全径离径半径附】
【西法】二十则弧矢形以矢径求
二十一则弧矢形以离径半径求
【西法】二十二则弧矢形以及余径求矢
【增】二十三则弧矢形以及全径求矢
二十四则弧矢形以半半径求矢
二十五则弧矢形以半及离径求矢
【增】二十六则弧矢形以半径半较及半离径较求矢与
二十七则旧弧矢法以矢求积
二十八则旧弧矢法以积矢求
二十九则旧弧矢法以积求矢
【增】三十则增弧矢法以矢求积
【增】三十一则圆截圆
三十二则圆截弧矢
【西法】三十三则弧矢形截杂线三角形
三十四则方内减圆以余积求圆积
三十五则方内减圆以余积求方积【求方边圆径附】
三十六则圆内减方以余积求方积【求方边圆径附】
三十七则圆内减方以余积求圆积
三十八则方内减不相切之圆以余积求方边及圆径
【增】三十九则圆内减不相切之方以余积求圆径及方
四十则诸杂线形求积
数学钥巻二目録
钦定四库全书
数学钥巻二
柘城杜知耕撰
方田下【曲线类】
一则
圆径求周
设圆田径二十八步求周法曰置径为实以周法二十二乘之【得六百一十六步】以径法七除之得八十八步即所求
解曰径法七周法二十二者径与周
之比例若七与二十二也何也西洋
亚竒黙德云圆径与圆周三倍又七
十之十则朒【谓周不及此数也】三倍又七十
一之十则盈【谓周过于此数也】先论三倍又七十之十曰丁甲乙半圜戊为心从甲作午子切线从乙从丁作乙己壬丁线各与乙戊半径等设乙戊己角六十度己戊甲角必三十度为六边形之半角也末从心过己过壬作戊午戊子线成戊午子等角形己戊壬既六十度则午子为等角形之边设甲午股一百五十三
步则戊午必三百零六步【戊午元与午子
等午子既倍大于甲午则戊午亦必倍大于甲午】各自乘甲
午股得二万三千四百零九步戊午
得九万三千六百三十六步两数
相减余七万零二百二十七步平方
开之得二百六十五步有竒为戊甲
勾【即半径】则戊甲与甲午之比例为二
百六十五步有竒与一百五十三步
次平分午戊甲角作戊庚线任分甲午于庚【庚戊线割圜界于酉己酉甲酉两弧等两弧既等则酉戊己酉戊甲两角必等故曰平分甲庚庚午两线不等故曰任分】则午戊与戊甲若午庚与甲庚合之戊午偕戊甲而与戊甲若午庚偕甲庚而与甲庚更之戊午并戊甲而与甲午【甲午即午庚偕甲庚】若戊甲与甲庚先定戊午戊甲并为五百七十一步有竒午甲为一百五十三步则戊午并戊甲与甲午之比例若五百七十一步有竒与一百五十三步则戊甲与甲庚之比例亦若五百七十一步有竒与一百五十三步矣即以两数各自乘并而开方得五百九十一步又八之一不尽为庚戊线【戊甲为勾甲庚为股庚戊为】则庚戊与甲庚之比例若五百九十一步又八之一不尽与一百五十三步次平分庚戊甲角作戊辛线则戊庚并戊甲一千一百六十二步又八之一与庚甲一百五十三步若戊甲与甲辛若设甲辛为一百五十三步则戊甲为一千一百六十二步又八之一有竒两数各自乘并而开方得一千一百七十二步又八之一为辛戊线【甲戊为勾甲辛为股辛戊为】则辛戊与辛甲之比例若一千一百七十二步又八之一与一百五十三步次平分辛戊甲角作戊寅线则辛戊并戊甲二千三百三十四步又四之一与辛甲一百五十三步若戊甲与甲寅设甲寅为一百五十三步则戊甲为二千三百三十四步又四之一两数各自乘并而开方得二千三百三十九步又四之一有竒为寅戊线【戊甲为勾甲寅为股寅戊为】则寅戊与寅甲之比例若二千三百三十九步又四之一有竒与一百五十三步次平分寅戊甲角作未戊线则寅戊并戊甲四千六百七十三步五分有竒与寅甲一百五十三步若戊甲与甲未若设甲未为一百五十三步则戊甲为四千六百七十三步五分有竒子戊午为半圜三分之一即为全圜六分之一甲戊午为十二分之一甲戊庚为二十四分之一甲戊辛为四十八分之一甲戊寅为九十六分之一甲戊未为一百九十二分之一复作甲戊申角与甲戊未角等成未戊申三角形未甲申其切线也为九十六边形之一边此边与全径之比例若一百五十三步与四千六百七十三步五分【未申倍大于未甲乙丁全径亦倍大于甲戊半径】以一百五十三步乘九十六边得一万四千六百八十八步则全边与全径之比例为一万四千六百八十八步与四千六百七十三步五分约之为三又七之一不足夫形外切线尚不及三又七之一况圜周乎 