股和法曰置勾股积八因之【得一百九十二尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数并【共一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求解曰即九则法反用之
十二则
及勾股积求勾股和
设十尺勾股积二十四尺求勾股和法曰置自乗【得一百尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数并【共一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求
解曰即八则法反用之
十三则
勾和股和求勾股
设勾和一十六尺股和一十八尺求勾股法曰置勾和股和相乗【得二百八十八尺】倍之【得五百七十六尺】平方开之得二十四尺为勾股和与勾和相减
余八尺即股与股和相减
余六尺即勾与二勾一股相
减余十尺即
解曰甲乙直形为勾和股
和矩内形乙丁乙丙皆与
等丁戊与勾等丙庚与股等则己乙必为方巳戊必勾矩内形己庚必股矩内形甲巳必勾股矩内形辛壬方形为勾股和上方形壬癸壬子皆与等癸丑子寅皆与股等丑卯寅辰皆与勾等则
巳壬必为
方午巳必为
股方辛午必
为勾方未癸
申子必皆股
矩内形酉
丑戌寅必皆勾矩内形午酉午戌必皆勾股矩内形今以辛壬方形与甲乙直形较则未癸申子并倍于己庚酉丑戌寅并倍于巳戊午酉午戌并倍于甲巳又午巳股方与辛午勾方并与己壬方等是己壬午巳辛午三形并复倍于己乙分形既倍大于分形全形亦必倍大于全形是勾股和上方形一与勾和股和矩内形二并等矣故以勾和乗股和倍而开方得勾股和也于勾股和内减去一一股所余必勾减去一一勾所余必股减去一勾一股所余必也
十四则
股及勾较求勾与
设股八尺勾较四尺求勾法曰置股自乗【得六十四
尺】另置勾
较自乗【得一十六
尺】两数相减
【余四十八尺】折半
【得二十四尺】以勾
较除之得
六尺即勾加勾较得十尺即
解曰甲乙为上方形丙丁为勾上方形戊巳为勾较上方形于甲乙方内减去丙丁勾方所余必股上方积成一辛壬癸磬折形再减去勾较上方形所余必甲庚庚乙二直形而以甲丙乙丁为濶丙庚庚丁为长甲丙乙丁即勾较也丙庚庚丁为勾上方形之边即勾也法以两数相减所余者即二直形也折半者取二直形之一也以勾较除之得勾者即以濶除积得长也○或以两数相减之四十八尺为实倍勾较除之亦得勾○或以股自乗为实以勾较除之得数减勾较折半亦得勾
十五则
勾及股较求股与
设勾六尺股较二尺求股法曰置勾自乗【得三十六
尺】另置股较自乗【得四尺】两
数相减【余三十二尺】折半【得一十六尺】以股较除之得八尺即股
加股较共十尺即
解曰甲乙方内减去丙丁
股方戊巳股较方所余必甲
庚庚乙两直形折半则得一直形故以股较除之得股十六则
股羃及勾较求勾和
设股羃六十四尺勾较四尺求勾和法曰置股
羃为实以勾较除之
得一十六尺即所求
解曰十四则辛壬癸磬
折形其甲乙元与等
丙丁元与勾等若移癸
于戊则成辛壬戊直形以勾较为濶勾和为长矣故以勾较除股羃得勾和
十七则
勾羃及股较求股和
设勾羃三十六尺股
较二尺求股和法曰
置勾羃为实以股较
除之得一十八尺即所
求
解曰十五则辛壬癸磬折形其甲乙元与等丁丙元与股等若移癸于戊亦成辛壬戊直形以股较为濶股和为长矣故以股较除勾羃得股和十八则
股羃及勾和求勾较
设股羃六十四尺勾和一十六尺求勾较法曰置股羃为实以勾和除之得四尺即所求
解曰即十六则法反用之
