百三十六步八分七厘五毫内周一十一步求外周法曰置积为实以八十八乘之【得二万九千六百四十五步】以七除之【得四千二百三十五步】另置内周自乘【得一百二十一步】两数并【共四千三百五十六步】平方开之得六十六步即所求
解曰两数并共成周上方积故平方开之得外周十则
圆环以积及外周求内周
设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫外周六十六步求内周法曰置外周自乘【得四千三百五十六步】另置环积以八十八乘之【得二万九千六百四十五步】以七除之【得四千二百三十五步】两数相减【余百二十一步】平方开之得一十一步即所求
解曰外周上方积减去八十八乘七除之环积所余即内周上方积也故平方开之得内周
十一则
圆环以积及内外周求环濶
设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫外周六十六步内周一十一步求环濶法曰置积为实以两周相并【共七十七步】折半【得三十八步五分】为法除之得八步七分五厘即所求
解曰全圆既同三角形则圆环必同梯形圆环之两周犹梯形之两濶也圆环之濶犹梯形之中长也故用梯形求长法【一巻四十八则】即得环濶
十二则
圆环以两周求环濶
设圆环田外周六十六步内周一十一步求环濶法曰置两周各以七乘之【外周得四百六十二步内周得七十七步】各以二十二除之【外周得二十一步内周得三步五分】两数相减【余一十七步五分】折半得八步七分五厘即所求
解曰外周所得者圆之全径也内周所得者环内虚径也全径减虚径所余即环之两濶故折半得一濶也
十三则
圆环以积及濶求两周
设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫濶八步七分五厘求两周法曰置积为实以濶除之得三十八步五分另置濶以二十二乘之【得一百九十二步五分】以七除之【得二十七步五分】与三十八步五分相并得六十六步即外周与三十八步五分相减得一十一步即内周解曰此亦梯形求濶法也法以环濶除积所得之三十八步五分即两环周之中度也环濶为全径与虚径相差之半以二十二乘七除则为内外两周相差之半矣故以之增减两周之中度得两周也
十四则
圆环以积及濶求径
设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫濶八步七分五厘求全径及虚径法曰置积以十四乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十一除之【得四百二十八步七分五厘】另置濶自乘【得七十六步五分六厘二毫五丝】以四因之【得三百零六步二分五厘】两数相减【余一百二十二步五分】为实以四因濶【得三十五步】为法除之得三步五分即虚径倍濶【得一十七步五分】加之得二十一步即全径
解曰置积以十四乘十一除者令圆环积化为方环积也余即方环求内方法【一巻五十六则】
十五则
圆环以全径及虚径求积
设圆环田全径二十一步虚径三步五分求积法曰置两径各自乘【全径得四百四十一步虚径得一十二步二分五厘】两数相减【余四百二十八步七分五厘】以十一乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十四除之得三百三十六步八分七厘五毫即所求解曰两径各自乘相减者求方环积也十一乘十四除者因方环积以求圆环积也
十六则
撱圆求积
设撱圆田大径九十步小径四十步求积法曰置两径相乘【得三千六百步】以十一乘之【得三万九千六百步】以十四除之得二千八百二十八步五分七厘有竒即所求
解曰西洋亚竒黙德云取撱
圆两径之中率为径作圆其