次论三倍又七十一之十曰乙甲丙半圜乙丙径戊心从丙作丙甲与半径戊丙等【甲丙即六边形之一边】从乙作乙甲线成乙甲丙勾股形而甲为方角设甲丙勾为七百八十步乙丙为一千五百六十步两数各自乘相减开方得一千三百五十一步不足为乙甲股则乙甲与甲丙之比例为一千三百五十一步与七百
八十步次平分甲乙丙角作乙丁线
以丁丙聨之成丁乙丙丙丁己两勾
股形自相似葢同用丁方角在半圜
内甲丁丁丙两线所乘之弧等则丁
丙己丁乙丙两弧之角必等凡两形
有两角等者各腰俱相似则乙丁【大股】与丙丁【大勾】若丁丙【小股】与丁己【小勾】又乙
丙【大】与丁丙【大勾】若己丙【小】与丁己【小勾】
更之乙丙与己丙【两】若丁丙与丁己【两勾】是乙丁与丁丙【两股】丁丙与丁己【两勾】乙丙与己丙【两】三比例皆等又乙丙与己丙【两】若乙丙并甲乙【两腰】与甲丙底之两分则乙丁与丁丙亦若乙丙并乙甲与甲丙先定乙甲一千三百五十一步弱乙丙一千五百六十步是乙甲乙丙并为二千九百一十一步弱甲丙先设七百八十步则乙丁与丁丙亦为二千九百一十一步弱与七百八十步各自乘并而开方得三千零一十三步又四之一弱为乙丙线【乙丁丙形之】则乙丙与丁丙之比例为三千零一十三步又四之一弱与七百八十步次平分丁乙丙角作辛乙线依前论丁乙并乙丙与丙丁若乙辛与辛丙先定乙丙三千零一十三步又四之一弱乙丁二千九百一十一步弱并为五千九百二十四步又四之一弱今丙丁为七百八十步则乙辛与辛丙为五千九百二十四步又四之一弱与七百八十步欲省数改设辛丙二百四十步改设乙辛一千八百二十三步弱两数各自乘并而开方得一千八百三十八步又十一之九弱为乙丙线【乙辛丙形之】则二百四十步与一千八百三十八步又十一之九弱为丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬线以壬丙线聨之辛乙乙丙两数并三千六百六十一步又十一之九弱与辛丙二百四十步为乙壬与壬丙之比例又改设壬丙六十六步改设乙壬一千零七步弱两数各自乘并而开方得一千零九步弱则六十六步与一千零九步弱为壬丙与乙丙之比例末平分壬乙丙角作乙庚线以庚丙线聨之乙庚与庚丙若壬乙并乙丙二千零一十六步又六之一与丙壬六十六步两数各自乘并而开方得二千零一十七步又四之一弱为乙丙线【乙庚丙形之】则庚丙与乙丙之比例为六十六步与二千零一十七步又四之一弱丙甲弧为全圜六分之一丙丁十二分之一丙辛二十四分之一丙壬四十八分之一丙庚九十六分之一是丙庚为九十六边内切圜形之一边也以六十六步乘九十六边得六千三百三十六步为九十六边内切形之周乙丙径为二千零一十七步又四之一弱约之径一周三又七十一之十强夫圜内切线为三又七十一之十尚强况圜周乎○按三又七十一之十设径一则周三一四零八四五零七零四二二有竒设周一则径三一八三八五六五零二二再约之径七十一步周二百二十三步三又七十之十设径一则周三一四二八五七一四二八五七有竒设周一则径三一八一八一八一八一八有竒再约之径七步周二十二步两数皆不能与周径脗合但径七周二十二其数少整姑从之
二则
圆周求径
设圆田周八十八步求径法曰置周为实以径法七因之【得六百一十六步】以周法二十二除之得二十八步即所求