十九则
勾羃及股和求股较
设勾羃三十六尺股和一十八尺求股较法曰置勾羃为实以股和除之得二尺即所求
解曰即十七则法反用之
二十则
勾较股较求勾股
设勾较四尺股较二尺求勾股法曰置勾较股较相乗【得八尺】倍之【得一十六尺】平方开之【得四尺】加股较得六尺即勾加勾较得八尺即股加勾
较股较得十尺即
解曰甲乙为方丁乙为勾
方甲丙为股方以丁乙勾方
甲丙股方错综加于甲乙
方之上必缺戊巳庚辛二直
形而重一丁丙方形然丁丙
方形必能补二直形之缺而与之等何也丁乙勾方甲丙股方并等于甲乙方若丁丙方形或大或小于二直形则是勾方股方并不与方等矣夫勾方股方并既与方等则二直形并亦必与丁丙方形等法以两较相乗而倍之者求二直形也【二直形以戊壬癸辛勾较为长以壬巳癸庚股较为濶】平方开之者求丁丙方形之一边也以一边加股较之癸庚得癸丁即勾加勾较之戊壬得丙壬即股加一勾较之戊壬一股较之癸庚得癸丁及戊壬即
二十一则
相连之勾股求
设圆柱髙二十尺周三尺以索绕柱七周与柱适齐
求索长法曰置柱周
三尺以索绕七周因
之【得二十一尺】自乗【得四百四
十一尺】另置柱髙自乗
【得四百尺】两数并【共八百四十一
尺】平方开之得二十
九尺即所求
解曰索绕柱七周即
七叚勾股也柱髙二十尺为七股七周二十一尺为七勾索长为七也此条元当七归柱髙取七股之一用勾股求法得数七因之为长然七归二十尺乃畸零不尽之数不得不七因勾以就股也以柱髙为股即并丁戊等七小股成一丙乙大股以七周为勾即并甲戊等七小勾成一甲乙大勾夫七小勾小股并既同于大勾大股而总求一甲丙大有不同于甲丁等七小并乎故求甲丙大为索长也二十二则
相连之股求勾
设圆柱髙二十尺索长二十九尺绕柱七周索与柱齐求柱周法曰置柱索各自乗【柱得四百尺索得八百四十一尺】两数相减【余四百四十一尺】平方开之【得二十一尺】以索绕七周归之得三尺即所求
解同前
二十三则
相连之勾求股
设圆柱周三尺索长二十九尺绕柱七周索与柱齐求柱髙法曰置柱周七因之【得二十一尺】自乗【得四百四十一尺】另置索自乗【得八百四十一尺】两数相减【余四百尺】平方开之得二十尺即所求
解同二十一则
二十四则
勾股形求对角之垂线
设勾六尺股八尺十尺求对角垂线法曰置勾股相乗【得四十八尺】以除之得四尺八寸即所求解曰勾股相乗必得丁丙直形与甲戊直形等何也丁丙直形倍大于甲乙丙勾股形甲戊直形
亦倍大于甲
乙丙勾股形
故等也以
除积得垂线
即以长除积
得濶也
二十五则
勾股形于上求自角至垂线之度
设勾三尺股四尺五尺求自角至垂线之度法曰
置勾自
乗【得九尺】以除
之得一
尺八寸
即乙角
至垂线之度与相减得三尺二寸即甲角至垂线之度
解曰甲乙上方形以对角戊丁线分之必成二直形而丁乙其一也丁乙直形与勾上方形等【本卷一则】以乙巳除之必得戊乙之度法以除者葢甲乙与乙巳等也○若欲先得甲戊则以除股羃
又法曰置为实以勾羃九尺乗之【得四十五尺】并勾股羃二十五尺除之亦得一尺八寸
解曰凡两形等髙形与形之比例若线与线【一卷四十五则】甲丁戊巳两形既等髙【图同前】则其比例必若甲戊与戊乙又甲丁与股羃等戊巳与勾羃等则股羃与勾羃之比例亦若甲戊与戊乙矣此借两羃之比例因全以求戊乙也○若欲先得甲戊则以股羃乗并两羃除之
又法曰并勾股【共七尺】以勾股较乗之【仍得七尺】以除之【得一尺四寸】与相减【余三尺六寸】折半亦得一尺八寸解曰此三角形求对角垂线法也【一卷三十一则】○若欲先得甲戊以一尺四寸与相并折半即得
二十六则
勾股求容方一法