容与撱圆等【四九之中率为六谓四之与六
犹六之与九也】夫求中率之法以两
径相乘平方开之即得然中率自乘之数实即两径相乘之数故法以两径相乘十一乘十四除为撱圆积也【撱圆形状不同恐不能无小差】
十七则
弧矢求积
设弧矢田矢濶五步长一十七步三分二厘有竒背二十步零九分五厘二毫有竒离径五步求积法
曰置背以离径并矢【共十步】乘
之【得二百零九步五分二厘三毫有竒】另置
以离径乘之【得八十六步六分有竒】两
数相减【余一百二十二步九分二厘三毫有竒】
折半得六十一步四分六厘一毫有竒即所求解曰甲乙丙弧矢形戊为圜心自甲自乙作甲戊乙戊两线成甲戊乙丙杂线形其丙丁矢与丁戊离径并即全圆之半径甲丙乙背又为圆周之分线求积之法当与圆同夫圆以半径乘周折半得积【本巻三则】则杂线形亦必以半径乘背折半得积矣又杂线形内以甲乙线分之必成一甲乙丙弧矢形一甲戊乙三角形其三角形以甲乙为濶以丁戊离径为高若以高乘濶折半必得三角形之积【一巻五则】于杂线形内减去三角积所余非弧矢积而何故法以半径乘背离径乘相减折半得积也【相减而后折半与各折半而后相减得数同】十八则
弧矢形以积矢及离径求背
设弧矢田积六十一步四分六厘一毫有竒矢五步
一十七步三分二厘有竒离径五
步求背法曰置积倍之【得一百二十二步九分二
厘三毫有竒】另置以离径乘之【得八十六步六
分有竒】两数并【得二百零九步五分二厘三毫有竒】以矢
并离径【共十步】除之得二十步零九分五厘二毫有竒即所求
解曰即前则求积法反用之
十九则
弧矢形以矢求余径【求全径离径半径附】
设弧矢田矢五步一十七步三分二厘有竒求余径法曰置折半【得八步六分六厘有竒】自乘【得七十五步】以矢除之得一十五步即所求
解曰甲乙丙弧矢形丙丁为矢丁戊为离径丁己为
余径自圆心戊作
戊乙线成丁戊乙
勾股形丁乙半
为股丁戊离径为
勾戊乙半径为
另作辛夘形为丁
戊勾上方形庚壬形为戊乙上方形夫庚壬之大于辛夘者为癸丑子磬折形癸丑子磬折形必等于乙丁股上方形何也上方形与勾股上两方形并等故也【六巻一则】若移子于寅则成癸丑寅直形必以勾较为濶勾和为长今戊乙等于戊丙戊丙之大于丁戊勾者为丙丁是丙丁矢即勾较也故以矢除丁乙半【弧矢形之】自乘之积即得勾和又乙戊【勾股形之】既半径必与戊己等戊己合丁戊非丁己余径而何○求得余径加矢即全径减矢折半即离径加矢折半即半径
二十则
弧矢形以矢径求
设弧矢田矢五步径二十步求法曰以矢减径【余一十五步】以矢乘之【得七十五步】平方开之【得八步六分六厘有竒】倍之得一十七步三分二厘有竒即所求
解曰依前解矢与余径相乘之数即半自乘之数故平方开之得半倍之得全也
二十一则
弧矢形以离径半径求
设弧矢田半径十步离径五步求法曰置半径离径各自乘【半径得一百步离径得二十五步】两数相减【余七十五步】平方
开之【得八步六分六厘有竒】倍之得一十七步
三分二厘有竒即所求
解曰半径乙戊为【勾股形之】离径丁
戊为勾求得乙丁股即半也【弧矢形之】
【】故倍之得全
二十二则
弧矢形以及余径求矢
设弧矢田一十七步三分二厘有竒余径一十五步求矢法曰置折半【得八步六分六厘有竒】自乘【得七十五步】以余径除之得五步即所求
解曰依十九则解半自乘之数即矢偕余径相乘之数故以余径除之得矢
二十三则
弧矢形以及全径求矢
设弧矢田一十七步三分二厘有竒全径二十步求矢法曰置径各自乘【得三百步径得四百步】两数相减【余一百步】平方开之【得十步】以减全径【余十步】折半得五步即所求
解曰全径上方形当矢偕余径矩内形四及矢与余径之较线上方形一【一巻十三则】全上方形当半上方形四又半上方形与矢偕余径矩内形等【本巻十九则】于全径上方积内减去全上方积即减去矢偕余径矩内积四也则所余必矢与余径之较线上方积平方开之即得矢与余径之较线故以之减径折半得矢也