解曰即前法反用之
三则
圆周径求积
设圆田周八十八步径二十八步求积法曰置周折半【得四十四步】为实以径折半【得一十四步】为法乘之得六百
一十六步即所求
解曰圆形与半径为高全周为底之
三角形等何也测量全义云甲乙丙
丁圜自戊心百分之必皆成三角形
而己戊甲其百分之一也次依甲戊半径作庚戊辛三角形令庚辛底与圜之全周等自戊角百分之亦必皆成三角形而甲戊壬其百分之一也己戊甲甲戊壬两分形己甲甲壬两底既等又戊甲同高因推其容必等夫百倍己戊甲为甲乙丙丁全圜百倍甲
戊壬为庚戊辛三角形两分形既等
两全形有不等乎故法以半径乘半
周得庚戊辛三角形之积即得甲乙
丙丁圜之积也○或云己戊甲虽全
圜百分之一其底终属曲线不可与
直线三角形为比不知甲戊壬角大
于己戊甲角而己戊甲中垂线大于
甲戊壬中垂线两相折准即谓之无
差亦可
四则
圆径求积
设圆田径二十八步求积法曰置径自乘【得七百八十四步】再以十一乘之【得八千六百二十四步】以十四除之得六百一十六步即所求
解曰测量全义云甲乙丙丁圜庚戊辛三角形以半径为高以圜周为底己壬为圜径上方形己丁直形以全径为濶以半径为高而为己壬方形之半己戊癸三角形亦以全径为濶半径为高而为己丁直形
之半己戊癸形既为己丁直形之半
必为倍大于己丁之己壬方形四之
一又己戊癸与庚戊辛两形同以半
径为高凡两形等高者形与形之比
例若线与线【两线即两底○一巻四十五则】今庚辛
底与圜周等己癸底与圜径等是己
戊癸庚戊辛两形之比例若圜径七
与圜周二十二若以四倍大于己戊
癸之己壬方形与庚戊辛三角形较
其比例必若二十八与二十二矣各以二约之为十四与十一夫庚戊辛三角形与圆形等【本巻三则】故方圆之比例亦若十四与十一法以圆径自乘求己壬方形之积也以十一乘十四除取方积十四分之十一以为圆积也
五则
圆周求积
设圆田周八十八步求积法曰置周自乘【得七千七百四十四步】以七因之【得五万四千二百零八步】以八十八除之得六百一
十六步即所求
解曰戊己庚辛圜
戊己径与甲乙丙
丁圜周等则两圜
之比例为其径与
径再加之比例再
加云者以两径各
自乘之数以为比
例也设甲乙径七
戊己径二十二甲乙自乘得四十九戊己自乘得四百八十四是两圜之比例若四十九与四百八十四又壬癸方形与戊己庚辛圜元若十四与十一【本巻四则】今戊己庚辛圜既为四百八十四壬癸方形必六百一十六是壬癸方形与甲乙丙丁圜必若六百一十六与四十九矣各以七约之为八十八与七法以圜周自乘即壬癸方形之积也以七乘八十八除取方积八十八分之七以为甲乙丙丁圜积也
六则
圆积求径
设圆田积六百一十六步求径法曰置积为实以十四乘之【得八千六百二十四步】以十一除之【得七百八十四步】平方开
之得二十八步即所求
解曰以十四乘十一除者因圜积以
求戊己方积也平方开之得方边即
得圜径者方边与圜径等也
七则
圆积求周
设圆田积六百一十六步求周法曰置积为实以八十八乘之【得五万四千二百零八步】以七除之【得七千七百四十四步】平方开之得八十八步即所求
解曰以八十八乘七除者因圜积以求圜周上方积也【本巻五则】故平方开之得圜周
八则
圆环求积
设环田外周六十六步内周一十一步求积法曰置内外两周各自乘【外周得四千三百五十六步内周得一百二十一步】两数相减【余四千二百三十五步】以七乘之【得二万九千六百四十五步】以八十八
除之得三百三十六步八分七厘五
毫即所求
解曰与方环求积同【一巻三十三则及本巻五则】
九则
圆环以积及内周求外周
设圆环田积三百
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