以带纵立方开之得一十五尺即小径加多四尺得一十九尺即大径
解曰浑防圆与方体之比例亦若浑圆与立方故二十一乘十一除带纵立方开之得方体之广及高即浑撱圆之两径也
三十二则
三乘还原【即开三乘方】
设三乘积六百二十五尺求还原法曰置积为实平方开之【得二十五尺】再以平方开之得五尺即所求解曰以五自乘再乘三乘得六百二十五即所谓三乘方也反求元数即所谓开三乘方也三乘原无形体可言但法类于开平方立方故亦谓之方耳○从此推之一次平方一次立方可开五乘方三次平方可开七乘方
三十三则
委粟求积
设委粟底周八十八尺高八尺八寸求积法曰置周自乘【得七千七百四十四尺】以高乘之【得六万八千一百四十七尺二寸】再七乘二百六十四除得一千八百零六尺九寸三分有竒即所求
解曰此即圆锥也圆形与周上方形之比例若七与
八十八【二巻五则】凡两体等高者体与
体之比例若底与底圆体与周上
等高方体之比例必亦若七与八
十八今圆锥居圆体三之一以三
乘八十八得二百六十四则是圆锥与周上等高方体之比例必若七与二百六十四矣
二十四则
倚壁委粟求积
设倚壁委粟周四十
四尺高八尺八寸求
积法曰置周自乘【得一
千九百三十六尺】以高乘之
【得一万七千零三十六尺八寸】再七乘一百三十二除得九百零三尺四寸六分有竒即所求
解曰此圆锥之半也半锥居全锥二之一半周上方体【与圆锥等高下同】居全周上方体四之一故其比例为七与一百三十二也
三十五则
倚外角委粟求积
设倚外角委粟周六十六尺高八尺八寸求积法曰
置周自乘【得四千三百五十六
尺】以高乘之【得三万八千三
百三十二尺八寸】再七乘一
百九十八除得一千
三百五十五尺二寸即所求
解曰此圆锥四之三也与全周上方体【与圆锥等高下同】之
钦定四库全书
数学钥巻五凡例
柘城杜知耕撰
凡例
一则
以此防分之防为彼几分之几之倍数即以彼防分之防为此防分之防之倍数两数必相等设甲数十二乙为甲四分之三数九丙为甲三分之二数八以丙乗乙得七十二以乙乗丙亦得七十二更设丁数四十八戊为丁四分之三数三十六己为丁三分之二数三十二以己乗乙得二百八十八以戊乗丙亦得二百八十八故曰两数必相等
二则
设乙四倍之多于甲数为三七倍之多于甲数为十五以倍数四互乗十五得六十为二十八倍乙多于四倍甲之数以倍数七互乗三得二十一为二十八倍乙多于七倍甲之数两数对减所余必七倍甲多于四倍甲之数七倍甲多于四倍甲之数则三甲之数也
三则
同名相减犹异名相加故异名相加者必同名相减同名相加犹异名相减故异名相减者必同名相加四则
正与正负与负为同名正与负为异名
五则
有一数为法中之闗键而乗除加减反不用者曰暗用数
数学钥巻五凡例
钦定四库全书
数学钥巻五上之上目録
柘城杜知耕撰
商功
一则修筑计积
二则以积计工
三则以工计日一法
四则以工计日二法
五则坚土壤土之较
六则迟疾求齐一法
七则迟疾求齐二法
八则迟疾求齐三法
巻五上之下
均输
一则田地之多寡
二则方物之贵贱
三则道里之逺近一法
四则道里之逺近二法
五则任载之重轻一法
六则任载之重轻二法
七则合均田地多寡方物贵贱道里逺近
卷五下之上
盈朒
一则盈适足
二则朒适足
三则两盈
四则两朒
五则一盈一朒
六则带分子母盈适足【朒适足同】
七则带分子母两盈【两朒同】
八则带分子母一盈一朒【二法】
卷五下之下
方程
一则二色方程
二则三色方程一法
三则三色方程二法
四则正负同异加减一法
五则正负同异加减二法
六则正负同异加减三法
七则正负同异加减四法
