之亦必得一亷半隅也又全形之比例与截形等【本巻四十九则】丙戊之与甲戊必若丙庚之与己庚故置截积以元长丙戊除之以两边较线甲戊乘之亦得一亷半隅与前同倍之则成两亷一隅夫小边上方形之小于截濶上方形者此两亷一隅也并之则成截濶上方形矣故平方开之得截濶
五十二则
斜方形依大边截积求截濶
设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自大边截积一千七百八十七步五分求截濶法曰置积为实以两元濶相减【余一十八步】乘之【得三万二千一百七十五步】以元长除之【得三百五十七步五分】倍之【得七百一十五步】另以大边元濶自乘【得一千四百四十四步】两数相减【余七百二十九步】平方开之得二十七步即所求
解曰既自大边截积则
元形之大边亦即截形
之大边而截濶为小边
小边上方形之小于大
边上方形者两亷一隅也故于大边上方形内减去两亷一隅平方开之即得截濶○若并求长得濶用本巻四十八则法求之
五十三则
梯形截勾股
设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步自一角截勾股积三百四十八步四分八厘求
截濶法曰置积倍之【得六百九十六
步九分六厘】以两元濶相减【余六十步】折半【得三十步】乘之【得二万零九百零八步八
分】以元长除之【得一百七十四步二分四】
【厘】平方开之得一十三步二分即所求
解曰甲乙丙丁梯形减去甲戊丙丁斜方所余必戊丁乙勾股形截积亦勾股形则是勾股截勾股也故法同勾股【本巻四十六则】○若求长则倍截积以截濶除之即得【本巻三十八则】
五十四则
梯形截斜方
设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步截斜方积三千六百步求截濶法曰置积为实
以元长除之【得三十步】另以两元
濶相减【余六十步】四归之【得一十五步】两数并得四十五步即所求
解曰元长除截积得己戊甲
庚为大边大于小边之半甲己又为甲庚之半则甲己为大边大于小边四分之一矣故四归两濶之较并己戊得截濶
五十五则
梯形截无法五边形
设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步截五边形【即甲戊己丁丙】积五千六百五十一步五分二厘求截濶法曰先求梯田全积【本巻七则】减去截积【余三
百四十八步四分八厘】以梯田截勾股
法求之【本巻五十三则】得濶【一十三步二分】以减大边元濶余六十六步
八分即所求
解曰一十三步二分者乙己戊余形之濶乙戊也大边元濶甲乙减去乙戊余甲戊即截濶
五十六则
方环截外周
设方环田外方七十步自外截积二千四百步求截
环内方法曰置元方自乘【得四千九百步】减
去截积【余二千五百步】平方开之得五十步
即所求
解曰余环外方即截环内方
五十七则
方环截内周
设方环田内方三十步自内截积一千六百步求截环外方法曰置内方自乘【得九百步】与截积并【得二千五百步】平方开之得五十步即所求
解曰内方自乘者补环内虚形以便开方也
数学钥巻一
<子部,天文算法类,算书之属,数学钥>
钦定四库全书
数学钥巻二凡例
柘城杜知耕撰
凡例
一则
圆必中规不中规者不得为圆形形界曲线曰周【如甲乙丙
丁线】过心直线曰径【如丁丙线】
二则
一率自乘之数等于两率相乘之数则此率为两率之中率如甲与乙之比例犹乙与丙则乙为甲丙之中率
三则
设内外两形内形或以角或以边抵外形之界而不交
曰相切如丙为甲乙之内切形甲乙
为丙之外切形
四则
曲线直线相杂曰杂线形
五则
割甲乙丙丁圆之一分为甲乙丙弧矢形甲乙丙曲线
曰背甲乙衡线曰丙丁纵线曰矢
丙己曰全径丁己曰余径丁戊曰离
径丙戊曰半径
六则
设甲乙直线以线为径作甲乙丙丁圆形曰甲乙线上
圆形
数学钥巻二凡例
钦定四库全书
数学钥卷二目録
柘城杜知耕撰
方田下【曲线类】
一则圆径求周
二则圆周求径
三则圆周径求积
四则圆径求积
五则圆周求积
六则圆积求径
七则圆积求周
八则圆环求积
【增】九则圆环以积及内周求外周
【增】十则圆环以积及外周求内周
十一则圆环以积及内外周求环濶
【增】十二则圆环以两周求环濶
【增】十三则圆环以积及濶求两周
【增】十四则圆环以积及濶求径
十五则圆环以全径及虚径求积
【西法】十六则撱圆求积
【西法】十七则弧矢求积
【增】十八则弧矢形以积矢及离径求背
【西法】十九则弧矢形以矢求余径【求
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