丙数
解曰甲多于乙数必为甲多于丙数之半丙少于乙数亦必为丙少于甲数之半两相折凖是甲丙共得三分之二而乙自得三分之一故三归之得乙数加减之得甲与丙数也
十二则
互和逓减差分二法
设令甲乙丙丁四人逓减纳银定甲纳六十九两丁纳五十一两求乙丙应纳数及共银数法曰以丁数减甲数【余一十八两】三归之得六两加丁数得五十七两为丙数加丙数得六十三两为乙数并之共二百四十两为共银数
解曰甲多于乙乙多于丙丙多于丁三数并与甲多于丁数等故三归得每率逓差之数凡四位以上皆取首尾两数相减五位则四归之六位则五归之七位则六归之即得每率逓差之数余同前
十三则
匿价差分一法
设银一百八十两零二钱五分买麦六十五石菽二十五石麦每石多菽价一两零七分求各价法曰置麦以麦多菽价乗之【得六十九两五钱五分】以减元银【余一百一十两零七钱】并麦菽两数除之得一两二钱三分即菽价加麦多菽价得二两三钱即麦价
解曰减去麦多菽价余银即菽九十石之共价故以九十石归之得菽价
十四则
匿价差分二法
设稻一十八石稷二十二石其值适等交换五石则两率差银一两六钱二分五厘求各价法曰置一两六钱二分五厘以交换五石归之得三钱二分五厘以乗稻一十八石【得五两八钱五分】另以稻一十八石减稷二十二石余四石为法除之得一两四钱六分二厘五毫即稷价另以三钱二分五厘乗稷二十二石【得七两一钱五分】以前法除之得一两七钱八分七厘五毫即稻价
解曰交换五石两率相差一两六钱二分五厘则一两六钱二分五厘必稻五石多稷五石之价也以五归之得三钱二分五厘即稻稷每石相差之价稻稷既每石相差三钱二分五厘则一十八石必差五两八钱五分矣今稷多稻四石而价适等是稷四石之价必五两八钱五分也故四归之得稷价又稻与稷价之比例原若十八与二十二既以三钱二分五厘乗稻一十八石得稷每四石之价则以三钱二分五厘乗稷二十二石必得稻每四石之价无疑矣故四归之得稻价
十五则
二色差分
设银六十七两五钱共买稻菽一百石稻毎石价八钱菽毎石价三钱求稻菽各若干法曰以菽价乗共一百石【得三十两】以减原银【余三十七两五钱】为实以两价相减【余五钱】为法除之得七十五石即稻数以减共一百石余二十五石即菽数
解曰原银为稻菽共百石之价以菽价乗百石为菽百石之价两率不等者以稻贵于菽也今稻毎石多菽价五钱是两率毎相差五钱百石内必有稻一石两率相减余银三十七两五钱凡为五钱者七十五故得稻七十五石也
十六则
三色差分【四色五色六色附】
设银十两零五钱共买稻麦菽一十八石稻每石价八钱麦每石价六钱菽毎石价三钱求三色各若干法曰置共粮以三归之得六石为麦数以麦价因之得三两六钱为麦共价另以麦数减共粮【余一十二石】以菽价因之【得三两六钱】另以麦共价减原银【余六两九钱】两数相减【余三两三钱】为实稻菽两价相减【余五钱】为法除之得六石六斗为稻数以稻麦两数减共粮余五石四斗为菽数
解曰若四色则四归共物得若干即第二色数亦即第三色数以第二色价乗之得第二色共价以第三色价乗之得第三色共价以两数减共物两共价减原银余依二色差分法求之五色则五归六色则六归之仿此○按三色以上亦可与共物共价相合无差然实非一定不易之数即前三色论之设稻九石共价七两二钱麦二石共价一两二钱菽七石共价二两一钱亦与原银共粮共价皆合而与上法所求三色之数不同
十七则
贵贱和率差分
设银一百二十七两五钱共买稻麦一百零八石毎稻三石价四两毎麦四石价三两五钱求二色数及价各若干法曰列稻三石麦四石共稻麦一百零八石于右次列稻价四两麦价三两五钱原银一百二十七两五钱于左以右上互乘左中【得十两零五钱】以左上互乘右中【得一十六两】两数相减余五两五钱为长法次
以右中互乗左下
【得五百一十两】以左中互
乗右下【得三百七十八两】两数相减【余一百三十二