八则正负同异加减五法
九则四色方程
数学钥巻五目録
钦定四库全书
数学钥卷五上之上
柘城杜知耕撰
商功
一则
修筑计积
设修堤七千二百尺上濶八尺下濶三十尺髙四十尺求积法曰并两濶折半【得一十九尺】为实以髙乗之【得七百六十尺】再以长【七千二百尺】乗之得五百四十七万二千尺即所求
解曰此等广锐靣体求积法也【详四巻十七则】
二则
以积计工
设筑堤一座积五百四十七万二千尺每夫日筑八尺求用夫数法曰置积为实以八尺除之得六十八万四千名即所求
解曰此求一日筑完
三则
以工计日一法
设修堤同前欲一年筑完求用夫数法曰置积为实以每夫日筑八尺乗三百六十日【得二千八百八十尺】为法除之得一千九百名即所求
解曰二千八百八十尺乃一夫一年所筑者故以之除实得夫数
四则
以工计日二法
设原议用夫一千九百名一年筑完今欲速成增夫九百五十名求用日数法曰以一千九百名乗三百六十日【得六十八万四千日】为实并原夫增夫【共二千八百五十名】为法除之得二百四十日即所求
解曰六十八万四千日乃一夫筑完所用之日数故并原夫增夫除之得二千八百五十名所用之日数五则
坚土壤土之较
设凿池土筑堤堤积五百四十七万二千尺池长七千五百尺濶三十五尺求池深法曰置堤积四因三归【得七百二十九万六千尺】为实以池濶乗长【得二十六万二千五百尺】为法除之得二十七尺七寸九分四厘有竒即所求解曰凡阙地四尺为壤五尺筑坚三尺故于堤积四因三归为池积以濶乗长池靣平积也以平积除池积所得非池深而何
六则
迟疾求齐一法
设甲日筑九尺乙日筑六尺乙先筑十日方令甲筑求防日工齐法曰以乙日筑六尺乗先筑十日【得六十尺】为实以甲日筑九尺乙日筑六尺相减【余三尺】为法除之得二十日即所求
解曰乙先筑十日必多甲六十尺甲日筑多乙三尺二十日必亦多六十尺故同筑二十日而齐
七则
迟疾求齐二法
设一台甲约五日筑完乙约七日筑完丙约九日筑完令甲乙丙同筑求防日完法曰以七乗五【得三十五日】再以九乗之【得三百一十五日】为实另以七乗五【得三十五】以五
乗九【得四十五】以九乗七【得六十三】三
数并【共一百四十三】为法除之得二
日又一百四十三分日之二
十九即所求
解曰以乙乗甲又以丙乗之
者求三率之齐数也【三百一十五日是六十三个五日四十五个七日三十五个九日也】甲五日筑一台则三百一十五日必能筑六十三台乙七日筑一台则三百一十五日必能筑四十五台丙九日筑一台则三百一十五日必能筑三十五台是三人三百一十五日共筑一百四十三台也故以一百四十三台除三百一十五日得三人共筑一台之日数
八则
迟疾求齐三法
设一夫一日阙土可成五十尺一日运土可成三十尺一日筑土可成二十尺令一夫自阙自运自筑求日成防何法曰以二十尺乗三十尺【得六百尺】再以五十尺乗之【得三万只】为实另以二十尺乗三十尺【得六百日】五十
尺乗二十尺【得一千日】三十尺乗
五十尺【得一千五百日】三数并【共三千一
百日】为法除之得九尺又三十
一分尺之二十一即所求
解曰以二十尺乗三十尺再
以五十尺乗之亦取三率之齐数也【三万尺是一千五百个二十尺一千个三十尺六百个五十尺也】一日阙土成五十尺必六百日成三万尺一日运土成三十尺必一千日成三万尺一日筑土成二十尺必一千五百日成三万尺是一夫六百日阙土一千日运土一千五百日筑土共计三千一百日乃成三万尺也故以三千一百日除三万尺得一日所成之数
数学钥巻五上之上
钦定四库全书
数学钥巻五上之下
柘城杜知耕撰
均输
一则
田地之多寡
