合线若至壬即戊壬之分为甲乙之分
増题有直线求两分之而两分之比例若所设两线之比例【法同前】
又増题甲乙丙丁两线各三分于戊己于庚辛其甲戊与戊乙若丙庚与庚丁甲己与己乙若丙辛与辛丁也即中率戊己庚辛各与前后率为比例亦等谓甲戊与戊己若丙庚与庚辛己乙与戊己
若辛丁与庚辛也
论曰试聨甲于丙作乙甲丁角次作丁乙辛己庚戊三线相聨其甲戊与戊乙
既若丙庚与庚丁即庚戊与丁乙平行甲己与己乙既若丙辛与辛丁即辛己与丁乙平行而庚戊与辛己亦平行故甲戊与戊己若丙庚与庚辛也己乙与戊己亦若辛丁与庚辛也
十一题
两直线求别作一线相与为连比例
法曰甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比例谓甲乙与甲丙若甲丙与所求线也先
合两线作丙甲乙角以丙乙线聨之次引长甲乙线至丁令乙丁与甲丙等次作丁戊线与丙乙平行末引长甲丙线遇丁戊于戊即丙戊为所求论曰丙乙既与戊丁平行即甲乙与乙丁若甲丙与丙戊也而乙丁甲丙元等即甲乙与甲丙若甲丙与丙戊也【五巻七】
注曰别有一法以甲乙乙丙两线列作甲乙丙直角以甲丙聨之次引长甲乙线末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁即乙丁为
所求
论曰甲丙丁既是直角而丙乙垂线即为甲乙乙丁之中率则甲乙与乙丙若乙丙与乙丁也【本卷八之糸】
十二题
三直线求别作一线相与为断比例
解曰甲乙乙丙甲丁三线求别作一线相与为断比例谓甲丁与所求线若甲乙与乙丙也先以甲乙乙丙为一直线次以甲丁线合甲丙
任作甲角次作丁乙相聨次作丙戊与丁乙平行末引长甲丁遇丙戊于戊即丁戊为所求
论曰丁乙既与丙戊平行即甲丁与丁戊若甲乙与乙丙【本巻二】
十三题
两直线求别作一线为连比例之中率
法曰甲乙乙丙两线求别作一线为中率谓甲乙与所求线若所求线与乙丙也先并两线成一直线而平分于戊即以戊为心甲作界作
甲丁丙半圜末从乙至界作乙丁垂线即乙丁为所求
论曰试作甲丁丁丙两线成甲丁丙直角形【三巻三十】而丁乙垂线为对邉两分线之中率【本巻八之糸】注曰依此题可推凡半圜内之垂线皆为两分径线之中率何者半圜之内从垂线作角皆直角故也【三巻三】
増题有甲乙甲丙两线甲乙大于甲丙二倍以上求两分甲乙而以甲丙为中率先以甲乙甲丙聨为直角平分甲乙于丁即以丁为心甲
为界作甲戊乙半圜次自丙作丙戊与甲乙平行遇圜界于戊末从戊作戊己垂线而分甲乙于己即甲丙为甲己己乙之中率何者戊己既半圜内垂线即为两分径线之中率而甲丙与戊己等故为甲己己乙之中率
十四题
两平行方形等一角又等即等角旁之两邉为互相视之邉两平行方形之一角等而等角旁两邉为互相视之邉即两形等
解曰辛乙乙己两方形等【谓其容等】甲乙丙戊乙庚两角又等题言此两角旁之各两邉为互相视之邉谓甲乙与乙庚若戊乙与乙丙也又言等角旁之各两邉为互相视
则辛乙乙己两形必等
论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙庚成一直线而戊乙乙丙亦一直线【一巻十五増】次引长辛丙己庚遇于丁辛乙乙己两形既等即辛乙与乙丁若乙己与乙丁也而辛乙与乙丁两形等髙即两形之比例若其底甲乙与乙庚也【本巻一】依显乙己与乙丁等髙两形亦若其底戊乙与乙丙也则甲乙与乙庚亦若戊乙与乙丙也
十五题
