直形也而己丁直形即己庚辛丁两形并也安得不与甲乙丁庚斜方形等乎
七则
梯形求积
设梯田长一十五步上濶六步下濶十步求积法同斜方田
解曰甲乙丙丁梯形减去戊丁直形余甲丙戊乙丁
己两勾股形必与
辛丙己庚两分形
等今戊丁直形与
两分形并则与全
梯形等矣故并两濶折半乘长得积也
八则
象目形求积
设象目田濶八步正长一十二步求积法曰置正长
为实以濶乘之得
九十六步即所求
解曰几何原本云
甲乙丙丁象目形
甲戊为正长自乙
作乙己线与甲戊平行次于丁丙线引长之至戊成甲乙己戊甲乙丁丙两形在平行线内【等高即在平行线内】而同底【等濶即同底】则两形必相等何也甲戊乙己两线既平行则戊己必与甲乙等而丙丁元等于甲乙则丙丁与戊己必亦等丙丁既与甲乙等则甲丙乙丁两线必平行而亦相等因显甲丙戊乙丁己两三角形亦等于两形内每减一己丙庚三角形所余甲庚己戊庚乙丙丁两无法四边形亦等次于两无法形每加一甲庚乙三角形则成甲乙丙丁甲乙戊己两形安得不等法以濶乘正长得甲己直形之积即甲乙丙丁象目形之积
又法甲乙丙丁象目田自甲量至丁得一十六步自丙量至戊得六步两数相乘亦得九十六步与前同
解曰象目田以甲丁线分之则成相
等之两三角形甲丁即底丙戊即中
长也故以底乘长得全积也【三角法以底乘
长折半得积今不折故得两形之共积】
九则
诸直线形求积
第一图
可作三
三角形
第二图
可作一
斜方形
一三角
形第三图可作一三角形而减一小三角形第四图可作一方形而减一勾股形第五图可作一直形一勾股形第六图可作两三角形其余千形万状凡属直线边者皆依方直三角勾股裁之
十则
积求方边【即开平方】
设方田积三万六千一百步求方边法曰置积于中为实初商一百步于实左亦置一百步于实右为方法左右对呼除实一万步【余二万六千一百步】倍方法【得二百步】为
亷法次商九十步于左初商
之次【共一百九十步】亦置九十步于
右亷法之次为隅法【共二百九十步】以左次商与亷法对呼除实
一万八千步【余八千一百步】又以左
次商与隅法对呼除实八千
一百步恰尽于左得一百九十步即所求方边之数解曰初商与方法对呼所除者己辛方形也【即大方积】次商与亷法对呼所除者甲壬壬丁两直形也【即两亷】必倍方法为亷法者以亷有二也次商与隅法对呼所除者庚戊方形也【即隅方】四形恰尽实积则初次两商
之数为方田边无疑矣
又设方田积七万一千八百
二十四步求方边法曰置积
于中为实初商二百步于左
亦置二百步于右为方法左
右对呼除实四万步【余三万一千八
百二十四步】倍方法【得四百步】为亷法
次商六十步于左初商之次亦置六十步于亷法之次为隅法先以次商与亷法对呼除实二万四千步再以次商与隅法对呼除实三千六百步【余实四千二百二十四步】又倍次商【得一百二十步】并右亷法【共五百二十步】复为亷法三商八步于左初商次商之次【共二百六十八步】亦置八步于右亷法之次复为隅法先以三商与亷法对呼除实四千一百六十步再以三商与隅法对呼除实六十四步恰尽于左初次三三商共得二百六十八步即所求方边之数
解曰此与前条无异但前二位此三位耳初商次商不能尽故三商之如三商又不尽则四商五商仿此十一则
方边求斜
设方田方五十步求法曰置方数自乘【得二千五百步】倍
之【得五千步】平方开之【本巻十则】得七十步零
七分有竒即所求
解曰甲乙丙丁方形作甲丁丙乙
线次作己庚辛壬方形令方边与甲