两】以长法除之得
二十四为短法以稻三石乗短法得七十二石即稻数以稻价乗短法得九十六两即稻共价以稻数减共稻麦一百零八石余三十六石即麦数以稻共价减原银一百二十七两五钱余三十一两五钱即麦共价
解曰此与前二色差分同但彼数齐此数不齐耳凡数之不齐者必假一数以齐之今稻三石麦四石则以十二齐之何为必齐之十二也十二为四倍稻三石三倍麦四石之数也以稻三乗麦价即得麦十二石之价以麦四乗稻价即稻十二石之价两数相减为长法者即稻十二石多于麦十二石之银数亦即稻四石多于麦四石之价又三倍之之数也以麦价乗共稻麦一百零八石即麦四百三十二石之价亦即一百零八石尽皆为麦而又四倍其价之数也以麦四乗原银即稻麦四百三十二石之共价亦即稻麦一百零八石之原价而又四倍之之数也两数相减之余即麦四百三十二石少于稻麦共四百三十二石之价实即稻七十二石多于麦七十二石之价又四倍之之数也以之为实若以稻四石多于麦四石之价除之必得稻七十二石今稻四石多于麦四石之价不可得止得稻十二石多于麦十二石之价为长法除实得二十四二十四者即为稻三石者二十四也【十二石三倍多于四石二十四三倍少于七十二石葢法増若干倍得数即减若干倍也】故为短法以稻三石乗之得稻数以稻价乗之得共稻价○若欲先得麦数则以稻三石乗元银以稻价乗共稻麦数两数相减以长法除之得数为短法以麦四石乗之得麦数以麦价乗之得共麦价【解同前】○按此条当列稻三石价四两共稻麦一百零八石于右列麦四石价三两五钱共银一百二十七两五钱于左以左上互乗右中【得一十六两】以右上互乗右中【得十两零五钱】两数相减【余五两五钱】为法次以左上右上相乗【得一
十二石】以乗左下【得一
千五百三十两】以左中十
两零五钱乗右下
【得一千一百三十四两】两数
相减【余三百九十六两】为
实以法除之得七十二石即稻数似较旧法更捷○旧法以十二倍之法除四倍之实故止得二十四以稻三石乗之方得稻数后法以十二倍之法除十二倍之实故一除即得稻数无须再乗也
十八则
首尾两和差分
设十人挨次逓减纳银甲乙丙三人共纳一十三两八钱庚辛壬癸四人共纳一十三两求各应纳银数
法曰列三人于右
上定甲九衰乙八
衰丙七衰共二十
四衰列于右中三
人纳数列于右下
次列四人于左上定庚三衰辛二衰壬一衰共六衰列于左中四人纳数列于左下先以右上徧乗左行【中得一十八衰下得三十九两六钱】次以左上徧乗右行【中得九十六衰下得五十五两二钱】以两下对减【余一十五两六钱】为实两中对减【余七十八衰】为法除之得二钱【为十人挨次逓减之数】另以右上归右下得四两六钱为乙数加乙二钱得四两八钱为甲数减乙二钱得四两四钱为丙数减丙二钱得四两二钱为丁数以下各逓减二钱得应纳银数
解曰首三人尾四人两数不齐不可相减以求首尾相差之数故互乗以齐之夫左下尾四人共纳之银数也以右上三人乗之得三十九两六钱即三倍尾四人为一十二人之纳数右下首三人共纳之银数也以左上四人乘之得五十五两二钱即四倍首三人亦为一十二人之纳数对减之余即首十二人多于尾十二人之纳数故以为实左中尾四人之衰数以右上三人乗之得十八即三倍尾四人为一十二人之衰数右中首三人之衰数以左上四人乗之得九十六即四倍首三人亦为一十二人之衰数对减之余即首十二人多于尾十二人之衰数故以为法以法除实所得非一衰之银数而何一衰之银数即十人挨次逓减之数也以右上三人归右下纳数即得乙数何也葢乙多于丙者即甲多于乙者也减甲之多补丙之少则成三平数乙居甲丙之中故三归之得平数即得乙数也
数学钥巻三下
钦定四库全书
数学钥巻三附
柘城杜知耕撰
分法
一则
命分
设银四十两三人分之求毎人应分银数法曰置银为实以人数除之得一十三两余一不尽则以法为分母以不尽之一为分子命为一十三两又三分两之一
