十石之价以左稻遍乗右行价得七十七两七钱五分为稻二十石黍三十五石之共价若以稻二十石全价减之必余黍三十五石之价今以左行尚欠一十二石黍价不足稻二十石之价减之故余四十七石黍价也
六则
正负同异加减三法
设麦五石稷八石共价银一十四两八钱四分又麦四石黍二石共价银八两九钱又黍五石稷三石共价银六两四钱四分求三色价前法曰列麦五石黍
空稷八石
价一十四
两八钱四
分于右列
麦四石黍
二石稷空价八两九钱于左先以右麦五石遍乗左行【黍得十石价得四十四两五钱】次以左麦四石遍乗右行【稷得三十二石价得五十九两三钱六分】两行对减右行黍空取左黍十石为本位负数左行稷空右稷无减仍得三十二石价余一十四两八钱六分
解曰以右麦遍乗左行价得四十四两五钱为麦二十石黍十石之共价以左麦遍乗右行价得五十九两三钱六分为麦二十石稷三十二石之共价两价对减必余右稷三十二石与左黍十石两价相差之数于右立负黍十石者谓余价一十四两八钱六分再増黍十石之价方足稷三十二石之价犹以黍十石増银一十四两八钱六分换稷三十二石也或问右行黍空左行稷空不立负于左而必立负于右者何也葢前法原于多内减少以取二色之价今右稷三十二石价多于左黍十石价若于左立负稷亦须立负价矣是以立负于右而不立于左也
后法曰列正黍五石正稷三石正价六两四钱四分
于右列余负黍十
石余正稷三十二
石余正价一十四
两八钱六分于左
先以右正黍五石
遍乗左行【稷得一百六十石价得七十四两三钱】次以左负黍十石遍乗右行【稷得三十石价得六十四两四钱】两价得数同名相加【共一百三十八两七钱】为实两稷得数同名相加【共一百九十石】为法除之得七两三钱为稷价【求麦价黍价同二则】
解曰后法同四则
七则
正负同异加减四法
设麦四石黍五石价银一十一两四钱五分又麦五石稷二石价银一十两零四钱六分又黍四石稷七
石价银八
两五钱一
分求三色
价前法曰
列麦四石
黍五石稷空价一十一两四钱五分于右列麦五石黍空稷二石价一十两零四钱六分于左先以右麦四石遍乗左行【稷得八石价得四十一两八钱四分】次以左麦五石遍乗右行【黍得二十五石价得五十七两二钱五分】两行对减左行黍空右黍无减仍得二十五石右行稷空取左稷八石为本位负数价余一十五两四钱一分
解曰右价得五十七两二钱五分为麦二十石黍二十五石之共价左价得四十一两八钱四分为麦二十石稷八石之共价两价对减余一十五两四钱一分即二十五石黍价多于八石稷价之数是以余银并八石稷价方足黍二十五石之价故立负稷八石也余同前则
后法曰列正黍四石正稷七石正价八两五钱一分
于右列余正黍二
十五石余负稷八
石余正价一十五
两四钱一分于左
先以右正黍四石
遍乗左行【稷得三十二石价得六十一两六钱四分】次以左正黍二十五石遍乗右行【稷得一百七十五石价得二百一十二两七钱五分】两价得数同名相减【余一百五十一两一钱一分】为实两稷得数异名相加【共二百零七石】为法除之得七钱三分为稷价【求黍价麦价同二则】解曰后法同五则
八则
正负同异加减五法
设以稷七石増银四两零七分换麦二石粟九石又以麦三石换稷四石粟四石适平又以麦一石稷一石増银四两九钱一分换粟一十二石求三色价前法曰列正麦二石负稷七石正粟九石正价四两零七分于右列负麦三石正稷四石正粟四石价空于中列负麦一石负稷一石正粟一十二石正价四两
九钱一分
于左先以
右正麦二
石遍乗中
行【稷得八石粟得
八石价空】以中
负麦三石
遍乗右行【稷得二十一石粟得二十七石价得一十二两二钱一分】两稷得数异名相减余一十三石两粟得数同名相加共三十五石中价空无加仍得一十二两二钱一分
