无纵加廉法已进位矣初商虽四以下而以半纵加之满五则其倍之加纵而为廉法也亦满十而进位矣防法进位故初商亦必进盖豫算所商单数已在廉法之上也
又初商若得单数其廉法即为命分凡商得单数必在命分上一位凡开方皆然
一立方带纵
凡立方带纵有三一只带一纵如云长多方若干或高多方若干是也一带两纵而纵数相同如云长不及方若干髙不及方若干是也一带两纵而纵数不相同如云长多濶若干濶又多髙若干是也大约带一纵者只有纵数而已带两纵者有纵数又有纵方故其术不同立方带一纵者长多于方谓之横纵髙多于方谓之直纵初商得立方一方纵一合成长立方形次商平廉三内带纵者二长廉三内带纵者一小隅一合七形而成一形三商以上者皆仿此
以积实列位作防如立方法截首一防为初商之实视立方表中积数有小于初商实者用其方根为初商得数用其积数为初商积数次以初商自乘以乘纵数为纵积合计立方积纵积共数以减原积而定初商不及减者改商之及减而止
次商则以初商得数自乘而三之又以纵与初商相乘而两之共为平廉法或以初商三之纵倍之并其数以乘初商或以初商加纵而倍之并初商数以乘初商竝同【所谓带纵防二不带纵廉一也】又以初商三之加入纵为长廉法【所谓带纵廉一不带纵廉二也】乃以平廉法约第二防上余实商除得数为次商于是以次商乘平廉法为三平廉积又以次商自乘以乘长廉为三长廉积就以次商自乘再乘为隅积合计平廉长廉隅积共若干以减余实不及减者改商之及减而止
三商则以初商次商所得数加纵而倍之并商得数为法仍与商得数相乘为平廉法又以初商次商所得数三之加纵为长廉法以除原实如次商法余仿此列商得数依立方法得一书于防之上一位得二三四五书于防之上两位得六七八九书于防之上三位若纵数多廉法有进位则宜用常法者改用进法宜用进法者用超进之法宜超进者更超一位书之其法于次商时酌而定之盖次商时有三平防三长防再加隅一为命分之法法上一位单数也从此单数逆寻而上自单而十而百而千至初商位止有不合者改而书之若与初商恰合不必强改此法甚妙平方带纵亦可用之也
若宜商一十而改单九或宜商一百而改九十凡得数改退小一等数者皆不用上一防而以第二防论之此尤要诀不可忘【或于初商外作圈而以所商小一等数书于圈下亦可以上一防论也】立方带两纵纵数相同者如髙不及方若干则方之横与直俱多于髙是为两纵初商有纵廉二纵方一并立方而四盖两纵廉辅立方之两面而纵方以补其隅合为一短方形也次商平廉三内带一纵者二带两纵者一长廉三内带纵者二不带纵者一小隅一共七形合一短方形也
用法先以纵倍之为纵廉法又以纵自乘为纵方法乃如立方法列位作防视表中求初商方数及立方积次以初商得数乘纵方数为纵方积又以初商自乘数乘纵廉数为纵廉积合计纵方纵廉立方之积共若干数以减原实而定初商不及减改商之及减而止
次商则以初商得数加纵倍之以乘初商得数【所谓带一纵之廉二也】又以初商加纵自乘得数【所谓带两纵之廉一也】并之共为平廉法或以初商三之加纵以初商加纵乘之亦同次以初商加纵倍之并初商数共为长廉法【所谓带纵者二不带纵者一也】或以初商三之纵倍之亦同乃置余实列位以廉法位酌定初商列法而进退之以平为法而除余实得数为次商【皆所以减首位是空与否而为之进若退】或合平廉长廉两法以求次商亦同于是以次商乘平廉法为平廉积又以次商自乗数乗长廉法为长廉积又以次商自乗再乗为隅积合计平廉长廉隅积共若干以减余实而定次商又法以次商乗长廉法为长廉法又以次商自乗为隅法并长廉平廉隅法以与次商相乗为次商廉隅共积以减余实亦同不及减者改商之及减而止三商四商仿此
立方带两纵纵数不相同者如长多于濶髙又多于长初商有大廉纵一小廉纵一纵方一并立方形而四盖大廉纵以辅髙之一面小廉纵以辅长之一面而纵方以补两纵之阙也次商平廉三内带小纵者一带大纵者亦一兼带两纵者又一长廉三内带小纵者一带大纵者一不带纵者一小隅共七形合成不等方形也用法以两纵相并为纵亷以两纵相乗为纵方乃如立方法列位作防求初商之实以立方表求得初商立方积次以初商乗纵方数得纵方积以初商自乗乗纵廉数得纵亷积合计三积以减原实皆如前法