丁方形之线等则庚壬方形必倍大于甲丁方形何也甲丁形内丁戊丙丙戊甲甲戊乙乙戊丁三角形四是四三角形当一甲丁方形也形外丁丙己乙丁壬甲乙辛丙甲庚三角形亦四各与甲丁形内四三角形等是形外四三角形又当一甲丁方形矣因知斜自乘之方形【即庚壬方形】倍大于方边自乘之方形【即甲丁方形】法置方边自乘即甲丁方积也倍之即庚壬方积也平方开之得庚壬方形之边即得甲丁方形之也
十二则
斜求方边
设方田长七十步零七分有竒求方边法曰置自乘【得五千步】折半【得二千五百步】平方开之得五十步即所求解曰置自乘求庚壬方积也【图同上则】折半即甲丁方积也故平方开之得甲乙
十三则
直积求长与濶【即带纵开平方】
设直田积九百七十二步长濶差九步求长与濶法
曰置积四因之【得三千八百八十八步】又长濶
差自乘【得八十一步】两数并【共三千九百六十九步】平方开之得六十三步加长濶差【共七
十二步】折半得三十六步即长以长濶
差减长余二十七步即濶
解曰一线任两分之两分线矩内形四及两分线之较线上方形一并与元线上方形等如图甲乙线两分于丙丙子庚癸己壬辛丑四线各与乙丙等庚子己癸辛壬丙丑四线各与甲丙等则丙庚庚己己辛辛丙四形必两分线矩内形也辛丑既等于丙乙壬辛又等于甲丙则丑壬必两分线之较线壬癸癸子子丑又各等于丑壬则癸丑形必较线上方形矣甲乙元线上方形不与五形并等乎直田积即两分线矩内形也四因之者矩内形四也长濶差自乘即较线上方形也五形并等于元线上方形故平方开之得甲乙元线即长濶相和之度也【开方所得之六十三步】长濶和增一长濶差即两长两长折半非一长而何以长濶差减长非濶而何
十四则
直形以长求濶
设直田积九百七十二步长三十六
步求濶法曰置积为实以长除之得
二十七步即所求
解曰濶为长之倍数故以长除积得
濶【本巻二则】
十五则
直形以濶求长
设直田积九百七十二步濶二十七步求长法曰置积为实以濶除之得三十六步即所求
解曰长亦为濶之倍数故以濶除实得长【本巻二则】十六则
直形长濶求
设直田濶二十七步长三十六步求
法曰长濶各自乘【长得一千二百九十六步濶得
七百二十九步】两数并【共二千零二十五步】平方开之
得四十五步即所求
解曰此即勾股求【六巻一则】
十七则
直形濶求长
设直田濶二十七步四十五步求长法曰濶各自乘【得二千零二十五步濶得七百二十九步】两数相减【余一千二百九十六】平方开之得三十六步即所求
解曰此即勾求股【六巻二则】
十八则
直形长求濶
设直田长三十六步四十五步求濶法曰长各自乘【得二千零二十五步长得一千二百九十六步】两数相减【余七百二十九步】平方开之得二十七步即所求
解曰此即股求勾【六巻三则】
十九则
直形长及濶差求濶
设直田长三十六步濶差一十八步求濶法曰长与濶差各自乘【长得一千二百九十六步濶差得三百二十四步】两数相减【余九百七十二步】折半【得四百八十六步】以濶差为法除之得二十七步即所求
解曰此即股与勾较求勾【六巻十四则】
二十则
直形濶及长差求长
设直田濶二十七步长差九步求长法曰置濶自乘【得七百二十九步】以长差为法除之【得八十一步】减长差【余七十二步】折半得三十六步即所求
解曰此即勾与股较求股【六巻十五则】
二十一则
直形及长濶和求长濶差
设直田长濶和六十三步四十五步求长濶差法曰置自乘【得二千零二十五步】倍之【得四千零五十步】另置长濶和自乘【得三千九百六十九步】两数相减【余八十一步】平方开之得九步即长濶差以减长濶和【余五十四步】折半得二十七步即濶加长濶差得三十六步即长
解曰此即与勾股和求勾股较【六巻七则】