解曰右价得一十二两二钱一分是尚欠稷二十一石价不足麦六石粟二十七石之价中价空是稷八石粟八石适等于麦六石之价若减右麦六石即以稷粟各八石补之其价不须増减必相均平矣然右稷乃倒欠之数不可相加故减之减倒欠犹之加正数也
次以左负麦一石遍乗中行【稷仍得四石粟仍得四石价空】以中负麦三石遍乗左行【稷得三石粟得三十六石价得一十四两七钱三分】两稷得数异名相加共七石两粟得数同名相减余三十二石中价空无减仍得一十四两七钱三分
解曰左价得一十四两七钱三分是尚欠麦稷各三石价不足粟三十六石之价中价空是麦三石适等于稷粟各四石之价若减左负麦三石复减正稷正粟各四石其价不须増减必相均平然左非正稷乃倒欠之数不可相减故加之加倒欠犹之减正数也后法曰列余负稷一十三石余正粟三十五石余正价一十二两二钱一分于右列余负稷七石余正粟
三十二石余正价
一十四两七钱三
分于左先以右负
稷一十三石遍乗
左行【粟得四百一十六石价得】
【一百九十一两四钱九分】次以左负稷七石遍乗右行【粟得二百四十五石价得八十五两四钱七分】两价得数同名相减【余一百零六而零二分】为实两粟得数同名相减【余一百七十一石】为法除之得六钱二分为粟价【求麦价稷价同二则】
解曰两稷皆负两粟两价皆正左右相等故法同二色方程
九则
四色方程
设稻一石麦五石黍三石稷七石共价银一十九两零六分又稻八石麦四石黍七石稷六石共价银三十六两七钱三分又稻三石麦二石黍五石稷七石共价银二十两零一钱六分又稻四石麦二石黍六石稷四石共价银二十一两二钱二分求四色价前
法曰列稻一石麦五石黍三石稷七石价一十九两零六分于右列稻八石麦四石黍七石稷六石价三十六两七钱三分于次右列稻三石麦二石黍五石稷七石价二十两零一钱六分于次左列稻四石麦二石黍六石稷四石价二十一两二钱二分于左先以右稻一石遍乗次右行【仍得元数】以次右稻八石遍乗右行【麦得四十石黍得二十四石稷得五十六石价得一百五十二两四钱八分】两行对减麦余三十六石黍余一十七石稷余五十石价余一百一十五两七钱五分次以次右稻八石遍乗次左行【麦得十六石黍得四十石稷得五十六石价得一百六十一两二钱八分】以次左稻三石遍乗次右行【麦得十二石黍得二十一石稷得十八石价得一百一十两零一钱九分】两行对减麦余四石黍余一十九石稷余三十八石价余五十一两零九分末以次左稻三石遍乗左行【麦得六石黍得一十八石稷得一十二石价得六十三两六钱六分】以左稻四石遍乗次左行【麦得八石黍得二十石稷得二十八石价得八十两零六钱四分】两行对减麦余二石黍余二石稷余一十六石价余一十六两九钱八分
解曰前法减稻一色余麦黍稷三色
次法曰列余麦三十六石余黍一十七石余稷五十石余价一百一十五两七钱五分于右列余麦四石余黍一十九石余稷三十八石余价五十一两零九分于中列余麦二石余黍二石余稷一十六石余价一十六两九钱八分于左先以右麦三十六石遍乗中行【黍得六百八十四石稷得一千三百六十八石价得一千八百三十九两二钱四分】以中麦四石遍乗右行【黍得六十八石稷得二百石价得四百六十三两】两行对减黍余六百一十六石稷余一千一百六十八石价余一千三百七十六两二钱四分次以中麦四石遍
乗左行【黍得
八石稷得六十四石
价得六十七两九钱
二分】以左麦
二石遍乗
中行【黍得三十
八石稷得七十六石】
【价得一百零二两一钱八分】两行对减黍余三十石稷余一十二石价余三十四两二钱六分
觧曰次法减麦一色余黍稷二色