次商则以初商长濶维乗得数而并之为平廉法又以初商长濶髙并之为长廉法乃置余实列位【以平廉酌定初商之位而进退之】遂以平廉为法求次商以次商乗平廉为平廉积以次商自乗数乗长廉为长廉积以次商自乗再乗为隅积合三积以减余实不及则改及则止以待三商余仿此
凡不能成一单数者则以所商长濶髙维乗并之如平廉又以长濶髙并之如长廉又加单一如隅为命分母以所余之数为命分子
维乗之法如初商三十尺为濶加纵五尺共三十五尺为长又加纵一尺共三十六尺为髙濶乗长得一千零五十尺髙乗濶得一千零八十尺长乗髙得一千二百六十尺并三维乗数共得三千三百九十尺为平廉法若合长亷加隅一即为命分母也
若在次商后则加次商得数若在三商后则加三商得数
用筹法
开方用筹防法廉隅二形也故有二法今借开方大筹为隅法列于亷法筹下而共商之则隅亷合为一法而用加防矣存前法者所以着其理用防法者所以善其事
既得初商即倍根数为廉法以亷法数用筹【如商根为四则用八商根为六则用十二】以列于立方筹之上为廉隅共法合视共法筹某行内有与次商之实同者或畧少者减实以得次商以本行内方根命之既得次商则合初商次商倍之以其数用筹列平方筹以求三商四商以下仿此隅者小平方也故可以平方筹为法廉之数每大于隅一位今以平方筹为隅列于廉下则隅之进位与廉之本位两半圆合成一数故亷隅可合为一法也何以知亷大于隅一位也曰有次商则初商是十数矣平方之廉法是初商倍数故大于隅一位
若次商之实小于廉隅共法之第一行则知次商是空位也【不能成一数故空】则于廉法筹下平方筹上加一空位筹为廉隅共法以求三商既得三商则合初商三商数倍之去空位筹以倍数用筹列于平方筹之上以求四商如初商得四次商得空则用空位筹列于八筹之下及三商既得九则倍四○九而为八一八之数空位筹可不用矣若两空位则加两空筹三空位则加三空筹余仿此
凡余实必在商数下一位起倘空位则可作圏补之又凡亷隅共法筹第一行数即命分母也盖能满此数即成一单数矣
若立方则以初商数自乗而三之为平廉法以平亷法用筹列于立方筹之上为平廉小隅共法别以初商数三之而比共法尾位进一位为长亷法以长亷法用筹列于立方筹之下【法于长廉法筹下加一空筹以合进一位之数】
视共法筹内有小于实者为平廉小隅共积用其根数为次商次以次商自乗数【即平方筹之积数】与长廉法相乗【以平方筹之数寻长廉筹之行取其行内积数用之】得数加入平隅共积为次商搃积以减次商实乃如法以求三商余仿此
隅者小立方也故可以立方筹为法平廉之数每大于隅二位今以立方筹为隅法列于平廉下则隅之首位与平亷之末位两半圆合成一数故平防小隅可合为一法长防之两头皆如次商自乗之数故可以平方乗之又长防之数每大于隅一位故于下加一空筹以进其位便加积也何以知平防大于隅二位而长亷只大一位也盖平防者初商自乗之积也初商于次商为十数十乗十则成百数矣隅积者次商本位也故平防与隅如百与单相去二位也若长防则是初商之三倍位同初商初商与次商如十与单故长亷与小隅亦如十与单相去一位也
若次商之实小于平廉小隅共法之第一行或仅如共法之第一行而无长廉积则次商是空位也法于初商下作空位圈以为次商而于平防筹下立方筹上加两空位筹为三商平亷小隅之共法以求三商其长防法下又加一空位筹并原有一空位筹共两空位筹为三商长防法或长防不必加空筹但于得数下加两圜若商数有两空位者平防下小隅上加四空位筹长防积下加三圈
盖有空位则所求者三商也初商与三商如百与单而平防者初商之自乗百乗百成万故平防与三商之隅如万与单大四位也此加两空筹之理【平防原大二位加二空筹则大四位矣】
初商与三商既如百与单则长防与隅亦如百与单大两位也此又加一空筹之理也