二十四则
弧矢形以半半径求矢
设弧矢田半八步六分六厘有竒半径十步求矢法曰置半半径各自乘【半得七十五步半径得一百步】两数相
减【余二十五步】平方开之【得五步】以减半径
得五步即所求
解曰半丁乙为股戊乙半径为
求得丁戊勾即离径也故以之减半
径得矢
二十五则
弧矢形以半及离径求矢
设弧矢田半八步六分六厘有竒离径五步求矢法曰置半离径各自乘【半得七十五步离径得二十五步】两数并【得一百步】平方开之【得十步】减去离径得五步即所求解曰半丁乙【图同前则】为股离径丁戊为勾求得乙戊即径也故减去离径得矢
二十六则
弧矢形以半径半较及半离径较求矢与设弧矢田半径多半一步三分四厘弱半多离径三步六分六厘强求矢及法曰并两数【共五步】以半径多半之数乘之【得六步七分】倍之【得一十三步四分】平方开之【得三步六分六厘】以加半径多半之数得五步即离径再加半多离径之数得八步六分六厘即半再加半径多半之数得十步即半径半径减去离径余五步即矢
解曰戊乙半径【图同二十四则】多于丁乙半之数即股较丁乙半多于丁戊离径之数即勾股较勾股较并股较即勾较此即勾较股较求勾股法也【六巻二十则】
二十七则
旧弧矢法以矢求积
设弧矢田矢十步二十步求积法曰置矢相并【共三十步】折半【得一十五步】以矢乘之得一百五十步即所求解曰旧説圆径一周三甲乙丙丁圆径二十步周六
十步甲乙丙弧矢形为全圆之半其
背为全周之半必三十步法以矢
相并即与弧背等折半以矢乘之犹
圆法以半径乘周折半得积之义也
【本巻三则】以旧法论全圆得积三百步而半圆之弧得积一百五十步与围三径一之数脗合无差过此以往其矢渐短弧形渐细其差渐多甚至百步之积有差至二十余步者即如十七则弧矢田一十七步三分二厘有竒矢五步依旧法求之止得积五十五步八分较前法所求之积则少五步六分六厘有竒前法虽密于旧法然必背矢皆具方可起算旧法有矢有即可得积故并存之
二十八则
旧弧矢法以积矢求
设弧矢田积五十五步八分矢五步求法曰置积倍之【得一百 十一步六分】以矢除之【得二十二步三分二厘】减去矢余
一十七步三分二厘即所求
解曰旧法以矢乘半半矢得弧矢
积若以矢除弧矢积必仍得半半
矢以矢除弧矢积既得半半矢以
矢除弧矢之倍积不得一一矢乎一一矢内减去一矢所余非而何
二十九则
旧弧矢法以积求矢
设弧矢田积五十五步八分一十七步三分二厘求矢法曰置积八因之【得四百四十六步四分】另置自乘【得二
百九十九步九分八厘二毫四丝】两数并【共七百四十六步三
分八厘二毫四丝】平方开之【得二十七步三分二厘】减
去【余十步】折半得五步即所求
解曰甲丁方形边与一二矢等甲
戊乙己丁庚丙辛各与矢等其戊己
等四直形即矢偕一一矢矩内形壬子即上方形也又弧矢形以矢乘半半矢得积【本巻二十七则】而当一直形之半则四直形必当八弧矢积矣是一二矢上方形与上方积一及弧矢积八并等反之则上方积一及弧矢积八并为一方其边必一二矢也法并两数以平方开之所得即一二矢之度故减折半得矢也○旧弧矢法背积及径辗转相求共三百二十六法实亦不出十七则以下十法之外其不能该者止以上三法耳故存之
三十则
增弧矢法以矢求积
设甲乙丙弧矢田丙丁矢五步甲乙一十七步三分二厘有竒求积法曰有矢与可得丁壬余径余径加矢可得丙壬全径【本卷十九则】甲己与丙壬等即以
甲己为甲乙为股求乙巳勾得十
步【六卷三则】为乙巳庚余弧之又将乙
己折半得巳辛复为勾戊巳半径为
求戊辛股以减半径【戊庚与戊巳等】余庚
辛一步三分四厘为乙己
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