后法曰列余黍六百一十六石余稷一千一百六十八石余价一千三百七十六两二钱四分于右列余黍三十石余稷一十二石余价三十四两二
钱六分于左以右
黍六百一十六石
遍乗左行【稷得七千三百
九十二石价得二万一千一百零四
两一钱六分】以左黍三
十石遍乗右行【稷得三万五千零四十石价得四万一千二百八十七两二钱】两价得数对减【余二万零一百八十三两零四分】为实两稷得数对减【余二万七千六百四十八石】为法除之得七钱三分为稷价【求黍麦稻价同二则】
解曰后法同二色方程五色六色以上仿此○按方程之要在加减加减之闗键在首位【谓第一横行】首位同名则异名相加同名相减首位异名则同名相加异名相减然大略如是亦有不尽然者有应减者无可减而反加之有应加者无可加而反减之变化无穷【数学钥卷五下之下】
亦存乎人之自悟耳
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
钦定四库全书
数学钥卷六凡例
柘城杜知耕撰
凡例
一则
纵曰股衡曰勾斜曰
二则
股大于勾者曰勾股较大于勾者曰勾较大于股者曰股较勾股并大于者曰和较
三则
勾股并曰勾股和勾并曰勾和股并曰股和勾股并曰勾股和亦曰和和
四则
勾股较加股较即勾较勾较减股较即勾股较和较加勾较即股和较加股较即勾和较加勾较股较即勾股较减股和即勾和勾股和加股较即勾和股和减勾和即勾股较股和减勾股和即勾较勾股较加勾股和半之为股勾股和减勾股较半之为勾股较加股和半之为股和减股较半之为股勾较加勾和半之为勾和减勾较半之为勾【用乗除开方相求者不在此例】
五则
或方形或直形有对角斜线者曰角线形
数学钥卷六凡例
钦定四库全书
数学钥卷六目録
柘城杜知耕撰
勾股
一则勾股求
二则勾求股
三则股求勾
四则勾股积及勾股较求
五则及勾股较求勾股积
六则及勾股积求勾股较
七则及勾股和求勾股较
八则勾股和及勾股积求
九则勾股和及勾股积求勾股较
十则及勾股较求勾股和
十一则勾股积及勾股较求勾股和
十二则及勾股积求勾股和
十三则勾和股和求勾股
十四则股及勾较求勾与
十五则勾及股较求股与
十六则股羃及勾较求勾和
十七则勾羃及股较求股和
十八则股羃及勾和求勾较
十九则勾羃及股和求股较
二十则勾较股较求勾股
二十一则相连之勾股求
二十二则相连之股求勾
二十三则相连之勾求股
【増】二十四则勾股形求对角之垂线
二十五则勾股形于上求自两角至垂线之度二十六则勾股形求容方一法
【西法】二十七则勾股形求容方二法
二十八则勾股形求容圆
【西法】二十九则勾股形求外切圆
三十则容方之勾股形以余勾余股求方边及全勾全股
三十一则容方之勾股形以余股及方边求余勾三十二则容方之勾股形以余勾及方边求余股三十三则日晷测髙
三十四则一表测髙
三十五则一表测逺
三十六则一表测广
三十七则一表测深
三十八则重表测髙逺
三十九则重表测广深
四十则测逺之逺
数学钥巻六目録
钦定四库全书
数学钥卷六
柘城杜知耕撰
勾股
一则
勾股求
设勾六尺股八尺求法曰置勾股各自乗【勾得三十六尺股得六十四尺】两数并【共一百尺】平方开之得十尺即所求解曰不论勾股相等与否勾上方形及股上方形并
必与上方形等如甲乙丙
勾股形甲乙勾与丙乙股等
试作乙丁等髙同底方形其
边与甲乙等必为勾上方又
与丙乙等亦必为股上方再
作戊巳外切方形其边与甲丙等即为上方若于形内减去乙丁方形余甲乙戊等四三角形并之
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