命分还原法如原实八步开得方二步除实四步不尽命为方二步又五分步之四然在两亷可得五之四在隅则得二十五分步之十六而已实不及五之四也故通分法还原以分母五通二步得一十分又纳分子四共一十四分自乗得一百九十六为实以命分五自乘得二十五为法除之只得七步又二十五分步之二十一以较原实少二十五之四矣故必另置分母五以分子四减之余一以转乗分子四得四即隅差也加隅差入方积中然后以分母自乗除之则合原积矣
若立方积一十七步开得立方每面二步除八步余九步如法命为立方二步又十九分步之九在平防可得十九分步之九在长防与隅则不满也法以分母十九通二步为三十八分又纳分子九分共四十七分为立方全数以全数自乗再乗得一十○万三千八百二十三分为通积另置分母十九自乗得三百六十一内减分子九自乗八十一余二百八十分以分子九乗之得二千五百二十分为隅差又置分母十九内减得分九余十分转乗分子九得九十分以乗命分母十九得一千七百一十分为长亷每步虚数又以长防法六步乗之得一万○二百六十分为长防差合二差共一万二千七百八十分以加入通积共得一十一万六千六百○三分为实以分母十九自乗再乗得六千八百五十九分为法以除实得一十七步合原积
庄氏算学卷一
钦定四库全书
庄氏算学卷二
淮徐海道庄亨阳撰
几何原本举要
凡角度皆起于圆心而见于圆界圆不论大小俱有三百六十度之数度有六十分分有六十秒秒有六十微微有六十纎自此以下又有不尽之数分之故执有度之圆界
为凡角大小之规也
二平行线若作一斜线交加于上则二横线内外所成
之二角俱为相等
在平行线上作一斜直线即成八角此八角之
庚戊乙甲戊己两相等角谓之对角甲戊庚庚戊乙两角同心谓之并角庚戊乙戊己丁二角相等角一边谓内外角甲戊己戊己丁二角相等角其尖错交谓相对错角庚戊乙丁己辛二角之等角一边谓之外角乙戊己丁己戊二角之相等角一边谓之内角八角之中半钝半鋭各自相等推之三平行线四平行线皆然也凡三角形之三角相并必与二直角等而具半周之度凡三角形自一界线引长成一外角将三角形内所对二角并之始与一外角等
凡三角有二形两边线之度各等二线所合之角俱等则二形底线之度必等式亦等其下各二角皆等也若二形三界线之度各相等则三角度亦必等而形内所函亦等也
若二形一界线之度相等于相等线左右所生之二角又相等则他线他角俱各等而二形之度俱等也三角形有二边等线者其底线之两角度亦为相等也盖作一长线上剖角下剖底成两直角三角形各相等也则底线左右所成角必等可知
凡三角形之长界线必对大角最长对最大次长对次大短者对小者
凡三角形必有二鋭角何也凡三角形将三角并之必与二直角等故一钝必两鋭一直亦两鋭即三等角亦皆鋭也
凡自一防至一横线作众线众线内有一垂线必短于他线而他线之与垂线相离愈逺者线愈长也
凡三角无论直鋭钝合并二界线必长于所余之一界线所以凡自一防又至
一防画防线其各线中仅一线直而短余必曲而长矣四边形有五种一四方形边角俱等也一长方形角等而两边长两边短也若四边等而角两钝两鋭者谓斜方形又两边长两边短而角两钝两鋭者谓长斜方形若四边不等四角又不等者谓无法形
凡四边平行线形其角之各两对角必俱相等
于对角作线分为两三角形是为对角线必将平行线四边形分为两平分
凡平行线之四边作两对角线相交处为平分二线之正中
凡于四边形对角线之正中作一斜横线截开则将四边形为两平分
四边形若于对角线不拘何处交加依两界作二平行线即成四四边形二形为对角线内之形二形为对角线旁余之形此两旁形其积必
等盖对角线原属平分而等今交加线中所成两大三角两小三角形亦属平分而等于原两三角内对减两大三角两小三角则所旁余四边形其积亦必等两平行线内凡同底所成之四边形其面积俱等何也如甲乙戊丁丙己两三角形其甲丁戊
己二线之度俱与乙丙平行线为等故互相等也若于甲丁戊
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