二十二则
直形长及濶和求濶
设直田濶和七十二步长三十六步求濶法曰置长自乘【得一千二百九十六步】以濶和为法除之得一十八步即濶差以减濶和【余五十四步】折半得二十七步即所求
解曰此即股与勾和求勾较【六巻十八则】
二十三则
直形濶及长和求长
设直田长和八十一步濶二十七步求长法曰置濶自乘【得七百二十九步】以长和为法除之得九步即长差以减长和【余七十二步】折半得三十六步即所求解曰此即勾与股和求股较【六巻十九则】
二十四则
直形及长濶差求长与濶
设直田长濶差九步四十五步求长与濶法曰置自乘【得二千零二十五步】倍之【得四千零五十步】另置长濶差自乘【得八十一步】两数相减【余三千九百六十九步】平方开之得六十三步即长濶和加长濶差【共七十二步】折半得三十六步即长减长濶差余二十七步即濶
解曰此即与勾股较求勾股和【六巻十则】
二十五则
直形长和及濶和求长与濶
设直田长和八十一步濶和七十二步求长与濶法曰置长和以濶和乘之【得五千八百三十二步】倍之【得一万一千六百六十四步】平方开之得一百零八步与长和相减余二十七步即濶与濶和相减余三十六步即长
解曰此即勾和股和求勾与股【六巻十三则】
二十六则
直形长差及濶差求长与濶
设直田长差九步濶差一十八步求长与濶法曰置长差以濶差乘之【得一百六十二步】倍之【得三百二十四步】平方开之得一十八步加濶差得三十六步即长加长差得二十七步即濶
解曰此勾较股较求勾与股【六巻二十则】
二十七则
直形积及长濶和求长濶差
设直田长濶和六十三步积九百七十二步求长濶差法曰置长濶和自乘【得三千九百六十九步】另置积四因之【得三千八百八十八步】两数相减【余八十一步】平方开之得九步即所求
解曰长濶和自乘之方积当直田积四长濶差自乘之方积一故以长濶和自乘减去四直田积余以平方开之得长濶差也【本巻十三则】
二十八则
直形积及长濶和求
设直田积九百七十二步长濶和六十三步求法曰置长濶和自乘【得三千九百六十九步】另置积倍之【得一千九百四十四步】两数相减【余二千零二十五步】平方开之得四十五步即所求
解曰甲戊形长濶和自乘之方也庚
辛形自乘之方也甲戊形内勾股
八及长濶差自乘之方一庚辛形内
勾股四及长濶差自乘之方一每二
勾股当一直形【如一丙乙丑辛直形内有乙丙辛丑辛丙】
【两勾股形】是长濶和上方形大于上方形之较为二直田积也故法以长濶和自乘减去二直田积平方开之即得度也
二十九则
两边等之三角形求对角之垂线
设三角田底濶六步两余边各五步
求中长法曰置底折半【得三自步】乘【得九
步】余边亦自乘【得二十五步】两数相减【余一
十六步】平方开之得四步即所求
解曰丙乙作乙丁作勾以所求之丙丁作股此即勾求股法也【六巻二则】甲乙边折半即得勾者以乙丙丙甲两边等也设两边不等此法不行矣则有下法在
三十则
有一方角之三角形求对角之垂线
设不等边三角田有一方角【丙为方角即勾股田】底濶十步乙丙边六步甲丙边八步求中长法曰置乙丙边自乘【得三十六步】以底除之【得三步六分○此即丁乙之度以下仍勾求股法】又自乘
【得一十二步九分六厘】与丙乙边自乘之数相
减【余二十三步零四厘】平方开之得四步八分
即所求
解曰此勾股求对角垂线法也【六巻二十
五则】因有方角故用之若无方角此法
又穷矣更有一法不问等边方角与否皆可求如下
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