设甲乙丙三人以田地多寡应一年差役甲田八十畆乙田六十畆丙田四十畆求各值日数法曰分置三人田数各以三百六十日乗之【甲得二万八千八百乙得二万一千六百丙得一万四千四百】并三人田数【共一百八十畆】为法除甲得一百六十日除乙得一百二十日除丙得八十日即所求二则
方物之贵贱
设米九百石令甲乙二处以米价之贵贱均纳之甲处米价每石五钱乙处米价毎石七钱求各应纳米数法曰置米为实并两价【共一两二钱】除之得七十五以七钱乗七十五得五百二十五石价二百六十二两五钱为甲数以五钱乗七十五得三百七十五石价亦二百六十二两五钱为乙数
解曰甲乙米价既为五与七则甲乙纳数必若七与五矣甲纳数与共米必若乙价七钱与两价并之一两二钱也此借五钱与一两二钱之比例因元米以求甲数也乙同此论
三则
道里之逺近一法
设牛车已行七日马车方行六日行齐其程五百八十五里求各日行里数法曰置五百八十五里为实以六日除之得九十七里半为马车日行里数以七日六日相并【共一十三日】除实得四十五里为牛车日行里数
四则
道里之逺近二法
设自甲至乙八百五十五里牛车自甲反乙日行四十五里马车自乙往甲日行九十七里半同日行求防日相遇法曰置八百五十五里为实并牛马车日行里数【共一百四十二里半】除之得六日即所求
解曰此是彼来此往两行相就与以疾追迟者不同故并两日行数为法也
五则
任载之重轻一法
设原车载重八百斤行一千二百里与僦值八两今载重一千二百斤行一千八百里求僦值法曰置僦值八两为实以今重一千二百斤乗今行一千八百里【得二百一十六万】为法乗实【得一千七百二十八万】另以原重八百斤乗原行一千二百里【得九十六万】为法除之得一十八两即所求
解曰此同乗同除法也任载半倍于原数僦值已当半倍八两为十二两道里复半倍于原数僦值故又半倍十二两为十八两
六则
任载之重轻二法
设重车日行五十里轻车日行七十里今载米至仓五日三返求至仓里数法曰置轻重车日行里数相乗【得三百五十里】又以五日乗之【得一千七百五十里】为实另并轻重车日行里数以三返乗之【得三百六十】为法除之得四十八里又三十六分里之二十二即所求
解曰两车日行里数相乗得三百五十里是两车行之齐数也【三百五十里是七个五十里亦五个七十里】乃轻车五日重车七日所行之里数并两车日行里数除之即得一日重往轻来之里数再以五日乗之三返除之即得至仓之里数法变用五日乗实三返乗法者亦同乗同除法也
七则
合均田地多寡方物贵贱道里逺近
设甲乙丙丁戊五处定粟二千石以田地之多寡道里之逺近粟价之贵贱均输之甲地二万零五百二十畆粟价每石二两自输本处乙地一万二千三百一十二畆粟价每石一两至输所二百里丙地七千一百八十二畆粟价每石一两二钱至输所一百五十里丁地一万三千三百三十八畆粟价每石一两七钱至输所二百五十里戊地五千一百三十畆粟价每石一两三钱至输所一百五十里每石每里僦车银四厘求各应输数法曰先置甲地为实以粟价二两为法除之得一千零二十六衰次置乙地为实以僦银四厘因至输所二百里【得八钱】并入粟价一两【共一两八钱】为法除实得六百八十四衰次置丙地为实以僦银四厘因至输所一百五十里【得六钱】并入粟价一两二钱【共一两八钱】为法除实得三百九十九衰又次置丁地为实以僦银四厘因至输所二百五十里【得一两】并入粟价一两七钱【共二两七钱】为法除实得四百九十四衰末置戊地为实以僦银四厘因至输所一百五十里【得六钱】并入粟价一两三钱【共一两九钱
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