设勾六尺股一十二尺求容以角切之方形法曰置勾股相乗【得七十二尺】以勾股相并【共一十八尺】除之得四
尺即容方之边
解曰甲乙丙勾股形
分甲丙于丁令丁
甲与丁丙之比例若
勾与股自丁作丁乙
线必分勾股形为甲丁乙乙丁丙两三角形一以勾为底一以股为底又两分形之比例亦若勾与股【防何原本云凡两形等髙者形与形之比例若底与底反之凡形与形之比例若底与底者两形之高必相等】令两分形各倍积求对角之垂线【本卷二十四则】一得丁戊一得丁巳两线必相等何也两垂线即两形之正髙两形之髙既等故两垂线必等也两线既等而又为为勾及股之垂线复切于丁则己戊形必为勾股所容之方而丁戊丁巳即容方之边也然分求之如是合求之亦必如是若并两形之倍积为实并两底除之亦得容方之边与丁戊【或丁已】等夫两形之倍积即勾与股相乗之积也两分形之底即勾与股也故置勾股相乗并勾股除之即得容方之度也
二十七则
勾股求容方二法
设一十五尺对角垂线五尺求容以角切勾与股之方形法曰置垂线为实以乗之【得七十五尺】以垂线
并除之得三尺七
寸五分即容方之边
解曰甲乙丙勾股形
丙丁为对角垂线分
垂线于戊令丙戊与
戊丁之比例若丙丁与甲乙则戊丁即所求之方边防何原本云作庚戊己线与甲乙平行次作庚壬己辛两线各与丙丁平行己庚既与甲乙平行即甲丁与丁乙若己戊与戊庚也合之即甲乙与丁乙若己庚与戊庚也又丁乙与丙丁若戊庚与丙戊平之即甲乙与丙丁若己庚与丙戊也又丙丁与甲乙若丙戊与戊丁平之即甲乙与甲乙若己庚与戊丁也甲乙与甲乙同线必等即己庚与戊丁必等而己庚与辛壬又等戊丁与己辛庚壬亦等则辛庚形必勾股所容之方形而戊丁即方边之度法以乗垂线而并与垂线除之者借甲乙与丙丁之比例因丙丁以求戊丁也
二十八则
勾股求容圆
设勾二十七尺股三十六尺四十五尺求容圆法曰置勾股相乗【得九百七十二尺】为实并勾股【共一百零八尺】除之得九尺即容圆之半径倍之得一十八尺即全径解曰甲乙丙勾股形自三角各出一线平分各角相
遇于丁即分勾股形为甲丁
乙乙丁丙丙丁甲三三角形
一以全形之勾为底一以股
为底一以为底各角既平
分而复有一边同线则三形
必等髙令三形各倍积求对角之垂线【本卷二十四则】一得丁戊一得丁已一得丁庚三垂线必等何也三垂线即三形之正髙三形既等髙故垂线必等也三线既等其相遇处必容圆之心【几何原本云凡圆内出三线至界而皆等者其防必是圆心】而三线皆半径也然分求之如是合求之亦必如是若并三形之倍积为实并三底除之亦得容圆之半径与丁戊【或丁已或丁庚】等夫三分形之倍积即勾与股相乗之积也三分形之底即勾股也故置勾股相乗并勾股除之得容圆之半径也
二十九则
勾股求外切圆
设勾股长二十八尺求外切圆周法曰置二十二乗七除得八十八尺即所求
解曰此圆径求周法也【二卷一则】今以之求勾股外切圆
形何也凡圆内以径为底任
作三角形皆成勾股如甲乙
丙形丙为方角甲乙丁形丁
为方角甲乙戊形戊为方角
反之以为径作圆必外切
勾股形之方角
三十则
容方之勾股以余勾余股求方边及全勾全股
设容方之余勾二尺余股八尺求方边及全勾股法曰置余勾余股相乗【得一十六尺】平方开之得四尺即方
边以四尺加余勾得六
尺即全勾以四尺加余
股得一十二尺即全股
解曰甲乙丙勾股形容
壬巳方形自甲作甲丁
线以丙丁线联之成乙
丁直形复于己庚壬庚
两线引之至戊至辛必分乙丁直形为四形其甲庚庚丙同依甲丙对角线为两角线形其乙庚庚丁为两
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