相等两三角形之一角等即等角旁之各两邉互相视两三角形之一角等而等角旁之各两邉互相视即两三角形等
解曰甲乙丙丁乙戊两角形等两乙角又等题言等角旁之各两邉互相视谓甲乙与乙
戊若乙丁与乙丙也又言等角旁之各两邉为互相视则甲乙丙丁乙戊两角形必等
论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙戊成一直线而丁乙乙丙亦一直线【一巻十五増】次作丙戊相聨甲乙丙丁乙戊两形既等即甲乙丙与丙乙戊之比例若丁乙戊与丙乙戊矣夫甲乙丙与丙乙戊两等髙形之比例若其底甲乙与乙戊也而丁己戊与丙乙戊两等髙形之比例亦若其底丁乙与乙丙也是甲乙与乙戊若丁乙与乙丙
十六题
四直线为断比例即首尾两线矩内形与中两线矩内形等首尾两线矩内形与中两线矩内形等即四线为断比例
解曰甲乙己庚戊己乙丙四线为断比例谓甲乙与己庚若戊己与乙丙也题言甲乙乙丙矩内甲丙形与己庚戊己矩内戊庚形等又言两矩内形等则甲
乙与己庚必若戊己与乙丙也
论曰两形之乙与己两角既等而等角旁之两邉又互相视则两形必相等【本巻十四 若平行斜方形而等角亦同此论】十七题
三直线为连比例即首尾两线矩内形与中线上直角方形等首尾两线矩内形与中线上直角方形等即三线为连比例
解曰甲乙戊己乙丙三线为连比例谓甲乙与戊己若戊己与乙丙也题言甲乙乙丙矩内甲丙形与戊己上戊庚方形等又言甲乙乙丙矩内形与戊己上
方形等则甲乙与戊己必若戊己与乙丙也论曰试作己庚线与戊己等即戊己己庚两线矩内形与甲乙乙丙两线矩内形等【本巻十六 若平行斜方形而等角亦同此论】
糸凡直线上方形与他两线矩内形等即此线为他两线之中率
十八题
直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等法曰甲乙线上求作直线形与所设丙丁戊己庚形相似而体势等先于
设形任从一角向对角作直线分本形为若干角形如上形即分为角形三次于元线上作甲壬乙角形与丙己丁角形等次作乙壬辛甲壬癸两角形与丁己戊丙己庚两角形等则甲乙辛壬癸与所设形相似而体势等凡设多角形俱仿此増简法如设甲乙丙丁戊直线形求于癸线上作一形与所设形相似而体势等先于甲角旁之甲乙甲戊引长之为甲己甲壬次从甲向各角作直线为甲庚甲辛次
于甲乙线上截取甲己与癸线等末从己作己庚与乙丙平行作庚辛辛壬与丙丁丁戊各平行即所求
十九题
相似三角形之比例为其相似邉再加之比例解曰甲乙丙丁戊己两角形其相当之角各等而甲乙与乙丙若丁戊与戊己题言两形之比例为乙丙与戊己再加之比
例
论曰若两形等则为相同之比例即再加仍相同之比例若乙丙大于戊己邉即于乙丙截乙庚令乙丙与戊己若戊己与乙庚也次作甲庚线其甲乙与乙丙若丁戊与戊己更之即甲乙与丁戊若乙丙与戊己也亦若戊己与乙庚也夫甲乙庚与丁戊己两形有乙戊两角等而各两邉又互相视即两形等【本巻十五】又甲乙丙与甲乙庚等髙两形之比例若其底乙丙与乙庚即甲乙丙与丁戊己两形之比例亦若乙丙与乙庚矣乙丙己戊乙庚三线既为连比例则乙丙与乙庚为乙丙与戊己再加之比例
糸依本题可显凡三线为连比例即第一甲线上角形与第二乙线上角形之比例若第一甲线与第三丙线也第二乙线上角形与第三丙线上角形之
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