解曰三分两之一即三钱三分三三不尽
二则
约分
设以九十八为法除实不尽者四十二求约若干法曰以子四十二减母九十八【余五十六】再减之余一十四复以母十四减子四十二【余二十八】再减之亦余一十四谓之子母相同即以十四为法除母九十八得七除子四十二得三即命为七分之三
解曰母数九十八是七个十四子数四十二是三个十四九十八之与四十二若七之与三也故命为七分之三遇不可约之数直以本数命之如母九十七子四十二此数之不可约者也直命为九十七之四十二
三则
乘分
设一十八人分银毎人分得三百七十六两又九分两之六求共银法曰置三百七十六两为实以母九因之【得三千三百八十四两】加入子六【共三千三百九十两】以人数乘之【得六万一千零二十两】再以母九归之得六千七百八十两即所求
解曰不以母因实则不能加入子数故因实以就子也
四则
课分
设有布二疋又九分疋之五用过一疋又六分疋之一求余布法曰置用过布一疋以母六因之【仍得六】加入子一【共七】又以原布母九因之【得六十三】另置原布二疋以母九因之【得一十八】加入子五【共二十三】又以用过布母六因之【得一百三十八】两数相减【余七十五】为实以两母【谓九与六】相乘【得五十四】为法除之得一疋零二十一以约分法约之得十八之七即命为余布一疋又十八分疋之七解曰两数各带子母不得不两因之两因之不得不两归之法以两母相乘除实者与两归得数同也五则
通分
设粟四十五石毎七分石之五值银八分两之六求共银法曰置粟为实以粟母七乘银子六【得四十二】为法乘实【得一千八百九十】另以银母八乘粟子五【得四十】为法除之得四十七两二钱五分即所求
解曰原当置粟为实以粟母七乘之粟子五除之求得共粟七分之五再以银子六乘之银母八除之即得银数然既以粟母七乘之又以银子六乘之不如以粟母七乘银子六以乘之也既以粟子五除之又以银母八除之不如以银母八乘粟子五以除之也
数学钥巻三附
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
钦定四库全书
数学钥巻四凡例
柘城杜知耕撰
凡例
一则
形为体之界在上之界曰靣在下之界曰底底与面有长广而无厚薄故底面之积曰平积
二则
体之纵者曰长衡者曰广立者曰髙
三则
底面长广及髙皆等者曰立方如第一图底面皆方而
髙不与长
广等者曰
方体如第
二图长广
及髙皆不
等而角方
者曰直体
亦曰直方体如第三图底或方或直而傍为勾股形曰堑堵如第四图底或方或直而傍为三角形曰刍荛如第五图底或方或圆或多边而上鋭至尽者曰锥体如第六图凡底面相等者即取底之形为体之名设底六边即为六边体如第七图浑然无界无棱者曰浑体浑圆如第八图浑撱圆如第九图面长杀于底长而无广者曰鋭脊如第十图面之长广各杀于底者曰鋭面如第十一图上下皆有长无广者曰鼈臑如第十二图
四则
锥及鋭面等体自傍科量之度非正髙五边七边等底中长折半之防非正心
五则
线之度尺容十寸寸容十分形之度尺容百寸寸容百分体之度尺容千寸寸容千分
六则
相似两形之比例为线与线再加之比例再加者谓两线各自乘以为比例也相似两体之比例为线与线三加之比例三加者谓两线各自乘再乘以为比例也两形有一度等者同两线之比例两体有一度等者同两形之比例两体有两度等者亦同两线之比例
七则
堆止一层曰平堆二层以上曰髙堆
数学钥巻四凡例
钦定四库全书
数学钥卷四目録
柘城杜知耕撰
少广
一则立方求积
二则直体求积
三则堑堵求积
四则刍荛求积
五则三角体求积
六则六边体求积【八边十二边附】
【増】七则五边体求积【九边附】
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